Domänen und Domänenwände unter senkrechter Vorzugsrichtung . 26

Die mikromagnetische Energie wird auf kurzen Längenskalen durch die Austauschwech-selwirkung dominiert, die in einem Ferromagneten eine homogene Magnetisierung ener-getisch begünstigt. Da die Austauschwechselwirkung isotrop ist, definieren erst Aniso-tropiebeiträge, die auf der Spin-Bahnwechselwirkung basieren und mehr als eine Grö-ßenordnung kleiner sind, eine Vorzugsrichtung der Magnetisierung. Im Folgenden werden dünne, magnetische Schichten betrachtet, deren Vorzugsrichtung senkrecht zu der

Filme-Referenz [144] angegebene Spinwellensteifigkeit DSpw. von (490±20)meV Ų wurde dabei über die BeziehungA=^D·Ms/(2·g·µB)aus [145] in eine Austauschkonstante umgerechnet (µB= 9,27·10⁻²⁴J/T, g= 2.21[145]).

bene orientiert ist (K_eff >0). Benachbarte magnetische Momente in einer solchen Schicht sind zwar durch die Austauschwechselwirkung parallel zueinander orientiert, doch lassen sich auf größeren Längenskalen Bereiche mit unterschiedlicher Magnetisierung ausmachen.

Ursache dieser Bereiche, die als magnetische Domänen bezeichnet werden, ist die lang-reichweitige Streufeldenergie. Durch eine Magnetisierung, die senkrecht zu der Filmebene orientiert ist, entstehen Oberflächenladungen an beiden Grenzflächen dieser Schicht, die mit magnetischen Streufeldern verbunden sind. Diese Streufelder lassen sich reduzieren durch eine Magnetisierung die nicht homogen nach oben oder nach unten orientiert ist, sondern zwischen Domänen variiert. Die Austauschwechselwirkung dominiert weiter auf kurzen Längenskalen und sorgt so für die gleiche Ausrichtung aller magnetischen Momente innerhalb einer Domäne. Ebenso verhindert sie abrupte Übergänge von einer Domäne zur anderen und bedingt stattdessen kontinuierliche Übergangszonen, die als Domänenwände bezeichnet werden.

Domänenwände

Zwischen zwei magnetischen Domänen steht die Austauschwechselwirkung allgemein in Konkurrenz zu der Anisotropie. Während die isotrope Austauschwechselwirkung räumlich eine möglichst langsame Veränderung der Magnetisierung herbeiführen möchte, ist für eine uniaxiale Anisotropie senkrecht zur Filmebene ein möglichst kurzer Übergang zwischen beiden Domänen vorteilhaft. Im Folgenden soll die Gestalt einer 180^◦-Domänenwand nä-her betrachtet werden.

In der Abbildung 2.2 wird der Übergang zwischen zwei Domänen, die senkrecht zu der Filmebene orientiert sind (θ= 0^◦,180^◦), schematisch dargestellt. Aufgrund der Austausch-energie rotiert die Magnetisierung von der linken Domäne mitθ = 0^◦ kontinuierlich bis zur rechten Domäne mit θ= 180^◦. Es werden dabei zwei Domänenwandtypen unterschieden:

Zum einen die Blochwand (links) mit einer Rotation der Magnetisierung in bzw. parallel zu der Domänenwandebene und zum anderen die Néelwand (rechts) mit einer Rotati-onsebene, die durch die leichte Achse der Magnetisierung und die Domänenwandnormale aufgespannt wird. Beide Domänenwandtypen sind jedoch Spezialfälle. Im Allgemeinen kann die Magnetisierung einen beliebigen Pfad auf der in Abbildung 2.2b) skizzierten Ku-geloberfläche von der linken zur rechten Domänenorientierung nehmen. Austauschenergie

und Anisotropie bedingen, dass dieser Pfad möglichst kurz und daher auf direktem Weg auf der Kugeloberfläche erfolgt. Beide zeichnen jedoch keinen Pfad aus, sodass der Win-kel φ ein freier Parameter bleibt⁸. Die energetische Entartung des Winkels φ wird durch die Streufeldenergie aufgehoben. Während eine Néelwand magnetische Volumenladungen hervorruft, gilt für eine reine Blochwand div(~m) = 0. Da die Streufeldenergie quadra-tisch mit den entstandenen Volumenladungen skaliert (vgl. Gleichung 2.7), ist sie daher proportional zu cos²φ [146] und somit für reine Blochwände (φ =±90^◦) minimal.

