Zur Theorie Wärmeleitender Reissner-Mindlin-Platten

Reissner-Mindlin-Platten

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades des Doktors der Naturwissenschaften

am Fachbereich Mathematik und Statistik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Sektion

der Universit¨at Konstanz

vorgelegt von Michael Pokojovy

Tag der m ¨undlichen Pr ¨ufung: 6. Dezember 2011

Referenten: Prof. Dr. Reinhard Racke

Fachbereich Mathematik und Statistik Universit¨at Konstanz

Prof. Dr. Robert Denk

Fachbereich Mathematik und Statistik Universit¨at Konstanz

Konstanz, September 2011

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-241084

CHARLESROBERT DARWIN(1809–1882)

Die vorliegende Dissertation entstand am Fachbereich Mathematik und Statistik an der Uni- versit¨at Konstanz w¨ahrend meiner T¨atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl Prof. Dr. Reinhard Racke. Hiermit m ¨ochte ich allen danken, die mir bei der Anfertigung dieser Arbeit behilflich waren.

Ein besonderes Wort des Dankes richte ich an meinen Betreuer und Doktorvater Herrn Prof.

Dr. Reinhard Racke. Als leidenschaftlicher Dozent und Forscher hat Herr Prof. Dr. Racke mich schon w¨ahrend meines Studiums am Fachbereich Mathematik und Statistik f ¨ur die Wissen- schaft begeistert. Bei meinem Werdegang hat er mich stets im Hinblick auf meine fachliche, berufliche und pers ¨onliche Weiterentwicklung gef ¨ordert. Außerdem danke ich Herrn Prof. Dr.

Racke f ¨ur die Heranf ¨uhrung an das interessante Promotionsthema, f ¨ur die vielen Anregungen und Diskussionen, f ¨ur die akademische Freiheit sowie die gl ¨uckliche Zeit der Assistentent¨atig- keit an seinem Lehrstuhl.

Herrn Prof. Dr. Robert Denk danke ich f ¨ur die freundschaftliche Zusammenarbeit, f ¨ur die vie- len hilfreichen Gespr¨ache und f ¨ur die ¨Ubernahme des Koreferats. F ¨ur anregende wissenschaft- liche Diskussionen m ¨ochte ich mich auch bei Herrn Prof. Dr. Johannes Schropp, Frau Prof. Dr.

Mari´e Grobbelaar–van Dalsen und Herrn Priv. Doz. Dr. Matthias Geißert bedanken.

Genauso bedanke ich mich bei meinen Kollegen und Freunden Gerda Baumann, Bu ˘gra Kabil, Mario Kaip, Patrick Kurth, Dr. Thilo Moseler, Tobias Nau, Marco Ritter, Prof. Dr. J ¨urgen Saal, Martin Saal, Prof. Dr. Oliver Schn ¨urer, Johannes Schnur, Alexander Sch ¨owe, Tim Seger, Anton Verbitsky sowie Dr. Olaf Weinmann f ¨ur die angenehme Arbeitsatmosph¨are. Außerdem m ¨ochte ich meinen Dank meinen guten Konstanzer Freunden Herrn Wolf Biehler und Frau Dr. Marion Mallmann-Biehler sowie Herrn Prof. Dr. Erhard Roy Wiehn und Frau Miriam Wiehn f ¨ur ihre Unterst ¨utzung aussprechen.

Ein großer Dank gilt auch meinen Eltern Wasyl und Helena, meiner Schwester Sina sowie mei- ner Großmutter Alexandra.

Konstanz, im Herbst 2011

Michael Pokojovy

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Inhaltsverzeichnis 2

Einleitung 3

1 Thermoelastizit¨atstheorie 7

1.1 Kinematische Grundlagen . . . 8

1.1.1 Deformationsvorgang . . . 9

1.1.2 Polare Zerlegung des Deformationsgradienten . . . 11

1.1.3 Verzerrungsmaße und Verzerrungstensoren . . . 11

1.1.4 Verzerrungsrate . . . 12

1.2 Statische Grundlagen . . . 13

1.2.1 CAUCHYscher Spannungstensor . . . 13

1.2.2 1. und 2. P^IOLA-K^IRCHHOFF-Spannungstensor . . . 13

1.3 Bilanzgleichungen . . . 14

1.3.1 Massenbilanz . . . 14

1.3.2 Impulsbilanz . . . 15

1.3.3 Drehimpulsbilanz . . . 16

1.3.4 Mechanische Energiebilanz . . . 16

1.3.5 Energieerhaltung . . . 17

1.3.6 Thermische Energie . . . 17

1.4 Stoffgleichungen . . . 19

1.4.1 Elastizit¨at . . . 19

1.4.2 Elastizit¨atstensor . . . 20

1.4.3 Isotropie . . . 21

1.4.4 H^OOKEsches Gesetz . . . 21

1.4.5 Thermoelastizit¨at . . . 22

1.4.6 CATTANEOsches Gesetz . . . 22

1.5 Modellierung von Platten . . . 23

1.5.1 Bewegungsgleichungen f ¨ur den elastischen Anteil . . . 25

1.5.2 W¨armeleitung in d ¨unnen Platten . . . 31

1.5.3 Zusammenfassung und Linearisierung . . . 35

2 Existenz und Stabilit¨at im Linearen 37 2.1 R^EISSNER-M^INDLIN-Gleichungen . . . 37

2.1.1 Wohlgestelltheit . . . 39

2.1.2 Exponentielle Stabilit¨at bzw. deren Fehlen . . . 45

2.1.3 Exponentielle Stabilit¨at – Vollged¨ampftes System . . . 51 1

2.1.4 Exponentielle Stabilit¨at – Ged¨ampfte Biegung, Rotationsfreiheit . . . 53

2.2 Gleichungen f ¨ur thermoelastische Dehnungen . . . 61

2.2.1 Wohlgestelltheit . . . 63

2.2.2 Exponentielle Stabilit¨at bzw. deren Fehlen . . . 64

3 Existenz und Stabilit¨at im Nichtlinearen 68 3.1 Ein Lokaler Existenzsatz . . . 68

3.2 Globale Existenz und Exponentielle Stabilit¨at . . . 83

4 Exakte Randsteuerbarkeit im Linearen 91 4.1 Formulierung und Reduktion . . . 93

4.2 L ¨osbarkeit des Inhomogenen Problems . . . 96

4.3 Exakte Steuerbarkeit . . . 103

4.3.1 Eine Energieabsch¨atzung . . . 104

4.3.2 Beobachtbarkeitsungleichung und Exakte Steuerbarkeit . . . 105

4.4 Dissipationsfreie Platten . . . 114

A Evolutionsgleichungen 118 A.1 Operatorhalbgruppen und Lineare CAUCHY-Probleme . . . 118

A.1.1 Stark Stetige Halbgruppen . . . 118

A.1.2 Homogene C^AUCHY-Probleme . . . 120

A.1.3 Inhmogene CAUCHY-Probleme . . . 122

A.2 Quasilineare Symmetrisch-Hyperbolische Systeme . . . 122

B Steuerungstheorie in BANACHr¨aumen 127 B.1 Steuerungs- und Beobachtungsoperatoren . . . 127

B.2 Steuerbarkeit . . . 128

C Das Divergenzproblem 130 C.1 Der B^OGOWSKI˘I-Operator . . . 130

C.2 Anwendung auf Rotationsfreie Vektorfelder . . . 131

Literaturverzeichnis 136

Bei einer Platte handelt es sich um einen dreidimensionalen elastischen Festk ¨orper, welchen man sich in der einfachsten Variante als einen Quader vorstellen kann, dessen H ¨ohe viel gerin- ger als die Abmessungen der Grundfl¨ache ist. Im Rahmen der Kontinuumsmechanik geht man in der allgemeinen Situation von der folgenden Beschreibung aus: Zu einem K ¨orperB ⊂ ^R3 gebe es ein GebietΩ⊂^R2und eine stetige Funktionh: ¯Ω→^R+derart, dass

