Exponentielle Stabilit¨at – Ged¨ampfte Biegung, Rotationsfreiheit

In diesem Abschnitt wollen wir das System (2.34) f ¨ur den Fall D = 0 untersuchen. Diese Si-tuation entspricht einer thermoelastischen Platte, welche der Biegung Widerstand leistet, ohne dass Reibung bei der Faserrotation entsteht. Modelliert wird dies dadurch, dass die Gleichung f ¨ur die Biegungskomponentewdurch den Termdwtmit einem positivend>0 ged¨ampft wird.

Wir betrachten also das Problem

ρ1wtt−^Kdiv(v+∇^w) +dwt=0 in(0,∞)×^{Ω, (2.43)} ρ2vtt− D^′SDv+K(v+∇w) +γ∇θ =0 in(0,∞)×^Ω, (2.44) ρ3θt+κdivq+βθ+γdivvt =0 in(0,∞)×^Ω, (2.45) τ0qt+δq+κ∇^θ =0 in(0,∞)×^{Ω (2.46)}

mit gewissen Randbedingungen, welche wir noch sp¨ater festlegen werden, und den Anfangs-daten

w(t =0) =w⁰, wt(t =0) =w¹, v(t=0) =v⁰, vt(t =0) =v¹, θ(t =0) =θ⁰, q(t=0) =q⁰.

(2.47)

Wie fr ¨uher lautet die zum System geh ¨orige nat ¨urliche Energie E(t):=^ρ₂¹k^wtk²_L²₍Ω)+ ^ρ₂²k^vtk²_(L²₍Ω))²+¹₂k√

SD^vk²_(L²₍Ω))³ +^K₂k^v+∇^wk²_(L²₍Ω))²+

ρ3

2k^θk²_L²(Ω)+ ^τ₂⁰k^qk(L²(Ω))².

Es stellt sich aber leider heraus, dass dieses ged¨ampfte System nicht einmal stark stabil ist, da man den divergenzfreien Anteil vonvnicht stabilisieren kann. Betrachtet man z. B. folgende Randbedingungen

w= |^v|=θ =0 auf(0,∞)×^{Γ, (2.48)} so l¨asst sich der nachstehende Satz formulieren.

Satz 2.1.10. Das System (2.43)–(2.47), (2.48) ist nicht stark stabil, insbesondere nicht exponenti-ell stabil.

Beweis:Das Problem (2.43)–(2.47), (2.48) l¨asst sich in der Evolutionsform umschreiben. V ¨ollig analog zu Satz 2.1.6 kann man beweisen, dass die eindeutige L ¨osungV = (w,v,wt,vt,θ,q)^′ durch Anwenden derC⁰-Kontraktionshalbgruppe auf den Anfangswert gegeben ist.

Nun wollen wir die Anfangsdaten so w¨ahlen, dass die L ¨osungskomponentevdivergenzfrei ist, d. h. divv= divvt=0 gilt. DaΓglatt ist, existiert die HELMHOLTZ-Projektion

P: (L²(^Ω))²→ L²_σ(^Ω) (s. [77]) in den H^ILBERTraum

L²_σ(Ω) ={^u∈(L²(Ω))²| h^u,∇^ϕi(L²(Ω))² =0 f ¨ur alle ϕ∈^L1loc(Ω)mit∇^ϕ∈(L²(Ω))²}^. Pist ein orthogonaler Operator undL²_σ(^Ω)ist abgeschlossen. Wenden wirPauf (2.44) an und ber ¨ucksichtigen die Darstellung

D^′Sdv= D¹⁻₂^µ△^v+D¹⁺₂^µ∇^divv, so ergibt sich

ρ2vtt−^D1−₂^µP△^v+Kv=0 in(0,∞)×^Ω, v=0 in(0,∞)×^Γ, v(t=0) =v0, vt(t=0) =v1inΩ

(2.49)

(2.49) ¨ahnelt einer KLEIN-GORDON-Gleichung mit dem unbeschr¨ankten selbsadjungierten DI