DW-Normale Blochwand

a)

Néelwand (clockwise) Leichte Achse

Linke Domäne

Rechte Domäne

DW-Normale Blochwand Néelwand

(clockwise)

θ=0°

θ=90°φ=0°

φ=90°

θ=90°

b)

Abbildung 2.2: 180^◦-Wand zwischen Domänen, deren Magnetisierung senkrecht zur Oberfläche (leichte Achse) ausgerichtet ist. Abbildung a) skizziert zwei mögliche Rotationen der Magnetisie-rung: Zum einen die Blochwand (links) mit einer Rotation der Magnetisierung in bzw. parallel zu der Domänenwandebene und zum anderen die Néelwand (rechts) mit einer Rotationsebene, die durch die leichte Achse der Magnetisierung und die Domänenwandnormale aufgespannt wird.

Abbildung b) verdeutlicht, dass beide Domänenwandtypen Spezialfälle sind. Im Allgemeinen kann die Magnetisierung einen beliebigen Pfad auf der skizzierten Kugeloberfläche von der linken zur rechten Domänenorientierung nehmen. Austauschenergie und Anisotropie bedingen einzig, dass dieser Pfad möglichst kurz und daher auf direktem Weg innerhalb der Kugeloberfläche erfolgt, sodass letztlich die Streufeldenergie und die DM-Wechselwirkung den genauen Pfad definieren.

8Man beachte, dass die Definition des Winkelsϕin Abschnitt 2.1.3 sich auf das Kristallgitter bezieht, während der Winkelφdie DW-normale als Bezugspunkt hat. Es wurden daher bewusst unterschiedli-che Buchstaben für beide Azimutwinkel verwendet. Im Gegensatz dazu bezeichnetθin beiden Fällen den gleichen Polarwinkel.

Profil einer Domänenwand

Im Folgenden soll das Profil einer 180^◦-Domänenwand, wie sie in der Abbildung 2.2 skiz-ziert ist, betrachtet werden. Bei vernachlässigbarer DMI lässt sich von einer reinen Bloch-wand ausgehen, die die Streufeldenergie minimiert. Da dann div(m) = 0~ gilt, treten keine Volumenladungen auf. Die Streufeldenergie, die mit verbleibenden Oberflächenladungen verbunden ist, kann in guter Näherung durch die Betrachtung der effektiven Anisotropie in die Berechnung des Domänenwandprofils integriert werden [57, 147], sodass die Streu-feldenergie nicht explizit berechnet werden muss. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im Folgenden angenommen, dass die DW-normale in die x-Richtung deutet und die Magnetisierung daher in der y- und z-Richtung konstant ist. Aus den Gleichungen 2.2 und 2.17 folgt die Energiedichte einer Domänenwand, die auf die Wandfläche bezogen wird:

σ= Z ∞

−∞

"

A dθ

dx 2

+K_effsin²θ

#

dx (2.24)

Gesucht wird die Funktion θ(x), die die Domänenwandenergiedichte lokal minimiert. Sie kann analytisch durch die Euler-Lagrange-Gleichung bestimmt werden. Diese Rechnung ist in Standardwerken [57] zu finden und soll hier nicht unnötig wiederholt werden. Als Resultat erhält man das DW-Profil:

~ m =









0

±cosh⁻¹ _∆^x tanh _∆^x









, mit ∆ = r A

K_eff (2.25)

Dabei bezeichnet ∆ den Breitenparameter der Domänenwand. Die Domänenwandbreite nach der Definition von Lilley [148] ist damit d_w =π∆. Das angegebene Profil resultiert in eine Domänenwandenergiedichte von:

σ = 4p

AK_eff (2.26)

Domänenwände unter DM-Wechselwirkung

Bisher wurde die DM-Wechselwirkung bei der Betrachtung von Domänenwänden ver-nachlässigt. Wegen der Streufeldenergie traten reine Blochwände (φ = ±90^◦) auf und der Azimutwinkel φ ging nicht in die Energieminimierung ein. Im Folgenden wird nun

zugelassen, dass die Rotationsebene der Magnetisierung um den Winkel φ um die leichte Richtung gedreht ist (φ = 0^◦ entspricht einer „clockwise“ Néelwand). Implizit wird damit angenommen, dass φnun ein weiterer freier Parameter ist, der allerdings aufgrund der do-minierenden Austauschwechselwirkung konstant über der Domänenwand bleibt und nicht wie θ eine Funktion des Ortes ist. Anschaulich bedeutet dies, dass die Austauschwech-selwirkung bemüht ist, den Pfad von der linken zur rechten Domäne in der Abbildung 2.2b) möglichst kurz und daher φkonstant zu halten. Obgleich diese Vereinfachung nicht exakt erfüllt ist [22], führt sie dennoch im Regelfall zu final stimmigen Resultaten [22] und wird in dieser Arbeit zunächst angesetzt. In dem Unterkapitel 6.2.3 wird diese Annahme jedoch nochmal aufgegriffen und die Grenzen ihrer Gültigkeit ausgemacht. Die DMI (vgl.

