Lineare Algebra I – Hausaufgabe 14

Freie Universit¨at Berlin WiSe20/21 Institut f¨ur Mathematik

A. Constantinescu, T. Graeber, S. Hoffmann Stand: 15. Februar 2021

Lineare Algebra I – Hausaufgabe 14

Abgabe via Whiteboard alsName_LA1_UB14.pdf bis18:00 am Montag, den 22.Februar 2021.

Die Antworten sind stets zu begr¨unden, inklusiv Beispiele.

Ubung 1.¨ 3 Punkte

SeienV undW endlichdimensionaleK-Vektorr¨aume und seif ∈Hom_K(V, W) mit Rang(f) =r.

Man beweise, dass es geordnete BasenB von V undC von W gibt, sodass M_C^B(f) =

I_r 0 0 0

, wobeiIr die r×r Identit¨atsmatrix ist.

Ubung 2.¨ 7 Punkte

SeienU = Span_Q{(−4,2,1)}undV ={(x, y, z)∈Q³ : x+y+z= 0}zweiQ-UVR von Q³. 1. Wie erkennt man am schnellsten, dass U und V komplement¨ar zueinander sind?

2. Man gebe eine BasisB f¨urV an. Wie erkennt man an {(−4,2,1)}undB, dassU und V komplement¨ar zueinander sind?

3. Sei p:Q³=U ⊕V −→V die kanonische Projektion aufV entlangU: p(u+v) :=v.

Man berechne die Darstellungsbatrix M_B^E(p), wobei E = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) die Standardbasis vonQ³ bezeichnet.

4. Man setze B⁰ ={(−4,2,1)} ∪B als Basis vonQ³, wobeiB die Basis aus Punkt 2 ist, und man berechneM_B^B0(p).

Total: 10 Punkte Zusatzaufgaben auf der R¨uckseite

Zusatzaufgaben

Diese Aufgaben werden nicht bewertet, und m¨ussen auch nicht abgegeben werden.

Diese sind aber f¨ur die Klausurvorbereitung sehr empfolen.

Zusatzaufgabe 3.

Sei A folgende Matrix aus Mat_4,5(R):

A=









1 2 2 −5 6

−1 −2 −1 1 −1

4 8 5 −8 9

3 6 1 5 −7







 .

Seif_A:R⁵−→R⁴ die durch links-Multiplikation mitA definierteR-lineare Abbildung.

1. Man finde eine Basis von Bild(fA) und man erg¨anze diese zu einer Basis von R⁴. 2. Man finde eine Basis von Ker(f_A).

Zusatzaufgabe 4.

Man finde eine Basis von Ker(fAi), eine Basis Bild(fAi) und erg¨anze diese zu einer Basis von R^m, beziehungsweise Rⁿ f¨ur folgendem×nMatrizen

A1=

1 2 4 8

A2 =

1 1 3 2 1 4

A3=





1 −3 2 −6 3 −9



 A4 =





1 −2 0 −1 0

0 0 1 5 0

0 0 0 0 1



.

Zusatzaufgabe 5.

Seif_A:R³−→R² gegeben durch die MatrixA=

1 0 −2 0 1 0

. 1. Man finde eine Basis von Ker(f_A).

2. Welche Teilmengen von E3 = {e₁, e2, e3} induzieren Basen des Quotientenraumes R³/Ker(f_A)?

3. Gibt es eine MatrixA∈Mat2,3(R) sodass Ker(f) ={0}?

4. Gibt es eine MatrixA∈Mat2,3(R) sodass dim_KKer(f) = 2?

Falls “Ja”, man gebe ein Beispleil; falls “Nein”, man gebe eine Begr¨undung.

Zusatzaufgabe 6.

Seid∈Nund K[x]≤d:={P ∈K[x] : deg(P)≤d}der K-Vektorraum der Polynome in x von Grad h¨ochstensd.

1. Man beweise, dass die Abbildung

D:K[x]≤d−→K[x]≤d−1

mitD(P(x)) :=P⁰(x) (die Ableitung von P nachx) eine lineare Abbildung ist.

2. Man berechne f¨ur die geordnete BasenB_d:= 1, x, . . . , x^d die Matrix M_B^Bd

d−1(D).

3. Man berechne den Kern vonD.

4. Man berechne den Rang vonD.

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