-RICHLET-S^TOKES-Operator DP△v. Wir definieren den Operator

A^{: D}(A)⊂^L2σ(^Ω)→ ^L2σ(^Ω), v7→ −^D1−₂^µP△^v+Kv,

wobei

D(A) ={v∈ L²_σ(^Ω)|P△v ∈L²_σ(^Ω)}. Es ist bekannt (s. z. B. [39]), dass f ¨ur das Spektrumσ(−P△)von−P△

σ(−^P△) =σp(−^P△) ={^λk|^k∈^N}

gilt, wobei jeder Eigenwert λk, k ∈ ^N, eine endliche Vielfachheit hat und 0 < _λ1 ≤ ^λk ≤ λk+1 → ^{∞f ¨urk} → ^∞gilt. Somit istσ(A) = σp(A) = {^µk|^k ∈ ^N}^{mit µ}k = D¹⁻₂^µλk+Kf ¨ur k∈^N.

Seiν^∗ ∈ σ(A), ν^∗ > _{0, und seiv}∗ die zuν^∗ geh ¨orige Eigenfunktion mitkv^∗k(L²(Ω))² = 1.

Wir w¨ahlenv0 := v^∗,v1 :=0 und bekommen ¨uber den Ansatz v(t):=cosq

ν^∗ ρ2t

v^∗ eine L ¨osungvvon (2.49). Die zuvgeh ¨orige Energie lautet

E1(t) = ^ρ₂²k^vtk²(L²(Ω))²+D¹⁻₄^µk∇^vk²(L²(Ω))^2×2 = ^ν₂^∗cos²q

ν^∗ ρ2t

+ ^ν₂^∗cos²q

ν^∗ ρ2t

=ν^∗cos² qν^∗

ρ2t

9_{0 f ¨urt} →^∞. Also l ¨ost(w,v,θ,q)^′ = 0, cosq

ν^∗ ρ2t

v^∗, 0, 0

’ das urspr ¨ungliche Problem (2.43)–(2.47), (2.48) zu den Anfangsdaten

w⁰ =w¹=0, v⁰ =v^∗,v¹=0, θ⁰= 0, q⁰=0 und erf ¨ullt

E(t) = ^ρ₂²k^vtk(L²(Ω))²+D¹⁻₂^µk∇^v1k²(L²(Ω))²+D¹⁻₂^µk∇^v2k²(L²(Ω))²+D¹⁺₂^µk^divvk²_L²(Ω)

= ^ρ₂²kvtk(L²(Ω))²+D¹⁻₂^µk∇v1k²_(L²₍Ω))²+D¹⁻₂^µk∇v2k²_(L²₍Ω))² =E1(t)9_{0 f ¨urt} →^∞.

Deshalb kannE nicht abklingen.

Bemerkung 2.1.11. Satz 2.1.10 kann auch auf viele weitere S¨atze von Randbedingungen, z. B.

w=|v|=q·n= 0 auf(0,∞)×^Γ

oder ∂w

∂ν =|^v|=q·ⁿ=0 auf(0,∞)×^Γ,

usw. ¨ubertragen werden. Um die triviale konstante L ¨osung auszuschließen, muss man aller-dings voraussetzen, dass die Anfangswerte f ¨ur die Variablen, an welche die N^EUMANNschen Randbedingungen gestellt sind, im Mittelwert verschwinden.

Wir m ¨ussen also nach weiteren Stabilisierungsm ¨oglichkeiten suchen, um eine exponenti-elle Abklingrate f ¨ur unser Problem zu bekommen. In diesem Abschnitt suchen wir nach den

L ¨osungen des Problems (2.43)–(2.46) zu den Anfangsbedingungen (2.47), welche die Randbe-dingungen

w=ψ= ϕ=q·^ν=0 auf(0,∞)×^Γ, die Mittelwertbedingung

Z

Ωθdx=0 (2.50)

und die Rotationsfreiheitsbedingung

rotv= v1,x2 −^v2,x1 =0 (2.51)

erf ¨ullen. Im nachstehenden Satz formulieren und beweisen wir das exponentielle Stabilit¨atsre-sultat f ¨ur das def¨ampte REISSNER-MINDLIN-System (2.43)–(2.46), (2.47), (2.50), (2.51).