B ={(x1,x2,x3)| |^x3| ≤^h(x1,x2), (x1,x2)∈ ^Ω¯}

gilt. Wenn das Verh¨altnis von max_(x1,x2)∈Ω¯ h(x1,x2) zu einer charakteristischen L¨ange von Ω (z. B. dem minimalen Kr ¨ummungradius vonΩ oder der kleineren Kantenl¨ange, falls Ω ein Rechteck ist, usw.) gering ist, dann wird B als eine Platte bezeichnet (vgl. [61]). Je nach die- sem Verh¨altnis wird zwischen d ¨unnen Platten oder Platten mittlerer Dicke unterschieden. Ist hkonstant, so spricht man von einer Platte gleichm¨aßiger Dicke. Die Menge ¯Ω× {⁰}^{heißt die} Mittelebene der Platte. Eine besondere Rolle in der Plattenmodellierung spielen die auf der Mit- telebene senkrecht stehenden Fasern parametrisiert durch die Segmentenschar{{(x1,x2)} × [−^h(x1,x2),h(x1,x2)]|(x1,x2)∈^Ω¯}^.

Auf den ersten Blick stellt eine Platte einen Spezialfall eines dreidimensionalen Festk ¨orpers dar. Jedoch gibt es eine Reihe wesentlicher Unterschiede zwischen der konventionellen Elasti- zit¨atslehre und den Plattentheorien. Es seien unter anderem die folgenden Aspekte erw¨ahnt:

Im Gegensatz zu der in der allgemeinen Elastizit¨atstheorie essentiellen Tatsache, dass es in ei- nem K ¨orper keine großen Deformationen gibt, ohne dass im Inneren des K ¨orpers große Span- nungen herrschen, kann eine Platte deutliche Verformungen erfahren, ohne dass diese betr¨acht- liche Spannungen hervorrufen (s. [44]). Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass man bei einer Platte in der Regel keine Randbedingungen an der Ober- bzw. Unterseite vorschreibt. Au- ßerdem stellt eine Platte, mathematisch gesehen, einen singul¨aren Limit eines dreidimensiona- len K ¨orpers f ¨urh → 0 dar. Neben rein analytischen Schwierigkeiten im Falleh → ^{0 tauchen} auch numerische Probleme auf, wie z. B. das ,,Locking-Problem“, welches erst im Jahre 1986 von Brezzi und Fortin in ihrem Artikel [8] gel ¨ost wurde.

Um dem Streben nach physikalisch ad¨aquater und mathematisch sauberer Beschreibung von Platten nachzukommen, hat man eine Reihe von Modellen entwickelt, welche ihre breite Anwendung in der Mechanik finden. Ein detaillierter ¨Uberblick ¨uber die historische Entwick- lung verschiedener Plattentheorien findet sich in der Arbeit [61] von Naghdi. Zu den bekann- tensten und popul¨arsten Theorien geh ¨oren die von P^OISSONund K^IRCHHOFF(zu welcher auch LOVE und VON K ´ARMAN´ beigetragen haben) und die von REISSNER und MINDLIN (welche auch teilweise auf den Ideen aus der Balkentheorie von T^IMOSHENKO aufgebaut ist). Obwohl der klassische Zugang von K^IRCHHOFF in der Mathematik sehr beliebt und gut erforscht ist, sodass man die K^IRCHHOFFsche Gleichung sogar gelegentlich als ,,die“ Plattengleichung be- zeichnet, wird in der Mechanik die deutlich allgemeinere Theorie von REISSNER und MIND-

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LINbevorzugt. Dies ist nicht nur damit zu begr ¨unden, dass man dadurch sowohl d ¨unne und schubstarre als auch mitteldicke und schubweiche Platten gut modellieren und die Randbe- dingungen leichter vorschreiben kann, sondern auch, dass das Problem numerisch viel besser handhabbar ist und st¨arkere strukturelle ¨Ahnlichkeiten mit der zweidimensionalen Elastizit¨at aufweist, was das Modell f ¨ur die zahlreichen Anwendungen in der Strukturmechanik beson- ders attraktiv macht (s. z. B. [25], [26]).

Ein weiterer Aspekt, welchen wir ber ¨ucksichtigen m ¨ochten, ist, dass die meisten Elasti- zit¨atsvorg¨ange in einem Festk ¨orper eng an die thermischen Prozesse gekoppelt sind, denn ei- nerseits wird durch elastische Reibungen W¨arme im K ¨orper produziert, andererseits f ¨uhren Temperaturunterschiede zu lokalen K ¨orperausdehnungen und somit auch zu Spannungen.

Wir haben uns hier f ¨ur die W¨armeflussgleichung nach C^ATTANEO entschieden. Im Gegensatz zum klassischen parabolischen W¨armeleitungssystem nach F^OURIER

θt+κ∆θ =0 bzw. θt+ divq=0, q+κ∇^θ =0 handelt es bei dem CATTANEO-System

θt+ divq=0, τ0qt+q+κ∇^θ= 0

um ein System hyperbolischer partieller Differentialgleichungen (s. [9]). Obwohl die beiden Modelle sich in den meisten F¨allen sowohl qualitativ als auch quantitativ ¨ahneln¹ (cf. [32]), zeichnet sich die FOURIER-W¨armeleitung dadurch aus, dass die W¨armeausbreitungsgeschwin- digkeit unendlich ist: ¨andert sich die Temperatur an einer Stelle, so ist die Wirkung ohne Zeit- verz ¨ogerung ¨uberall im K ¨orper zu sehen (vgl. [10]). Dieses physikalische Paradoxon wird durch das CATTANEO-Gesetz behoben, welches den W¨armetransport durch Pulswellen be- schreibt, welche sich im K ¨orper mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Als bekanntes An- wendungsbeispiel hierf ¨ur dient das Laser-Reinigen von Computer Chips: die mit kleinen Teil- chen verschmutzten Silizumwafern werden kurz einem Laserimpuls großer Amplitude aus- gesetzt, um die Scheibe in Schwingung zu versetzen und dadurch die Teilchen abzustoßen (s.

[54]). Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass hyperbolische W¨armeleitung einen einfachen Weg zur exakten Randsteuerbarkeit f ¨ur thermoelastische Systeme ¨offnet.

In dieser Arbeit haben wir uns f ¨ur nichtlineare REISSNER-MINDLIN-Gleichungen entschie- den, weshalb wir unsere Resultate ins Themengebiet der Nichtlinearen Elastizit¨at einordnen k ¨onnen. Obwohl wir uns bei der Gleichungsherleitung immer noch des linearen H^OOKEschen Gesetzes bedient haben, kann man die Gleichung fast uneingeschr¨ankt in der Technischen Me- chanik einsetzen, um ¨uber die Grenzbelastung elastischer K ¨orper besser urteilen zu k ¨onnen.

Auch an dieser Stelle ist eine wichtige Beziehung zur nichtlinearen zweidimensionalen Elasti- zit¨at zu sehen, welcher ein Teil des Systems – die sogenannten elastischen Dehnungenu1, u2

– gehorcht. Das Problem ist aber deutlich komplizierter als die zweidimensionale Elastizit¨at, da es neben einer dritten nichtlinearen Gleichung f ¨ur die Biegungweine Kopplung mit den Faserdrehwinkelnψ,ϕund s¨amtlichen thermischen Variablenθ,q_θ, ˜θ,qθ˜gibt.

