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2. Biegelinie eines einseitig horizontal eingespannten Trägers mit vertikaler Punktlast

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Academic year: 2021

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Lösungen

1.

Ÿ Literaturstudium Ÿ Handout

2. Biegelinie eines einseitig horizontal eingespannten Trägers mit vertikaler Punktlast

Ÿ a Definitionen, Vorbereitungen:

Balken- oder Trägerlänge xL = 5 m;

Balken, Rechtecksquerschnitt: Breite b = 5/100 m; Höhe h = 1/10 m;

Axiales Flächenträgheitsmoment Iy = b h^3/12 (Masse übernommen);

Esastizitätsmodul eE=210000 *1/(1/1000^2) N/ m

2

; Kraft F=10^3 N;

In[1]:= Remove["Global`*"]

Ÿ a. Approximierte die Differentialgleichung, exakte Lösung der Approximation der Differentialgleichung

In[2]:= xL=5; b=5/100; h=1/10; Iy=b h^3/12; eE=210000 *1/(1/1000^2); F=10^3; eE

Out[2]= 210000000000

In[3]:= M[x_]:= F (xL-x);

y''[x] == -M[x]/(eE Iy)

Out[4]= y

¢¢

@ x D Š 1

€€€€€€€€€€

875 H -5 + x L

In[5]:= solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

Out[5]= 99 y ® Function A8 x < , -15 x

2

+ x

3

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5250 E==

(2)

In[6]:= k1=Plot[y[x]/.solv,{x,0,5}];

1 2 3 4 5

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01

Endwert in Metern:

In[7]:= Endwert1 = (y[x]/.solv)/.x->5.

Out[7]= 8-0.047619 <

Ÿ Globaler Funktionsverlauf

In[8]:= p1=Plot[y[x]/.solv,{x,-0,5},PlotStyle®{Thickness[.02]},DisplayFunction->Identity];

In[9]:= p2=Plot[y[x]/.solv,{x,-5,20},DisplayFunction->Identity];

In[10]:= Show[p1,p2,DisplayFunction®$DisplayFunction];

-5 5 10 15 20

-0.1 -0.05 0.05 0.1

Ÿ b. Exakte Differentialgleichung, numerische Lösung.

(Exakt zu schwierig zu lösen)

In[11]:= (* Remove["Global`*"] *)

Remove[x,y]

(3)

In[13]:= solution = NDSolve @8 y

H2L

@ x D + M @ x D • H eE Iy L H 1 + H y ' @ x DL ^ 2 L ^ H 3 • 2 L Š 0, y @ 0 D Š 0, y

¢

@ 0 D == 0 < , y, 8 x, 0, 5 <D ;

k2 = Plot @ y @ x D • . solution, 8 x, 0, 5 <D ;

1 2 3 4 5

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01

In[15]:= Show[k1,k2];

1 2 3 4 5

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01

In[16]:= Endwert2 = (y[x]/.solution)/.x->5.

Out[16]= 8 -0.0476224 <

In[17]:= Abweichung1 = Endwert1 - Endwert2

Out[17]= 8 3.30876 ´ 10

-6

<

In[18]:= Abweichung1InProzentVonEndwert1 = Abs[Abweichung1/ Endwert2 100]

Out[18]= 8 0.00694791 <

Ÿ c. Vergleich der Graphen bei xL = 34

In[19]:= Remove[x,y]

In[20]:= xL = 34;

solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

Out[21]= 99 y ® Function A8 x < , -102 x

2

+ x

3

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

5250 E==

(4)

In[22]:= k1=Plot[y[x]/.solv,{x,0,34},PlotStyle®{Thickness[.015]}];

5 10 15 20 25 30

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

In[23]:= Remove[x,y]

In[24]:= solution = NDSolve @8 y

H2L

@ x D + M @ x D • H eE Iy L H 1 + H y ' @ x DL ^ 2 L ^ H 3 • 2 L Š 0, y @ 0 D Š 0, y

¢

@ 0 D == 0 < , y, 8 x, 0, 34 <D ;

k2 = Plot @ y @ x D • . solution, 8 x, 0, 34 <D ;

5 10 15 20 25 30

-17.5 -15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5

In[26]:= Show[k1,k2];

5 10 15 20 25 30

-17.5

-15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

(5)

Ÿ FAZIT: Interessant ist die Grösse der ungünstigen Abweichung zwischen der exakten Lösung im Näherungsmodell und der numerischen Lösung im exakten Modell! Wer hätte das gedacht, da ja in der Praxis meist mit dem

Näherungsmodell gearbeitet wird!