Gleichung 2.21) liefert als Funktion von φ einen zusätzlichen Term zu der Energiedichte einer Domänenwand (vgl. Gl. 2.24) und man erhält:

σ= Z ∞

−∞

"

A dθ

dx 2

+K_effsin²θ+Dcosφ· dθ dx

#

dx (2.27)

Der dritte Term, der die DMI berücksichtigt, kann ohne genaue Betrachtung des Domä-nenwandprofils bestimmt werden. Da es sich um ein Integral über die Ableitung von θ handelt, folgt direkt mit den Randbedingungen θ(∞) = π und θ(−∞) = 0:

σ = Z ∞

−∞

"

A dθ

dx 2

+K_effsin²θ

#

dx+Dcosφ (2.28)

Der Ausdruck im Integral entspricht dem Ausdruck in der Gleichung 2.24 ohne DMI, sodass die Lösung für θ die gleiche wie zu vor ist. Der Winkel φ ist abhängig von dem Vorzeichen des mikromagnetischen DMI ParametersDund minimiertσmit den Werten0^◦ fürD <0und−180^◦ fürD >0. Es folgt damit direkt die Energiedichte der Domänenwand [21, 22]:

σ= 4p

AK_eff−π|D| (2.29)

Diese Gleichung ist allerdings nicht exakt, da für φ 6= ±90^◦ Volumenladungen auftreten und die Streufeldenergie damit ebenfalls einen Beitrag zu der DMI leistet. Da die Streu-feldenergie quadratisch mit den entstandenen Volumenladungen ansteigt [22, 146, 147], ergibt sich unter Berücksichtigung der Streufeldenergie:

σ= 4p

AK_eff+πDcosφ+σ_NBcos²φ (2.30)

Der Parameter σ_NB bezeichnet dabei die Differenz der Streufeldenergiedichte zwischen einer Néel- und einer Blochwand. Offensichtlich konkurriert die Streufeldenergie (∝cos²φ) hier mit der DMI (∝cosφ). Der Winkelφlässt sich durch Minimierung der Energiedichte σ bestimmen [22, 147].

In der Ableitung der Gleichung 2.30 nach dem Winkel φ fällt der erste Term 4√ AK_eff zunächst weg, sodass diese Energieminimierung scheinbar keine Abhängigkeit von dem Domänenwandprofil sowie den Größen A und K_eff zeigt. Vernachlässigt wurde dabei je-doch, dass der Winkel φ über die Streufeldenergie auch Einfluss auf das Domänenwand-profil sowie die Domänenwandbreite nimmt [22, 147]. Zum einen vergrößern vorhandene Volumenladungen fürφ 6=±90^◦ die effektive Anisotropie in einer DW, die damit geringer für Bloch- als für Néelwände ausfällt [147], und zum anderen ist das Auftreten von Néel-wänden mit sogenannten „Néel tails“ verbunden [22]. Durch das Ausbilden ausgedehnter Schwänze an beiden Seiten einer scharf abgegrenzten Kernregion lässt sich die Streu-feldenergie, die aus den Volumenladungen in Néelwänden resultiert, reduzieren. Sowohl die Vergrößerung der Anisotropie als auch das Ausbilden von „Néel tails“ sind jedoch für schmale Domänenwände und damit eine hinreichend große Anisotropie gering und werden daher im Allgemeinen vernachlässigt [22, 48, 96, 97, 99, 147]. Ausgedehnte „Néel tails“

werden typischerweise in magnetischen Schichten mit einer Magnetisierung in der Filme-bene beobachtet [149–153], in denen deutlich geringere Anisotropien diese Längenskalen zulassen. Auch sind sie in Filmen mit senkrechter Magnetisierung zu erwarten, wenn Do-mänenwände hinreichend breit und somit die Anisotropien gering genug werden, sodass dies die Frage aufwirft, wie gut diese Annahme in Abhängigkeit der Anisotropie tatsäch-lich ist. Diese Frage soll später in dem Kapitel 6.2.3 aufgegriffen und genauer betrachtet werden. Zunächst wird wird jedoch angenommen, dass der Winkel φ vernachlässigbaren Einfluss auf die Breite und das Profil einer Domänenwand nimmt. Die Minimierung der Gleichung 2.29 als Funktion von φ liefert dann [22, 147]:

cosφ =







− D_s

D_thr ∀ |D_s|< D_thr

−sgn(D_s) ∀ |D_s| ≥D_thr

(2.31)