Das oben genannte nichtlineare Modell einer w¨armeleitenden Platte nach C^ATTANEO mit dem strukturellen Ansatz nach R^EISSNER und M^INDLIN wird ausf ¨uhrlich im ersten Kapitel

1Es sei hier aber auf zwei Ausnahmen hingewiesen: die mit dem CATTANEO-System gekoppelte Balkenglei- chung nach TIMOSHENKOist nicht exponentiell stabil, wogegen das FOURIERsche Gesetz die exponentielle Sta- bilit¨at liefert (s. [19]). Wohlgemerkt handelt es sich bei diesem Resultat um einen singul¨aren Fall, der allerdings physikalisch nicht eintreten kann. Ein weiteres Beispiel ist durch die Resonatorgleichungen im beschr¨ankten Gebiet desRⁿ,n≥2, gegeben. Auch bei diesem System f ¨uhrt der ¨Ubergang zum CATTANEO-Gesetz zum Verlust der im Falle des FOURIERschen Gesetzes vorhandenen exponentiellen Stabilit¨at (s. [68]).

hergeleitet. Dabei haben wir die in [42] entwickelte Methode auf unser Problem ¨ubertragen². Dies f ¨uhrt auf das folgende System partieller Differentialgleichungen:

ρh∂²_tu1−(∂x1N11(∇^u,∇^w) +∂x2N12(∇^u,∇^w)) + ₂₍₁^E_−µ)∂x1θ˜ = f1, (1) ρh∂²_tu2−(∂x₁N21(∇^u,∇^w) +∂x₂N22(∇^u,∇^w)) + ₂₍₁^E_−µ)∂x₂θ˜ = f2, (2)

τ0∂tqθ˜+qθ˜=−^λ0∇^{θ,˜ (3)}

1

κ∂tθ˜+ divqθ˜+αη(∂x₁∂tu1+∂x2∂tu2) = _λ^α

0p˜+ ^λ_h¹(τˆ2−τ^ˆ1), (4)

ρh∂²_tw−^{K ∂}x1(∂x1w+ψ) +∂x2(∂x2w+ϕ)

−∂x₁(N11(∇w,∇u)∂x₁w+N12(∇w,∇u)∂x₂w) (5)

−^∂x2(N21(∇^w,∇^u)∂x₁w+N22(∇^w,∇^u)∂x2w) = f3,

ρh³

12∂²_tψ−^{D ∂2}x1ψ+ ¹⁻₂^µ∂²_x2ψ+¹⁺₂^µ∂x₁∂x2ϕ

+K(ψ+∂x₁w) + ^D(1₂^+µ)∂x₁θ =M1, (6)

ρh³

12∂²_tϕ−^{D ∂2}x2ϕ+¹⁻₂^µ∂²_x1ϕ+¹⁺₂^µ∂x1∂x2ψ

+K(ϕ+∂x2w) +^D(1₂^+µ)∂x2θ = M1, (7)

τ0∂tq_θ+q_θ =−^λ0∇^{θ, (8)}

1

κ∂tθ+ divq_θ+αη(∂x1∂tψ+∂x2∂tϕ) + ¹²_h2(λ0− ^hλ₂¹)θ = _λ^α

0p+ ^6αλ_h2¹(τˆ2−^τˆ1), (9) wobeiNeine glatteR^2×2-Matrixfunktion ist, komplettiert durch entsprechende Anfangs- und Randbedingungen. Hierbei sind wir der Einfachheit halber von einer Platte konstanter Dicke ausgegangen.

Im zweiten Kapitel besch¨aftigen wir uns mit einer Linearisierung von (1)–(9), wobei das Problem in zwei Teile zerf¨allt, indem sich die Gleichungen f ¨ur die klassischen TIMOSHENKO- Variablen von den Gleichungen f ¨ur die elastischen Dehnungen entkoppeln. Die dadurch ent- stehenden Probleme werden separat behandelt. Sie werden jeweils unter Verwendung einer geschickten Transformation auf die Form

Vt(t) +A^V(t) =F(t)f ¨urt∈ (0,∞), V(0) =V⁰

gebracht, um schließlich mit Hilfe der Halbgruppentheorie gel ¨ost zu werden. Dabei gehen wir von der allgemeinen Situation aus, in der man sowohl f ¨ur die elastischen, als auch auch f ¨ur die thermischen Variablen die gemischten DIRICHLET-NEUMANN-Randbedingungen vorschreibt.

Danach wird die Frage nach der Abklingrate der zum jeweiligen System geh ¨origen Energie ge- stellt. Selbst bei einem mechanisch unged¨ampften T^IMOSHENKO-Balken mit der W¨armeleitung nach CATTANEO, welcher nichts anderes als eine eindimensionale REISSNER-MINDLIN-Platte ist, f¨allt die Energie nicht exponential ab (s. [19]), was unsere Suche nach passenden D¨ampfun- gen berechtigt. In [43] hat man unter anderem eine rein elastische R^EISSNER-M^INDLIN-Platte studiert. Das ¨uber die NEUMANNschen Randbedingungen linear ged¨ampfte System hat sich als exponentiell stabil erwiesen, wenn man zus¨atzlich voraussetzt, dass das Gebiet sternkom- plement¨ar-sternf ¨ormig ist (vgl. Definition 4.3.7). Unsere Aufgabe war es zu untersuchen, wie sich die durch die W¨armedissipation produzierte D¨ampfung auf die Stabilit¨at auswirkt. Dabei haben wir eine gewisse Bilanz zwischen den elastischen D¨ampfungen, auf die man nat ¨urlich nicht komplett verzichten kann, und den geometrischen Bedingungen gefunden.

Im dritten Kapitel kehren wir zu dem urspr ¨unglichen nichtlinearen Problem zur ¨uck, wel- ches wir in einer etwas allgemeineren Form betrachten. Bei diesem handelt es sich um ein rein

2Außerdem haben wir den physikalischen Zugang gegen ¨uber dem axiomatischen Zugang nach COSSERATbe- vorzugt, da Letzterer in der (vor allem ingenieurwissenschaftlichen) Literaur weniger verbreitet und nicht hinrei- chend intuitiv ist.

hyperbolisches System, welches jedoch von gemischter Ordnung ist, sodass klassische Resul- tate f ¨ur hyperbolische Systeme zweiter Ordnung leider nicht anwendbar sind. Deshalb wird das System auf ein semilineares symmetrisch-hyperbolisches System erster Ordnung transfor- miert, welches wiederum nicht strikt hyperbolisch ist, da die zugeh ¨orige Randmatrix nicht invertierbar ist. Um dieses Problem zu l ¨osen, wenden wir die L ¨osungstheorie von Secchi [75]

an, was uns lokale Existenz und Eindeutigkeit der L ¨osungen liefert. Als Hauptziel dieses Kapi- tels haben wir aber die globale Existenz der L ¨osungen zu beweisen. Wir zeigen, dass die lokal existierende L ¨osung f ¨ur hinreichend kleine Daten global fortsetzbar ist und exponentiell ab- klingt, indem wir uns die im ersten Kapitel bewiesene exponentielle Stabilit¨at im Linearen zu Nutze machen.