3. Biegelinie eines einseitig horizontal eingespannten Trägers mit vertikaler konstanter Streckenlast

In[27]:= (* Remove["Global`*"] *) Remove[x,y]

Ÿ a. Approximierte Differentialgleichung, exakte Lösung

In[29]:= xL = 5;

M[x_]:= Evaluate[Integrate[F (xL-s)/xL,{s,u,xL}]/.u->x];

M[x]

Out[31]= 2500 - 1000 x + 100 x

2

In[32]:= Plot[M[x],{x,0,5}];

1 2 3 4 5

500 1000 1500 2000 2500

In[33]:= solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

Out[33]= 99 y ® Function A8 x < , -150 x

2

+ 20 x

3

- x

4

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€

105000 E==

In[34]:= k3=Plot[y[x]/.solv,{x,0,5}];

1 2 3 4 5

-0.0175

-0.015

-0.0125

-0.01

-0.0075

-0.005

-0.0025

(6)

Endwert in Metern:

In[35]:= Endwert3 = (y[x]/.solv)/.x->5.

Out[35]= 8 -0.0178571 <

Ÿ b. Exakte Differentialgleichung, numerische Lösung.

(Exakt zu schwierig zu lösen)

In[36]:= (* Remove["Global`*"] *) Remove[x,y]

In[38]:= solution = NDSolve @8 y

H2L

@ x D + M @ x D • H eE Iy L H 1 + H y ' @ x DL ^ 2 L ^ H 3 • 2 L Š 0, y @ 0 D Š 0, y

¢

@ 0 D == 0 < , y, 8 x, 0, 5 <D ;

k4 = Plot @ y @ x D • . solution, 8 x, 0, 5 <D ;

1 2 3 4 5

-0.0175 -0.015 -0.0125 -0.01 -0.0075 -0.005 -0.0025

In[40]:= Show[k3,k4];

1 2 3 4 5

-0.0175 -0.015 -0.0125 -0.01 -0.0075 -0.005 -0.0025

In[41]:= Endwert4 = (y[x]/.solution)/.x->5.

Out[41]= 8 -0.0178573 <

In[42]:= Abweichung2 = Endwert3 - Endwert4

Out[42]= 8 1.57223 ´ 10

-7

<

In[43]:= Abweichung2InProzentVonEndwert3 = Abs[Abweichung2/ Endwert4 100]

Out[43]= 8 0.000880443 <

(7)

Ÿ c. Vergleich

In[44]:= Abweichung2-Abweichung1

Out[44]= 8 -3.15153 ´ 10

-6

<

In[45]:= Abweichung1InProzentVonEndwert1-Abweichung2InProzentVonEndwert3

Out[45]= 8 0.00606746 <

Ÿ c. Vergleich der Graphen

In[46]:= Remove[x,y,solv]

In[47]:= xL = 34;

solv = DSolve[{y''[x] == -M[x]/(eE Iy),y[0]==0,y'[0]==0},y,x]

Out[48]= 99 y ® Function A8 x < , -150 x

2

+ 20 x

3

- x

4

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€

105000 E==

In[49]:= k3=Plot[y[x]/.solv,{x,0,34},PlotStyle®{Thickness[.015]}];

5 10 15 20 25 30

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

In[50]:= Remove[x,y,solution]

In[51]:= solution = NDSolve @8 y

H2L

@ x D + M @ x D • H eE Iy L H 1 + H y ' @ x DL ^ 2 L ^ H 3 • 2 L Š 0, y @ 0 D Š 0, y

¢

@ 0 D == 0 < , y, 8 x, 0, 34 <D ;

k4 = Plot @ y @ x D • . solution, 8 x, 0, 34 <D ;

5 10 15 20 25 30

-6

-5

-4

-3

-2

-1

(8)

In[53]:= Show[k3,k4];

5 10 15 20 25 30

-4 -3 -2 -1

Ÿ FAZIT: Interessant ist wieder die Grösse der ungünstigen Abweichung zwischen der exakten Lösung im Näherungsmodell und der numerischen Lösung im

exakten Modell! Wer hätte das gedacht, da ja in der Praxis meist mit dem Näherungsmodell gearbeitet wird!

4 Lastkombinationen nach eigenen Modellen

Ÿ Keine Vorlage möglich - Besprechung notwendig

Referenzen

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