Satz 2.1.12 (Exponentielle Stabilit¨at). Es seien alle in (2.43)–(2.46) auftretenden Koeffizienten positiv undβsei nichtnegativ. Außerdem gelte

Z

Ωθ0dx=0.

Dann existieren zur eindeutigen L ¨osung(w,ψ,ϕ,q,θ)^′des R^EISSNER-M^INDLIN-Problems (2.43)–

(2.46), (2.47), (2.50), welche die Rotationsfreiheitsbedingung (2.51) erf ¨ullt, positive Konstanten Cundαderart, dass

E(t)≤CE(0)e^−2αt

f ¨ur allet ≥0 gilt. Die KonstantenCundαh¨angen dabei nicht vontund den Anfangsdaten ab und lassen sich anhand der Koeffizienten des Systems explizit berechnen.

Beweis:Satz 2.1.6 liefert uns die Existenz der eindeutigen L ¨osung f ¨ur den Fall Γ₁ = ∅_{. Ohne} Einschr¨ankung sei β = 0, denn: Es bezeichne Eβ(t) die nat ¨urliche Energie des Systems f ¨ur ein gegebenesβ ≥ 0 bei festen Anfangsdaten. Gibt es von den Anfangsdaten unabh¨angige KonstantenCundαso, dass

E0(t)≤^CE0(0)e^−2αtf ¨urt≥⁰ gilt, dann folgt unter Ber ¨ucksichtigung von

d

dtEβ(t)≤ _dt^dE0(t)−^β

Z

Ωθ²dx≤ _dt^dE0(t)f ¨urt ≥⁰ sowieβ≥^{0 und}Eβ(0) =E0(0)die Absch¨atzung

Eβ(t)≤ E0(t)≤ ^CE0(0)e^−2αtf ¨urt≥^0.

Wir gehen also im Folgenden von der Situation β = 0 aus. Die Beweislogik richtet sich an manchen Stellen an die in [57] besprochene eindimensionale Situation.

Multipliziert man die erste und dritte Gleichung inL²(^Ω)mitwtbzw.θund die zweite und vierte Gleichung in(L²(^Ω))²mitvtbzw.q, so ergibt sich mit partieller Integration

d

dtE(t) =−d Z

Ωw²_tdx−δ Z

Ω|q|²dx.

F ¨ur die L ¨osungu∈ ^H0¹(^Ω)der POISSONschen Gleichung woraus sich mit der Y^OUNGschen Ungleichung unmittelbar

Z

Unter Zuhilfenahme von (2.43) ergibt sich mit partieller Integration d

Zusammenfassen liefert

Unter Verwendung der 1. P^OINCARE´schen, der Y^OUNGschen, der K^ORNschen Ungleichung aus Satz 2.1.4 sowie der Absch¨atzungen (2.52) und (2.53) finden wir nun

d

Als n¨achstes betrachten wir das Funktional F2(t):= ρ1

Dieses l¨asst sich wie folgt absch¨atzen:

d

folgt

Dies erm ¨oglicht uns aber, die 2. P^OINCARE´sche Ungleichung auf θ anzuwenden. Unter Ver-wendung des im Anhang C definierten Bogowski˘i-OperatorsBrotf ¨uhren wir das nachstehende Funktional ein:

Es ist zu beachten, dass wir wegen der Injektivit¨at des B^OGOWSKI˘I-Operators durchBrotdivvt

die Funktionvtrekonstruieren k ¨onnen, was f ¨ur nicht rotationsfreie Vektorfelder im Allgemei-nen leider nicht m ¨oglich ist. Unter Zuhilfenahme der Y^OUNGschen Ungleichung sowie der Stetigkeit des B^OGOWSKI˘I-Operators aus Satz C.2.2 finden wir

d

weilR

Ω∇^θ· Brotθdx=−R

ΩθdivBrotθdx =−R

Ωθ²dx. Dies ergibt folgende Absch¨atzung d

F ¨ur positiveN,N4 >0 definieren wir das HilfsfunktionalF ^{verm ¨oge} L(t):= NE(t) +F1(t) +F2(t) +F3(t) +N4F4(t). positiv werden. Desweiteren fixieren wirN4>0 so groß, dassCθ >0 gilt. Im Anschluss w¨ahlen wirε^′₄ > 0 so klein, dassCvt positiv wird. Schließlich w¨ahlen wir N> 0 so groß, dassCwtund Cqpositiv sind. Somit haben wir

Cmin:=min{^Cwt,C_∇w,Cvt,C^√_SDv,Cθ,Cq}>_0.