Das vierte Kapitel ist der exakten Randsteuerbarkeit des thermoelastischen R^EISSNER-M^IND-

LIN-Systems mit der W¨armeleitung nach C^ATTANEO gewidmet. So k ¨onnen wir mit den klas- sischen Methoden der Kontrolltheorie in BANACHr¨aumen zur Existenz einer L²-optimalen Randsteuerung gelangen. Dabei verallgemeinern wir die Resultate von Lagnese und Lions [42]

auf die thermoelastische Situation. Am Ende des Kapitels werden alle Resultate auf den Fall einer dissipationsfreien Platte ¨ubertragen, welche sich mit Hilfe der sogenannten Thermoela- stizit¨at vom Typ II nach GREEN& NAGHDI(cf. [24]) modellieren l¨asst.

Im Anhang werden alle unkonventionellen Hilfsmittel, welche wir in dieser Arbeit benutzt haben, zusammengefasst. Wir zitieren L ¨osungstheorien f ¨ur abstrakte CAUCHY-Probleme so- wie semilineare symmetrisch-hyperbolische Systeme und diskutieren die Eigenschaften des B^OGOWSKI˘I-Operators.

Thermoelastizit¨atstheorie

Die (Thermo)elastizit¨atstheorie ist ein Teilgebiet der Kontinuumsmechanik. Diese alte und eta- blierte Theorie kann auf eine fast 350-j¨ahrige Geschichte zur ¨uckblicken. So hat H^OOKEim Jahre 1678 sein ber ¨uhmtes Gesetz ,,ut tensio sic vis“¹formuliert, welches er zwei Jahre zuvor in Form eines Anagramms ,,ceiiinosssttuv“ aufschrieb (cf. [6]). Parallel zu H^OOKEhat J^ACOBB^ERNOUL-

LI in seinen Arbeiten den Grundstein f ¨ur die Rationale Mechanik – auch Analytische Mecha- nik genannt – gelegt, welche im Anschluss von EULER, CAUCHY sowie vielen Generationen der Naturphilosophen weiterentwickelt wurde (s. [81]). F ¨ur eine detaillierte Abhandlung ¨uber die Geschichte der Elastizit¨atslehre sei der Leser auf das klassische Buch [82] von Truesdell verwiesen. Heute liegt die Elastizit¨at im Forschungsschwerpunkt der Theoretischen und Ex- perimentellen Physik, der Analytischen und Numerischen Mathematik, der Ingenieur- und Bauwissenschaften und findet immer wieder neue Anwendungsgebiete wie z. B. Medizin (s.

[65]).

Um das mechanisch-thermische Verhalten von Stoffen aus der wirklichen Welt zu beschrei- ben, werden diese als Kontinuum, d. h. als eine ,,l ¨uckenlose“ Anh¨aufung von materiellen Punk- ten, aufgefasst. Die zentrale Aufgabe der Thermoelastizit¨atslehre besteht darin, die zeitliche Evolution der auf diesem Kontinuum definierten Feld- (Temperatur, Entropie etc.), Vektorfeld- (Verschiebungsvektor, W¨armefluss etc.) sowie Tensorfeldgr ¨oßen (Spannungs- und Verzerrungs- tensor etc.) zu beschreiben. Nat ¨urlich m ¨ussen dabei die physikalischen Parameter, der An- fangszustand, die auf den K ¨orper wirkenden ¨außeren Kr¨afte und die W¨armezufuhr sowie die Randbedingungen vorgeschrieben werden. Nachdem ein solches Modell aufgestellt ist, kann man den Deformationsvorgang prognostizieren, Parameter sch¨atzen, durch eine entsprechen- de Wahl der ,,Steuergr ¨oßen“ das System in einen gew ¨unschten Zustand lenken oder die mit der Verformung verbundenen Gr ¨oßen optimieren, komplizierte Strukturen mit gew ¨unschten Eigenschaften entwerfen usw.

Das mechanische Verhalten eines K ¨orpers kann dabei elastisch oder inelastisch (z. B. an- elastisch (thermisch, elektrisch, viskos usw.), viskoelastisch, plastisch usw.) sein. Bei einem elastischen K ¨orper verschwinden die Verformungen, sobald der K ¨orper entlastet ist. Wie die Experimente allerdings zeigen, weichen wirkliche Werkstoffe von dieser Idealvorstellung ab (cf. [6] und Referenzen ebd.). Auch thermische Effekte f ¨uhren in diesem Sinne zum inelasti- schen Verhalten, weil sie die Deformation wegen der Energiedissipation irreversibel machen²

1lat.: Wie die Dehnung, so die Kraft

2Ein sehr interessantes Beispiel f ¨ur ein (nichtlineares) inelastisches Verhalten ist von Formged¨achtnislegierungen (shape memory alloys) gegeben. So kann man durch gezieltes Aufheizen mechanische Eigenschaften des Stoffes

7

(vgl. [4], Kapitel 3). In der vorliegenden Arbeit betrachten wir ausschließlich elastische und thermoelastische K ¨orper.

In der ersten H¨alfte des Kapitels stellen wir eine kurze Zusammenfassung der Thermo- elastizit¨atstheorie vor, welche wir sp¨ater bei der Modellierung von w¨armeleitenden Platten benutzen. Dabei haben wir die folgenden Literaturquellen verwendet: [4], [6], [21], [28], [44], [67], [81], [85]. Das Ziel der n¨achsten Abschnitte besteht nicht darin, neue physikalische Kon- zepte zu entdecken, sondern eine einfache, in sich geschlossene Herleitung der nichtlinearen Thermoelastizit¨atsgleichungen mit einheitlichen Notationen zu gewinnen, was z. B. f ¨ur die in diesem Umfeld t¨atigen Mathematiker von Interesse sein kann. Die im zweiten Teil des Kapitels hergeleiteten nichtlinearen Plattengleichungen nach REISSNER & MINDLIN mit dem W¨arme- fluss nach C^ATTANEO, welche auf den Resultaten aus dem ersten Teil des Kapitels aufgebaut sind, kamen in der Literatur dagegen noch nie vor.

Im Laufe des Kapitels verwenden wir die in der Physik g¨angigen Schreibweisen: fette Schriftart f ¨ur Vektoren und Matrizen, typische Buchstaben f ¨ur entsprechende Gr ¨oßen usw. Die- se Regeln werden bei den mathematischen Abhandlungen in den sp¨ateren Kapiteln meistens nicht beachtet.

1.1 Kinematische Grundlagen

Verformbare K ¨orper (Festk ¨orper und Fluide) ¨andern ihre Gr ¨oße und Gestalt unter der Ein- wirkung ¨außerer Kr¨afte, auch Lasten genannt, sowie der W¨armezufuhr. Im Folgenden be- schr¨anken wir uns ausschließlich auf Beschreibung der Festk ¨orper. Bei Festk ¨orpern werden Verformungen erzeugt, welche zur Entstehung innerer Kr¨afte sowie eines W¨armeflusses f ¨uhren.

Deren Gr ¨oße und Verteilung im betrachteten K ¨orper h¨angen sowohl von den Lasten als auch von den geometrischen und physikalischen Eigenschaften des K ¨orpers ab (vgl. [28]).

Um das mechanische Verhalten eines K ¨orpers zu beschreiben, wird der K ¨orper in der idea- lisierten Form als Kontinuum angenommen. Obwohl es in der Wirklichkeit keine kontinuier- lichen K ¨orper gibt, weist die Materie im makroskopischen Bereich die ,,Stetigkeit“ auf. Dieser Ubergang von der diskreten Struktur der Materie auf der Mesoskala zum Kontinuum auf der¨ Makroskala findet ihre mathematische Berechtigung auch darin, dass (lokal) gemittelte Zufalls- felder eine bessere Regularit¨at besitzen. Eine andere wichtige Berechtigung f ¨ur die Einf ¨uhrung des Kontinuums ergibt sich aus der Erfahrung, dass sich die darauf aufgebauten Theorien ex- perimentell verifizieren lassen.