Die mikromagnetische DMI-Konstante D wurde wie in Kapitel 2.1.5 durch die grenz-flächenbezogene DMI D_s = D·t ausgedrückt. Solange der Betrag von D_s oberhalb des Schwellenwertes

D_thr:= 2σNB

π t (2.32)

liegt, ist das Ausbilden einer reinen Néelwand energetisch am günstigsten. Das Vorzeichen von D_s bestimmt dabei den Rotationssinn der Néelwand. Für |D_s| < D_thr liegt eine Mischform zwischen Néel- und Blochwand vor. Der Blochanteil steigt dann mit fallender DMI bzw. steigender Schichtdicke.

Die Gleichung 2.31 verdeutlicht, dass eine Bestimmung der DMI aus gemessenen Domä-nenwandwinkeln φ möglich ist. Insbesondere das Vorzeichen, kann direkt aus dem Ro-tationssinn einer Domänenwand extrahiert werden. Der Betrag der DMI lässt sich des Weiteren aus einer quantitativen Auswertung gewinnen, die den Winkel der Domänen-wandmagnetisierung φ in Relation zu dem Schwellenwert D_thr setzt. Experimentell muss dafür die Differenz der Streufeldenergiedichte zwischen einer Néel- und einer Blochwand σ_NB bekannt sein. Sie hängt von der Schichtdicke t sowie der Sättigungsmagnetisierung M_s ab und kann sowohl numerisch wie in [48, 96, 97, 99], durch die analytische Näherung für sehr dünne Schichten von Tarasenko et al. [146] oder präziser mittels der Interpolati-on vInterpolati-on Lemesh et al.[147] bestimmt werden. Letztere Autoren interpolieren zwischen der Lösung für ultradünne Schichten (entspricht der vorherigen Lösung von Tarasenko et al.

[146]) und einer Lösung für dicke Schichten. Sie erhalten [147]:

σ_NB= µ₀M_s²t

π ln 2 +t

qK_eff+µ0M_s² A

(2.33)

Obwohl dieser Ausdruck sich aus der Streufeldenergie ableitet, hängt er nicht nur von der Schichtdicke t sowie der Sättigungsmagnetisierung M_s ab, sondern auch von A und K_eff. Dies kann durch die Abhängigkeit der Streufeldenergie von der Domänenwandbreite erklärt werden, die für reine Néelwände im Grenzfall dicker Schichten durchπq

A K_eff+µ0M_s²

gegeben ist [147]. Der linke und rechte Term unter dem Bruchstrich repräsentieren damit offenkundig die erwähnten Grenzfälle einer ultradünnen bzw. dicken Schicht.

2.2.2 Spinspiralen und Skyrmionen

In dem vorhergehenden Kapitel wurde gezeigt, dass die DMI die Energie von 180^◦ -Domänenwänden herabsetzt, indem sie eine räumlich drehende Spinkonfiguration mit festem Rotationssinn begünstigt. Die Domänenwandenergie (vgl. Gleichung 2.29) kann jedoch auch, wenn die DMI hinreichend groß ist, negativ werden, sodass Domänenwände mit einem Energiegewinn verbunden sind. Es treten dann entsprechend keine Domänen mehr auf und die ferromagnetische Phase geht in eine Spinspiralen- oder Skyrmionenphase über. Unter Vernachlässigung der Streufeldenergie⁹ lässt sich aus der Domänenwandener-gie in Gleichung 2.29 eine kritische DMI

D_krit = 4 π

pAK_eff (2.34)

Spinspiralen Skyrmionen

Abbildung 2.3: Perspektivische Abbildungen einer Spinspiralen- und einer Skyrmionenphase. Eine nega-tive DMI-Konstante stellt in beiden Fällen eine Rota-tion der Magnetisierung im Uhrzeigersinn (clockwise) sicher.