Unter Verwendung der YOUNGschen Ungleichung

|∇^w+v|²≤ ¹₂(|∇^w|²+|∇^v|²), bekommen wir mit der K^ORNschen Ungleichung

|∇^w|+|√

Daraus folgt

d

dtL(t)≤ −^2min{1,min{

1

2 ,C_K,1}⁻¹}

max{^1,ρ1,ρ₂,ρ₃,τ₀,K} E(t) =:CE(t). (2.54) Andererseits gilt

|F1+F2+F3+N4F4|(t)≤ ¹₂

Z

Ω

ρ1(w²_t+|u|²) +ρ2(|vt|²+|v|²) +^γτ_κ⁰(|v|²+|q|²)+

ρ1(w²_t +w²) +ρ2ρ3(|Brotθ|²+|vt|²) +τ0ρ3(|q|²+|Brotθ|²)

dx

≤¹₂

2ρ1k^wtk²_L²₍Ω)+ρ1k^wk²_H¹₍Ω)+ρ2k^vtk²_(L²₍Ω)²)+ (ρ2+ ^γτ_κ⁰)k^vk(H¹(Ω))²

+C_Brot(ρ2ρ3+τ0ρ3)k^θk²_L²₍Ω)+ (^γτ_κ⁰ +τ0ρ3)k^qk²_(L²₍Ω))²

≤¹₂

2ρ1k^wtk²_L²₍Ω)+ρ2k^vtk²_(L²₍Ω)²)+

max{^ρ1,(ρ2+^γτ_κ⁰)}

C_K (Kk∇^w+vk²(L²(Ω))²+k√

SD^vk²(L²(Ω))²) +C_Brot(ρ2ρ3+τ0ρ3)k^θk²_L²₍Ω)+ (^γτ_κ⁰ +τ0ρ3)k^qk²_(L²₍Ω))²

≤^CˆE(t). Damit ergibt sich f ¨urα1:= N− ^max_min^{_{^ρ_ρ¹₁^,ρ_,ρ²₂^,C_,ρ^K−₃¹_}^},α2:=N+ ^max_min^{_{^ρ_ρ^{1,ρ2,C−K1}}

1,ρ2,ρ3} die Absch¨atzung α1E(t)≤ L(t)≤^α2E(t)f ¨urt≥^0.

Nun vergr ¨oßern wir ggf.Nso, dassα1 > 0 ist. Dann sind die KonstantenC,α1undα2positiv.

Unter Zuhilfenahme des GRONWALLschen Lemmas folgert man

E(t)≤ _α¹₁L(t)≤ _α¹₁E(0)e^−αC2t =:CE(0)e^−2αtf ¨urt ≥^0.

Deshalb klingtE exponentiell ab.

Bemerkung 2.1.13. Man kann leicht nachrechnen, dass Satz 2.1.12 auf f ¨ur die folgenden Rand-bedingungen

∂w

∂ν =|v|=q·ν =0 in(0,∞)×^Γ g ¨ultig ist, wenn manR

Ωw0dx=R

Ωw1dx=R

Ωθdx=0 voraussetzt. Der Beweis ¨ubertr¨agt sich direkt, ohne das man das L^YAPUNOVsche Funktional anpassen muss. Manche Absch¨atzungen sind dann allerdings mit der 2. POINCARE´schen Ungleichung durchzuf ¨uhren.

Im Dokument Zur Theorie Wärmeleitender Reissner-Mindlin-Platten (Seite 58-66)