Ein infinitesimales Materialvolumen kann als ,,Teilchen“ des Kontinuums aufgefasst wer- den, wobei man von der beliebigen Teilbarkeit der Materie sowie der Nichtunterscheidbarkeit der einzelnen Teilchen ausgeht. In jeder Umgebung eines einzelnen materiellen Teilchens ist immer Materie vorhanden, die außerdem stetig verteilt ist. Bei Belastung durch ¨außere Kr¨afte

¨andern die materiellen Teilchen ihre Lage im Raum. Dieser Vorgang wird oft als Bewegung des Kontinuums bezeichnet. Als Spezialfall ist dabei die gleichm¨aßige Bewegung des gesamten be- trachteten Kontinuums zu beachten. Dabei treten weder Verformungen noch innere Spannun- gen auf, sodass man von einem starren K ¨orper sprechen kann. Die Bewegung des Kontinuums beschrieben durch eine Funktion wird ebenfalls als stetig angenommen. Dies bedeutet, dass alle f ¨ur die Verformung wichtigen Gr ¨oßen stetige Zeit- und Ortsfunktionen sind (s. [28]).

Wir beschr¨anken unsere ¨Uberlegung auf elastische und thermoelastische K ¨orper. In der

,,programmieren“. Außerdem zeichnen sich Formged¨achtnislegierungen durch eine sehr langsame Erm ¨udung aus (s. [27]).

Kontinuumsmechanik wird als K ¨orper eine Teilmenge des euklidischen Raumes bezeichnet, welche sich durch einen Hom ¨oomorphismus auf einen BereichBr ⊂^R3abbilden l¨asst, welcher Referenzmenge heißt. Dieser Hom ¨oomorphismus wird Konfiguration des K ¨orpers genannt. In der Regel unterscheidet man nicht zwischen dem K ¨orper und der Referenzmenge³.

Bei der Beschreibung des elastischen Verhaltens des K ¨orpers sei angenommen, dass der K ¨orper hinreichend groß ist, sodass seine mikroskopische Struktur vernachl¨assigt werden kann.

Dabei setzen wir zun¨achst keine physikalische Linearit¨at voraus. Thermoelastische Stoffe k ¨on- nen sich im Allgemeinen durch ein nichtlineares Verhalten auszeichnen, nicht nur wegen der geometrischen Nichtlinearit¨at, sondern auch wegen eines nichtlinearen Stoffgesetzes (wie z. B.

das MOONEY-RIVLIN-Materialgesetz f ¨ur Gummi).

1.1.1 Deformationsvorgang

Bis Ende des Abschnitts richten wir uns ziemlich nah an [21], [81] und [85]. Wir betrachten einen K ¨orper, welcher in einer Referenzkonfiguration einen BereichBr ⊂ ^R3 belegt. Materi- elle Punkte werden dabei durch ihren OrtsvektorX mit Koordinaten (X1,X2,X3) bez ¨uglich eines C^ARTESIschen Koordinatensystems gekennzeichnet. Wir bezeichnen diese Koordinaten als materielle oder LAGRANGEsche Koordinaten.

Der RandSrvonBrsei gem¨aß

Sr =S^¯r,1∪S^¯r,2

zerlegt, wobeiS1 und S2 relativ offene, disjunkte Teilmengen vonSr seien. AufSr,1 und Sr,2

werden Verschiebungen bzw. Zugkr¨afte (Oberfl¨achenkr¨afte) vorgeschrieben.

Der K ¨orper m ¨oge sich ¨uber die Zeitt∈ Iverformen, wobeiI ⊂^Rein Intervall ist. Zu einem festen Zeitpunktt ∈ ^I betrachten wir den K ¨orper in seiner verformten KonfigurationBt. Die Verformung wird gegeben durch einen Hom ¨oomorphismusχt: Br→ Bt, welcher jeden Punkt X∈ Br4auf einen anderen Punktx∈ Bteindeutig abbildet, d. h.

x =χt(X), X∈ Br, (1.1)

worinx den Ortsvektor des zu Xgeh ¨origen Punktes inBt bezeichnet. F ¨ur die Umkehrabbil- dungχ⁻_t¹vonχtgilt

X= χ⁻_t ¹(x), x∈ Bt. (1.2)

Die Punkte inBtwerden durch ihre Koordinaten(x1,x2,x3)in einem C^ARTESIschen Koordina- tensystem gekennzeichnet. Sie werden raumbezogene oder E^ULERsche Koordinaten genannt.

Die einparametrige Familie{Bt}t∈^I heißt dann eine Bewegung des K ¨orpers, fallsχt(X) = χ(X,t)ein glattes Vektorfeld aufBr×Iist.

Das VerschiebungsfeldUsetzt die Lage eines jeden Teilchens in der Referenzkonfiguration mit einer solchen in der verformten Konfiguration in Verbindung. In den LAGRANGEschen Koordinaten schreibt man hierzu

U(X,t) =x(X,t)−^X, w¨ahrend sich in den E^ULERschen Koordinaten

u(x,t) =x−^X(x,t)

3Manche Autoren kritisieren diese Vereinfachung (s. [81]).

4Oft wird die AnfangskonfigurationBt0als Referenzkonfiguration gew¨ahlt, was nicht immer korrekt ist.

ergibt. Es besteht zwischen den beiden Betrachtungsweisen der Zusammenhang U(X,t) =U(χ⁻_t ¹(x),t) =u(x,t).

Die momentane GeschwindigkeitVsowie die BeschleunigungAeines materiellen Punktes in LAGRANGEschen Koordinaten sind gegeben durch

V(X,t) = ^∂χ

∂t(X,t), A(X,t) = ^∂

2χ

∂t²(X,t). (1.3)

Es sei erw¨ahnt, dass der Operator∂/∂tdie materielle Zeitableitung bezeichnet, d. h. die Zeita- bleitung an einem festen OrtX.⁵

Um lokale Verformungen in einem K ¨orper messen zu k ¨onnen, setzen wir das Prinzip der Lokalit¨at voraus, wonach die innere Energiedichte in einem materiellen PunktX∈ Brnur von dem lokalen Zustand einer infinitesimalen Umgebung vonXabh¨angt. Der Deformationsgra- dientF(eine Matrix) ist gegeben durch

F=Gradx=1+Gradu mit CARTESIschen KomponentenFiα = _∂X^∂xi

α =1+ _∂X^∂ui

α. Die Schreibweisen Grad und grad ste- hen f ¨ur den Gradienten bzgl. derX- bzw.x-Variablen. Lokale Invertierbarkeit vonχverlangt, dassFregul¨ar ist, d. h.

J =detF6=0.

Die JACOBIsche DeterminanteJsetzt zwei Volumenelemente gem¨aß

dV= JdV0 (1.4)

in Verbindung. F ¨ur den Inversdeformationsgradienten gilt analog F⁻¹=gradX=1+gradU, (F⁻¹)_αi = ^∂Xα

∂xi

=1+^∂Uα

∂xi

. Da auchF⁻¹invertierbar ist, folgt

0< _J <∞. Die Identit¨at

dx=FdX bzw. dxi = FiαdXα (1.5)

beschreibt die Art und Weise, wie ein Linienelement dXdes Stoffes um den PunktXunter der Deformation linear auf ein Linienelement dxumxabgebildet wird.

