Quantenmechanische Anomalien beim Transport über
Baumstrukturen
Jens Höfflin 14.06.2005
Studenten Seminar „Dynamische
Modelle komplexer Systeme“
1. Motivation
2. CTRW-Theorie (klassisch und quantenmechanisch)
3. 2 Beispiele
4. Zusammenfassung
Übersicht
• Viele klassische Algorithmen (s-t connectivity, SAT,...) basieren auf Random Walks
• Damit ergibt sich natürlicherweise die Frage, ob Quanten Random Walks auf Quantencomputern ebenso nützlich sind
• Viele Algorithmen liegen in NP, ist das auch mit Quanten Random Walks so?
• Die große Frage der Informatik, ist P = NP?
Motivation
Ein wenig Theorie
• Ein Graph besteht aus einer Menge Knoten, die über Kanten miteinander verbunden sind
• Beschreibung über Transfermatrix M
• ist die Übergangsrate, k die Anzahl der Benachbarten Knoten
=
≠
≠
−
=
b a
k
verbunden nicht
b und a
b a
verbunden b
und a
b a
Mab 0 ,
, γ
γ
γ
• Ein zeitkontinuierlicher Random Walk ist ein Markov- Prozess
• Dynamik wird beschrieben mit der Master Gleichung
• Hierbei ist die bedingte Wahrscheinlichkeit am Knoten j zum Zeitpunkt t zu sein, unter der Bedingung zum Zeitpunkt t =0 am Knoten k gestartet zu sein
• Es gilt:
• Bei n Knoten sind dies also n gekoppelteDifferential- gleichungen mit konstanten Koeffizienten
• Formale Lösung:
Ein wenig Theorie
−
=
l
lk jl
jk M p t
dt t
dp ( ) ( )
) (t pjk
=
j
jk t
p ( ) 1
k e
j t
pjk ( ) = −Mt
• Im quantenmechanischen Fall bilden die Knoten die Basis des Hilbertraums
• Beschreibung mit Schrödingergleichung
• Analog zum klassischen Random Walk wird der
Hamiltonian duch die Matrixeinträge von M definiert
• Formale Lösung
• Übergansamplitude vom Zustand |k> zum Zeitpunkt t = 0 in Zustand |j> zum Zeitpunkt t
Ein wenig Theorie
k H dt k
i d =
Mab
b H
a =
k e
j
t
iHtjk
=
−)
α (
• Diese Übergansamplitude genügt der Gleichung
• Es gilt:
Ein wenig Theorie
1 )
(
2=
j
jk
t
α
) (t dt H
i d
lkl
jl
jk
α
α =
• Klassisch ist die Grenzverteilung definiert als
• Dies ergibt eine Gleichverteilung
• Quantenmechanisch verhindert die Unitarität, dass sich ein Gleichgewichtszustand einstellt
• Verwende stattdessen das Langzeitmittel der Übergangsamplituden
Ein wenig Theorie
) ( lim pba T
ba = T→∞
π
Knoten
ba #
= 1 π
dt a
e T b
T
iHt ba T
2 0
lim 1 −
∞
= →
χ
• Obiger Graph vom Typ (Cayley Baum) soll von links nach rechts (von oben nach unten) durchlaufen werden
• Vergleich der Ergebnisse zwischen
„Klassischem“- und „Quanten“-Random Walk
1. Beispiel
Gn
• In unserem Fall mit Knoten
• Bestehen aus 2 Binärbäumen der Tiefe n, die in der Mitte „zusammengeklebt“ werden
1. Beispiel
Gn 2n+1 + 2n − 2
• Klassisch kann die Effizienz, den Baum zu durchqueren, grob abgeschätzt werden
• Hierzu müssen wir uns nur überlegen wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist, einen Schritt vorwärts zu machen
• Bis zur Mitte kommen wir recht schnell voran, da wir 2:1 Möglichkeiten haben vorwärts zu gehen
• Ab der Mitte ist die Situation dann umgekehrt
• Grob abgeschätzt kann man also sagen, dass wie Wahrscheinlichkeit den Baum zu durchqueren
ist, also exponentiell mit der Anzahl Konten sinkt
1. Beispiel
p ≤ 2
−n• Um das quantenmechanische Problem zu lösen wollen wir es zuerst etwas vereinfachen:
• Symmetrie ausnutzen
• Hierzu führen wir Spaltenzustände ein
• Wobei die Anzahl der Knoten der Spalte j ist
1. Beispiel
∈
=
j col j a
N a j
col 1
≤
≤
≤
= − ≤
n j
n
n N n j j
j
j 2 2
0 2
2
N j
•
ist eine total symmetrische Überlagerung der Knotenzustände einer Spalte j• Das Problem vereinfacht sich zu einer linearen Kette
• Ausrechnen der Übergangsamplituden zwischen den Spaltenzuständen
1. Beispiel
j col
= =
sonst
n n j j
col H
j
col 3
2 , , 0 2
γ γ
γ 2 1 = − +
j col H
j col
• Reduktion von G4 zu einer linearen Kette
• Um das Problem Analytisch zu lösen vereinfachen wir noch weiter und betrachten eine unendlich lange lineare Kette
1. Beispiel
) 2 2
3 (
t J
i e
l e
m −iHt = −i γt m−l m−l γ
1. Beispiel
Numerische Lösung für n = 500 Zeiten t = 100, 250 und 400
Also 1001 Spalten, Ca. 2500 Knoten !!!