ableiten [154]. Wird in einer magneti-schen Schicht der Betrag der DMI grö-ßer als D_krit, so kann die ferromagne-tische Phase nicht mehr den Grundzu-stand darstellen und eine Spinspiralen-oder Skyrmionenphase ist energetisch günstiger. Beide werden in der ne-benstehenden Abbildung 2.3 perspek-tivisch dargestellt. Im Nullfeld kann die Spinspiralenphase (links) beobach-tet werden [8, 155, 156], in der die

Ma-gnetisierung eine kontinuierliche Rotation in einer Dimension vollführt [156]. Das Anlegen eines externen Magnetfeldes senkrecht zur Filmebene verschiebt das Energiegleichgewicht und begünstigt über die Zeeman-Energie die Skyrmionenphase (rechts) [8, 155, 156]. Sie besteht aus topologisch geschützten Spinkonfigurationen mit einem festen Rotationsinn, den Skyrmionen. Die einzelnen Skyrmionen ordnen sich in einem Gitter an und erzeugen damit eine zweidimensionale periodische Struktur [106]. Wird das externe Magnetfeld

9Während Streufeldbeiträge durch Oberflächenladungen bereits mit der effektiven Anisotropiekonstante K_eff berücksichtigt werden, erhöhen zusätzliche Streufeldbeiträge durch Volumenladungen die Energie eine Spinspiralenphase und damit die kritische DMI. Die Gleichung 2.34 gilt damit quantitativ nur, wenn in die Streufeldenergie in sehr dünnen Schichten (d.h. Einzellagen) vernachlässigt werden kann und liefert ansonsten nur den qualitativen Zusammenhang.

weiter erhöht, so verringert sich zunächst die Größe der Skyrmionen [31, 157] und mit zunehmenden Magnetfeld wird die Skyrmionenphase energetisch ungünstiger und eine ferromagnetische Phase wird beobachtet [8]. Typischerweise tritt dabei ein Bereich auf, indem die magnetischen Skyrmionen metastabil sind und daher individuelle Skyrmionen gezielt geschrieben oder gelöscht werden können [8, 18]. In vielen Materialsystemen sind Skyrmionen somit auf externe Magnetfelder angewiesen [31, 46, 91, 93, 155, 157]. Ein Skyrmionengitter kann jedoch auch ohne externes Magnetfeld den energetischen Grund-zustand bilden, wenn höhere Ordnungen der Austauschwechselwirkung relevant werden [7]. Erst kürzlich konnten auch einzelne metastabile Skyrmionen mit einem Durchmesser unterhalb von 5nm im Nullfeld beobachtet werden [11, 19].

Ein einzelnes metastabiles Skyrmion ist topologisch gegenüber der Parallelausrichtung einzelner magnetischer Momente geschützt. In dem mikromagnetischen Bild, das die Ma-gnetisierung als ein räumlich kontinuierlichen Vektorfeldes betrachtet, lässt sich ein Skyr-mion nicht stetig in eine ferromagnetische Ausrichtung überführen und ist insofern stabil.

Als Konsequenz bleibt die ganzzahlige topologische Ladung (häufig auch Skyrmionzahl genannt)

Q:= 1 4π

Z Z

~

m·(∂_xm~ ×∂_ym)~ dxdy (2.35)

erhalten [7, 106, 158, 159]. Abhängig von der Magnetisierung im Zentrum eines Skyrmi-ons nimmt sie den Wert 1 oder auch −1 an¹⁰. Der topologische Schutz eines Skyrmions verschwindet jedoch sobald man magnetische Skyrmionen auf der Ebene von lokalisier-ten magnetischen Momenlokalisier-ten betrachtet [11, 44, 45]. Die magnetische Konfiguration eines Skyrmions resultiert dann in einer Energiebarriere, die die beiden metastabilen Zustände (i.e. Skyrmion und kein Skyrmion) voneinander trennt [8, 11, 44, 45].

10Abhängig davon, ob die Magnetisierung um ein Skyrmion herum nach oben oder nach unten zeigt, kann das Skyrmion sowohl mit der topologischen LadungQ = 1 als auchQ =−1 verbunden sein.

So überführt die Umkehrung aller magnetischen Momente (m~ 7→ −m~) ein Skyrmion wieder in ein Skyrmion, doch die topologische Ladung in Gleichung 2.35 verändert ihr Vorzeichen. Auch ändert die topologische Ladung eines Skyrmions ihr Vorzeichen, wenn eine Probe über Kopf gedreht wird.

Im Dokument Dzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung epitaktisch gewachsener Co/Ir- und Co/Pt-Grenzflächen (Seite 36-45)