5Durch einsetzen der Beziehung (1.1) in (1.3) l¨asst sich eine Darstellung der Geschwindigkeitvsowie der Be- schleunigungain den EULERschen Koordinaten bestimmen:

v(x,t) =Vχ_t(X),t) = ^∂χ_∂t χ⁻¹(x,t)= (V◦χ⁻¹_t ) x,t

, a(x,t) =A(χ_t(X),t) = ^∂V_∂t χ⁻¹(x,t)= (A◦χ⁻¹_t ) x,t . Letztere ist in der Elastizit¨atstheorie seltener gebr¨auchlich, spielt aber eine wichtige Rolle in der Fluiddynamik.

1.1.2 Polare Zerlegung des Deformationsgradienten

Der DeformationsgradientFbeinhaltet vollst¨andige Informationen ¨uber die lokal linearisierte Deformation an einem festen materiellen Ort. Daher ist es sinnvoll, zur Beschreibung des Be- wegungsvorganges in einem Kontinuum den Deformationsgradienten heranzuziehen. Da er jedoch auch Starrk ¨orperbewegung beinhaltet, muss diese getrennt werden, um einen Zugang zu Verzerrungstensoren zu finden.

Da es sich bei der Menge aller zul¨assigen Deformationsgradienten um eine lineare Unter- gruppe der orientierungserhaltenden Abbildungen handelt, ist eine multiplikative Zerlegung vonFsehr naheliegend. An einem festen materiellen Ort zu einem festen Zeitpunkt wenden wir das Polare Zerlegungstheorem (s. [6], Ziffer 1.5) aufFan, welches zwei eindeutige Aufspal- tungen gem¨aß

F=RU=VR (1.6)

ergibt, wobei

R⁻¹=R^T, U=U^T, V=V^T. (1.7)

Darin heißenUundVRechts- bzw. Links-Streck-Tensor.

Diese Tensoren besitzen eine Spektraldarstellung. F ¨urUergibt sich U= λiU⁽ⁱ⁾⊗^U(i),

wobei die Eigenwerteλi > _{0 LAGRANGE}sche Hauptdehnungen und die Einheitseigenvekto- renU⁽ⁱ⁾ LAGRANGEsche Hauptrichtungen heißen. Auf ¨ahnliche Weise l¨asst sich Vwie folgt zerlegen:

V=λiV⁽ⁱ⁾⊗^V(i)mitV⁽ⁱ⁾= RU⁽ⁱ⁾. Trivialerweise ergibt sich

J =detF=det(R)det(U) =λ1λ2λ3. 1.1.3 Verzerrungsmaße und Verzerrungstensoren

In diesem Abschnitt stellen wir einige wichtige Verzerrungstensoren vor, welche bei der For- mulierung des Stoffgesetzes oft herangezogen werden. Um der historischen Entwicklung der Elastizit¨atslehre n¨aher zu sein, fangen wir mit dem G^REENschen VerzerrungstensorEan. Unter Beachtung von (1.5) findet man

|^dx|² = (FM)·(FM)|^dX|² = (F^TFM)·^M|^dX|^2,

wobeiM = _|^dX_dX|. Das Verh¨altnis zwischen den L¨angen der Linienelemente in der verformten Konfiguration und der Referenzkonfiguration ist gegeben durch

|^dx|

|^dX| = |^FM|= (M·(F^TFM))¹² ≡^λ(M). (1.8) Gleichung (1.8) definiert die Streckung in RichtungMam OrtX. Die Funktionλ: S² ⊂^R3 → (0,∞) gibt ein Beispiel eines Verzerrungsmaßes an. Gibt es keine Streckung (Stauchung) in RichtungM, so giltλ(M) =1 und daher

(F^TFM)·^M=1. (1.9)

Verschwindet die Streckung in allen Richtungen, also gilt (1.9) f ¨ur alleM, dann heißt der K ¨orper ungedehnt am OrtX. Es folgt insbesondereF^TF = I, wobeiIden Identit¨atstensor bezeichnet.

Ein geschickter Verzerrungstensor ist demnach durchF^TF−^Igegeben, da dieser in unverzerr- ten K ¨orpern verschwindet. Dies motiviert die Definition des GREENschen Verzerrungstensors

E= ¹₂(F^TF−^I). (1.10)

Gilt (1.9) f ¨ur ein festesMund f ¨ur alle m ¨oglichen Deformationsgradienten, so heißt der K ¨orper unausdehnbar in RichtungM.

Unter Benutzung der Polarzerlegung (1.6) des DeformationsgradientenFkann man auch folgende Verzerrungstensoren definieren:

C=F^TF=U², B=FF^T = V². Letztere heißen GREENscher Rechts- bzw. Links-Streck-Tensor.

Eine allgemeinere Klasse von Verzerrungstensoren kann man aus der Tatsache, dass im un- verzerrten K ¨orperU=Igilt, gewinnen. Also definieren wir nachstehend die L^AGRANGEschen Verzerrungstensoren⁶

E^(m) = _m¹(U^m−^I), m∈(0,∞), E⁽⁰⁾ =lnU, m=0.

Der TensorH = lnU = ¹₂lnF^TFwird auch H^ENCKYscher oder logarithmischer Verzerrungs- tensor genannt. Gegen ¨uber anderen Verzerrungstensoren bietet er den Vorteil, dass er sich ad- ditiv in Volumen¨anderung und Gestalt¨anderung aufspalten l¨asst. Diese Aufspaltung entspricht einer Tensorzerlegung in Deviator und Kugeltensor. Darin ist der Deviator f ¨ur die Gestalt¨ande- rung und der Kugeltensor f ¨ur die Volumen¨anderung verantwortlich. Details dazu findet man in [6], Ziffern 1.6 und 1.7. Die EULERschen Verzerrungstensoren ergeben sich v ¨ollig analog, wenn man anstatt vonUden TensorVverwendet.

Bei kleinen Verzerrungen k ¨onnen in (1.10) geometrische Nichtlinearit¨aten vernachl¨assigt werden. Dies f ¨uhrt auf den infinitesimalen LAGRANGEschen Verzerrungstensor

ε = ¹₂(F^T+F−^2I) = ¹₂(Gradu+ (Gradu)^T). (1.11) Da die Referenzkonfiguration und die verformte Konfiguration im Rahmen der linearen Elasti- zit¨atstheorie ¨ubereinstimmen, stellt (1.11) eine feine Approximation nichtlinearer Verzerrungs- tensoren dar. Diese Bedingung ist in allen Festk ¨orpern unter hinreichend kleinen Lasten immer erf ¨ullt.

1.1.4 Verzerrungsrate

Der Geschwindigkeitsgradientl = gradvin der EULERschen Betrachtungsweise dr ¨uckt sich

¨uber den DeformationgradientenF

l=FF^{˙ −1} aus. Die Verzerrungsrateddefiniert man dann als

d= ¹₂(l+l^T). (1.12)

6Der Audruck lnUist hier im Sinne des Spektralsatzes zu verstehen.

1.2 Statische Grundlagen

Auf einen K ¨orper k ¨onnen sowohl r¨aumlich verteilte Volumenkr¨afte als auch ¨uber die Ober- fl¨ache verteilte Fl¨achenlasten wirken. Hierdurch entstehen im Innern des K ¨orpers Spannungen, welche den Beanspruchungszustand charakterisieren. Der Spannungszustand ist eine Tensor- feldgr ¨oße und kann im Allgemeinen vom Punkt zu Punkt variieren (hier und ff. [6], [67], [85]).

1.2.1 CAUCHYscher Spannungstensor

Um die durch die ¨außeren Lasten hervorgerufenen Spannungen im K ¨orperB an einer Stelle x in einer verformten Konfiguration zu bestimmen, wird der K ¨orper nach dem EULERschen Prinzip aufgeschnitten. Der Spannungsvektortdefiniert sich als

t= lim

∆s→⁰

∆p

∆s = ^dp ds.