• Berechnung der „Grenzverteilung“
• Einschieben eines Vollständigen Satzes von Basiszuständen
1. Beispiel
dt a
e T b
T
iHt ba T
2 0
lim 1 −
∞
= →
χ
2 2
0
) (
,
lim 1
r r
r
T
t E E i s T
s r
s r
r ba
E b E
a
dt T e
a E E
a a E
E
b r s
=
= − −
∞
χ →
• Dies wird nun mit der Cauchy-Schwartz Ungleichung abgschätzt
• Damit ergibt sich
• Also ein erheblich größerer Wert als im klassischen Fall
1. Beispiel
1 0
1 0
2 2
4 ≥ =
r
r s
r
r col E
E col
1 2
1
2 ≥ +
n n χcol
• Ein zweites Beispiel (eigentlich das gleiche nochmal, nur diesmal anders)
• Nun wollen wir untersuchen wie sich die Sache verhält, wenn wir von oben nach unten gehen wollen
2. Beispiel
2. Beispiel
10 0545 1
, 0
10 2644 1
, 0
4 , 7
1 , 10
<
=
>
= χ
χ
2. Beispiel
2. Beispiel
• Auch hier kann man Symmetrie ausnutzen, um das Problem zu vereinfachen
• Dies zerstört aber den Effekt des langsamen Transports
• Aufteilen der Knoten zu Clustern
• Alle Knoten des k+1 Clusters sind durch eine Verbindung mit dem k Cluster verbunden,
gehören gleichzeitig aber nicht dem k-1 Cluster an
2. Beispiel
∈
=
k k n
k n
a 1d
• Anzahl der Knoten im Cluster k sei 2. Beispiel
d
kG]
[2, k
2 1 ∈
= G−k+ dk
k G
k d
d = 2 +2−
1 1
2
1 = d G+ = 2G− d
1
= 2
+
d
G• Der neue Hamiltonian ergibt sich zu
• Die neuen Einträge können ausgerechnet werden
2. Beispiel
k
jk
a
jH a
H
~=
k n
k n
k k n k
kk k n H n f f
a d H a
H = = = ≡
∈
∈
'
~ 1 '
1 1
' 1
, 1 1
~ 1
,
~
'
1
+ +
∈ + ∈
+ + +
−
=
=
=
=
k k
k
k n
k k n
k
k k k
k k
k
d d n b
H d n
d
a H a
H H
2. Beispiel
• Wie wir gesehen habe verhalten sich der klassische und quantenmechanische
Random Walk sehr unterschiedlich
• Im quantenmechanischen Fall hängt die Durchlaufgeschwindigkeit sehr stark vom Startpunkt ab
• Im besten Fall erhält man einen
exponentiellen Geschwindigkeitsvorteil
Zusammenfassung
[1] M.Childs, E.Farhi, S.Gutmann, An example of the difference between quantum and classical random walks, Quantum Information Process.
1, 35 (2002)
[2] O.Mülken, A.Blumen, Slow transport by
continuous time quantum walks, Phys. Rev. E, 71, 016101 (2005)
[3] J.Kempe, Quantum random walks – an
introductory overview, Contemp. Phys., 44, 307 (2003)