Darin ist∆p die auf eine gedachte Schnittfl¨ache, welche durch x verl¨auft, wirkende resultie- rende Kraft. Das parallel zur resultierenden Kraft entstehende Momentum verschwindet beim Ubergang zum Grenzwert. Im C¨ ^OSSERAT-Kontinuum⁷ m ¨ussen Momentspannungen, welche als Reaktion auf eine aufgezwungene Gitterkr ¨ummung entstehen, dagegen ber ¨ucksichtigt wer- den. Die Orientierung der Fl¨ache ∆s ist eindeutig durch den Normalenvektor n an ∆s in x bestimmt.

F ¨ur die Spannungsvektoren an den gegen ¨uberliegenden Schnittseiten gilt t(p(x,t),n) =−^t(p(x,t),−ⁿ).

Nach dem CAUCHYschen Fundamentaltheorem h¨angt der Spannungsvektortvonnlinear ab.

Daher gilt

t(x,t) =^σ(x,t)n(x,t).

Darin istσ(·^,t): χt(Br)→^{R3×3der CAUCHY}sche Spannungstensor, welcher den Spannungs- zustand inxeindeutig bestimmt. Da beiσ sowohl die einwirkenden Kr¨afte als auch die Span- nungen in der Momentankonfiguration (E^ULERsche Betrachtungsweise) betrachtet werden, handelt es sich beiσ um einen wahren Spannungstensor⁸.

1.2.2 1. und 2. PIOLA-KIRCHHOFF-Spannungstensor

Analog kann man f ¨ur einXin der Referenzkonfiguration (L^AGRANGEsche Betrachtungsweise) den SpannungsvektorT

T= lim

∆S→⁰

∆p

∆S = ^dp dS

f ¨ur eine durchXverlaufende Fl¨ache∆Sund die resultierende Kraft∆pbetrachten. Mit dem 1.

P^IOLA-K^IRCHHOFF-SpannungstensorP(·^,t): Br →^R3×3schreibt man dann T(X,t) =P(X,t)N(X,t).

7COSSERAT-Kontinuum ist ein Instrument zur Modellierung d ¨unner Schalen und Platten (cf. [61]).

8In der Werkstoffpr ¨ufung wird zwischen der Nennspannung, welche bez ¨uglich des Anfangsquerschnitts eines Zugstabes gemessen wird, und der wahren Spannung, welche anhand des Momentanquerschnitts bestimmt wird, unterschieden (s. [6]).

Im Gegensatz zuσ istPein Nennspannungstensor. Unter Benutzung der NANSONschen For- mel ergibt sich die P^IOLA-Transformation

σ = J⁻¹PF^T.

DaPzwischen der Referenz- und Momentankonfiguration abbildet, istP(so wieF) ein Dop- pelfeldtensor und weist daher im Allgemeinen keine Symmetrie auf.

Geht man nun komplett in die Referenzkonfiguration ¨uber, so kann man den 2. P^IOLA- KIRCHHOFF-SpannungstensorS(·^,t): Br →^{R3×3definieren}

T₀(X,t) =S(X,t)N(X,t), wobei

T0 = lim

∆S→⁰

∆p₀

∆S = ^dp0 dS .

Sowohl die differentielle Kraftp0als auch die differentielle Fl¨ache werden in der Referenzkon- figuration betrachtet. Dann gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Tensoren

σ = J⁻¹FSF^T, P= FS,

S= JF⁻¹σF⁻¹= F⁻¹P.

(1.13)

1.3 Bilanzgleichungen

Die meisten Bilanzgleichungen leiten sich von den Erhaltungsgesetzen (Massenerhaltung, Im- pulserhaltung, Energieerhaltung usw.) ab. Andere physikalischen Prinzipien, wie z. B. der 2.

Hauptsatz der Thermodynamik, pr¨azisieren die Stuktur der allgemeinen Gleichungen.

1.3.1 Massenbilanz

Seienρ0(X,t) und ρ(x,t) die Massendichten pro Volumeneinheit in der Referenz- sowie der Momentankonfiguration. Nun greift man eine beliebige offene MengeB ⊂ Brin der Referenz- konfiguration heraus, welche sich zum Zeitpunktt ∈ ^I zuχt(B)⊂ Btverformt. Da die Masse vonBerhalten sein muss, gilt

Z

Bρ0(X,t)dV=

Z

χt(B)ρ(x,t)dv und daher

dm=ρ0(X,t)dV =ρ(x,t)dv.

Mit dem Transformationssatz ergibt sich die Massenbilanz in den L^AGRANGEschen Koordina- ten

ρ0 = Jρ.

Im Folgenden werden wir meistens der Einfachheit halber bei den Funktionen die Argumente auslassen.

1.3.2 Impulsbilanz

Wir bezeichnen mit ¯B: Br →^{R3und ¯b: χ}t(Br)→^R3die auf den K ¨orper wirkenden Volumen- kr¨afte per Volumeneinheit in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration. Sei dmdie Masse eines Volumenelementes dvund sei dfdie resultierende Kraft ¨uber dv. Dann gilt

df= B^¯(X,t)dm=b^¯(x,t)dm, d. h. ¯b◦^χt=B.^¯

Analog kann man die auf die Oberfl¨ache des K ¨orpers einwirkenden Oberfl¨achenkr¨afte T¯ : Sr → ^{R3 und ¯t: χ}t(Sr) → ^R3 in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration, auch ma- terielle bzw. r¨aumliche Oberfl¨achenkr¨afte genannt, betrachten. Seien dSund dsinfinitesimale Fl¨achen, welcheX ∈ Sr bzw.x ∈ ^χt(Sr)enthalten, mit den ¨außeren EinheitsnormalenNbzw.

n. Die resultierende Oberfl¨achenkraft lautet

df =T^¯(X,t)dS=^¯t(x,t)ds.

SeiB ⊂ Brein offenes G^AUSSsches Normalgebiet mit dem ¨außeren Einheitsnormalenvek- torNan die Oberfl¨acheS =∂B. Der resultierende Impuls vonB^lautet

L=

Z

Bρ0VdV.

Die resultierende Kraft schreibt sich ¨ahnlich zu F=

Z

Bρ0BdV¯ +

Z

SPNdS. (1.14)

Unter Verwendung des zweiten N^EWTONschen Gesetzes d

dtL= B^¯ und (1.14) folgt die Identit¨at

Z

Bρ0AdV=

Z

Bρ0BdV¯ +

Z

SPNdS,

mit dem BeschleunigungsvektorA. Der GAUSSsche Divergenzsatz liefert dann Z

B(ρ0(A−^B¯)− DivP)dV=0, (1.15) wobei Div den Divergenzoperator bzgl. der Referenzkonfiguration bezeichnet. Da (1.15) f ¨ur alleBgilt, folgt

ρ0A=ρ0B¯ + DivPinBr. (1.16) Gleichung (1.16) stellt die Impulsbilanz in den L^AGRANGEschen Koordinaten dar und wird in der Regel durch die Randbedingungen

PN=T^¯ aufSr,1 (statische bzw. NEUMANNsche Randbedinungen), x=x¯ aufSr,2 (kinematische bzw. D^IRICHLETsche Randbedinungen) mit vorgegebenen ¯Tund ¯xkomplettiert⁹

9Ein Beispiel f ¨ur ,,exotische“ Randbedingungen findet man bei den Kontaktproblemen, z. B. nach SIGNORINI, bei welchen die Randbedingungen als Ungleichungen gegeben sind (s. z. B. [15]).

1.3.3 Drehimpulsbilanz

SeiB ⊂ Brwiederum ein offenes G^AUSSsches Normalgebiet mit dem ¨außeren Einheitsnorma- lenvektorNan die Obefl¨acheS =∂B. Den resultierenden DrehimpulsGbzw. das resultieren- de MomentumMdefiniert man als

G=

Z

B(x−^x0)×^ρ0VdV, M =

Z

B(x−^x0)×^ρ0BdV¯ +

Z

S(x−^x0)×(PN)dS.

Da die ¨Anderungsrate des Drehimpulses dem Gesamtmomentum aller auf den K ¨orper von außen wirkenden Fl¨achen- und Volumenlasten gleicht, bekommt man die Drehimpulsbilanz- gleichung

d

dtG= M.

Der C^AUCHYsche Satz (s. Beweis in [84]) liefert dann die Symmetrie vonσ σ =^σT.

1.3.4 Mechanische Energiebilanz

SeiBwie oben. Die kinetische EnergieKvonB^{wird durch} K= ¹₂

Z

Bρ0|^V|^2dV

gegeben. Die Leistung P^E aller auf B wirkenden ¨außeren Kraftfelder (Volumen- und Ober- fl¨achenkr¨afte) lautet dann

P^E=

Z

Bρ0B¯ ·^VdV+

Z

SPN·^VdS.

Die Deformationsleistung P^D ist die Leistung aller ¨außeren Kraftfelder, welche nicht in die kinetische Energie transformiert wird, d. h.

P^D = P^E−K.^˙ (1.17)

Damit bekommen wir P^D =

Z

Bρ0B¯ ·^VdV+

Z

SPN·^VdS−

Z

Bρ0A·^VdV, was unter Beachtung des G^AUSSschen Divergenzsatzes zu

P^D =

Z

B(ρ0(B^¯ −^A) + DivP)·^VdV+

Z

BP: GradVdV (1.18)

f ¨uhrt, wobei A: B := spur(AB) = ∑³

i,j=1

aijbij f ¨ur A,B ∈ ^R3×3 die doppelte ¨Uberschiebung bezeichnet. Ferner folgt aus Gleichung (1.15) wegen GradV=F^˙

P^D =

Z

BP: ˙FdV. (1.19)

L^AGRANGEsche Form E^ULERsche Form

Masse ρ0= Jρ _dt^dρ=ρdivv

Impuls ρ0A=ρ0B¯ + DivP ρ0a=ρb¯ + Divσ

Drehimpuls σ = ^σT PF=FP

Mechanische Energie U˙ =P: ˙F U˙ = Jσ: d Thermische Energie U˙ =P: ˙F− divQ+R U˙ = Jσ: d− divq+r

Tabelle 1.1: Lokale Energiebilanzgleichungen in der LAGRANGEschen und der EULERschen Be- trachtungsweise

Der 1. P^IOLA-K^IRCHHOFF-TensorPund der DeformationsgradientFsind in diesem Sinne ar- beitskonjugiert, d. h. deren Produkt definiert die ¨Anderungsrate der inneren mechanischen Leistung, welche man grob als potentielle Energie bezeichnen kann. Mit (1.10), (1.12) und (1.13) folgt

P: ˙F=S: ˙E= Jσ :d.

1.3.5 Energieerhaltung

Die FunktionU: Br →^Rbezeichne die Dichte der inneren Energie pro Volumeneinheit in der Referenzkonfiguration. Die gesamte innere Energie schreibt sich dann als

E=

Z Br

UdV=

Z

χt(Br)J⁻¹UdV.

F ¨ur elastische K ¨orper muss die Energie konstant bleiben, sodass die ¨außere Energiezufuhr ohne Verluste in die kinetische Energie ¨uberf ¨uhrt wird, d. h.

P^E= E^˙ +K.^˙ (1.20)

Setzt man Gleichung (1.17) in (1.20) ein, so ergibt sich die triviale Gleichheit

E˙ =P^D, (1.21)

sodass wir keine neue Bilanzgleichung erhalten. Mit (1.19) kann man (1.21) in der Endform schreiben

U˙ =P: ˙F. (1.22)

Gleichung (1.22) heißt Energieerhaltungsgleichung in der L^AGRANGEschen Form.

Alle Bilanzgleichungen, welche wir in diesem Abschnitt hergeleitet haben, lassen sich auch in EULERschen Koordinaten formulieren. Tabelle 1.1, welche wir nach [85] reproduzieren, listet die Bilanzgleichungen¹⁰in beiden Betrachtungsweisen auf.

1.3.6 Thermische Energie

Nun wollen wir zu irreversiblen Prozessen ¨ubergehen, wof ¨ur wir uns die Haupts¨atze der Ther- modynamik zu Nutze machen. Dabei orientieren wir uns an [85].

10Die Herleitung der Bilanzgleichung f ¨ur die thermische Energie wird am Ende des Abschnitts nachgeholt.

1. Hauptsatz der Thermodynamik

SeiQ: Br→^Rdie thermische Energie und seienqundQder W¨armefluss je Zeit- und Fl¨achen- einheit in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration. Bezeichnet man mitRundrdie W¨arme- zufuhr je Fl¨acheninhalt in der Referenz- bzw. Momentankonfiguration, so gilt

Q=

Z Br

RdV−^Z

Sr

Q·NdS=

Z

χt(Br)rdV−^Z

χt(Sr)q·ndS. (1.23) Da die Energie in einem geschlossenen System nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik konstant bleibt, gilt

P^E+Q= E^˙+K,^˙

d. h. _Z

B(ρ0B¯ ·^V+R)dV+

Z

S(T^¯ ·^V−^V¯ ·^N)dS=

Z B

UdV˙ +

Z

Bρ0A·^VdV

f ¨ur alle G^AUSSnormalgebiete B ⊂ Br mit ∂B = S, woraus sich die Bilanzgleichung f ¨ur die thermische Energie in der L^AGRANGEschen Form ergibt

U˙ = P·^F˙ − divQ+R. (1.24)

2. Hauptsatz der Thermodynamik

SeienS: Br→^RundΣ: Br →^Rdie Entropiedichte bzw. die Gesamtentropie¨anderung. Der 2.

Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie¨anderung nichtnegativ ist:

Σ≥^{0. (1.25)}

Ein thermodynamischer Prozess ist reversibel, fallsΣ=0 ist, was z. B. bei der reinen Elastizit¨at der Fall ist. GiltΣ > 0, so ist der Prozess irreversibel, was insbesondere f ¨ur thermoelastische Prozesse gilt.

Mit der Einf ¨uhrung des W¨armeflusses Q, der W¨armezufuhr R, der absoluten Tempera- tur T sowie der Entropiezufuhr ^R_T schreibt sich (1.25) zur sogenannten C^LAUSIUS-D^UHEM- Ungleichung um:

Σ=

Z Br

SdV˙ +

Z S

Q TdS−

Z B

R

TdV≥^{0. (1.26)}

Die Energie, welche in mechanische Leistung transformiert werden kann, wird als H^ELM-

HOLTZsche freie Energie oder H^ELMHOLTZ-PotentialA: Br→^Rbezeichnet

A=U−ST. (1.27)

Unter Benutzung von (1.27) kann man (1.24) zu

A˙ =P: ˙F− ^divQ+R−^ST˙ −^ST˙ umschreiben sowie die lokale Form von (1.26)

A˙ +ST˙ −^{P: ˙F}+^Q

TGradT ≤^{0 (1.28)}

herleiten. Formel (1.28) wird als CLAUSIUS-PLANCK-Ungleichung bezeichnet.