Gleichungen f ¨ur thermoelastische Dehnungen

ρ1(w²_t+|u|²) +ρ2(|vt|²+|v|²) +^γτ_κ⁰(|v|²+|q|²)+

ρ1(w²_t +w²) +ρ2ρ3(|Brotθ|²+|vt|²) +τ0ρ3(|q|²+|Brotθ|²)

dx

≤¹₂

2ρ1k^wtk²_L²₍Ω)+ρ1k^wk²_H¹₍Ω)+ρ2k^vtk²_(L²₍Ω)²)+ (ρ2+ ^γτ_κ⁰)k^vk(H¹(Ω))²

+C_Brot(ρ2ρ3+τ0ρ3)k^θk²_L²₍Ω)+ (^γτ_κ⁰ +τ0ρ3)k^qk²_(L²₍Ω))²

≤¹₂

2ρ1k^wtk²_L²₍Ω)+ρ2k^vtk²_(L²₍Ω)²)+

max{^ρ1,(ρ2+^γτ_κ⁰)}

C_K (Kk∇^w+vk²(L²(Ω))²+k√

SD^vk²(L²(Ω))²) +C_Brot(ρ2ρ3+τ0ρ3)k^θk²_L²₍Ω)+ (^γτ_κ⁰ +τ0ρ3)k^qk²_(L²₍Ω))²

≤^CˆE(t). Damit ergibt sich f ¨urα1:= N− ^max_min^{_{^ρ_ρ¹₁^,ρ_,ρ²₂^,C_,ρ^K−₃¹_}^},α2:=N+ ^max_min^{_{^ρ_ρ^{1,ρ2,C−K1}}

1,ρ2,ρ3} die Absch¨atzung α1E(t)≤ L(t)≤^α2E(t)f ¨urt≥^0.

Nun vergr ¨oßern wir ggf.Nso, dassα1 > 0 ist. Dann sind die KonstantenC,α1undα2positiv.

Unter Zuhilfenahme des GRONWALLschen Lemmas folgert man

E(t)≤ _α¹₁L(t)≤ _α¹₁E(0)e^−αC2t =:CE(0)e^−2αtf ¨urt ≥^0.

Deshalb klingtE exponentiell ab.

Bemerkung 2.1.13. Man kann leicht nachrechnen, dass Satz 2.1.12 auf f ¨ur die folgenden Rand-bedingungen

∂w

∂ν =|v|=q·ν =0 in(0,∞)×^Γ g ¨ultig ist, wenn manR

Ωw0dx=R

Ωw1dx=R

Ωθdx=0 voraussetzt. Der Beweis ¨ubertr¨agt sich direkt, ohne das man das L^YAPUNOVsche Funktional anpassen muss. Manche Absch¨atzungen sind dann allerdings mit der 2. POINCARE´schen Ungleichung durchzuf ¨uhren.

2.2 Gleichungen f ¨ur thermoelastische Dehnungen

Um die Schwingungen einer thermoelastischen Platte nach R^EISSNERund M^INDLINvollst¨andig beschreiben zu k ¨onnen, muss man neben den Gleichungen (2.1) f ¨ur die Biegungw, Drehwinkel ψund φ, das thermische Momentθ und das Moment des W¨armeflussesqnoch die Gleichun-gen f ¨ur die soGleichun-genannten thermoelastischen DehnunGleichun-genu1 und u2, die ¨uber die Plattendicke

gemittelten Temperatur ˜θ und den W¨armefluss ˜q untersuchen, welche wir im Kapitel 1 her-geleitet haben. Wie bereits zuvor gemerkt, entkoppeln sich die beiden Systeme im Linearen voneinander.

Es seiΩ ⊂ ^R2 wieder ein beschr¨anktes Gebiet mit einem LIPSCHITZ-Rand Γ, f ¨ur welchen Γ=^Γ¯0∪^Γ¯1gilt, wobeiΓ₀undΓ₁relativ offen und disjunkt sind. Die Gleichungen f ¨ur thermo-elastische Dehnungenu1,u2lauten in der symmetrisierten Form

ρ1u1,tt−₁₋^E_µ2(u1,x1x1 +¹⁻₂^µu1,x2x2+¹⁺₂^µu2,x₁,x₂) +γ˜θ˜x₁ = f1, ρ1u2,tt−₁₋^E_µ2(u2,x2x1 +¹⁻₂^µu2,x1x1+¹⁺₂^µu1,x1,x2) +γ˜θ˜x2 = f2,

˜

ρ3θ˜+κ˜div ˜q+γ˜(u1,tx₁+u2,tx2) =h1,

˜

τ0q˜t+κq˜ +γ˜∇^θ=0.

(2.55)

Die zu einer am RandteilΓ₀festgeklemmten sowie am ganzen RandΓthermisch isolierten Platte geh ¨origen thermoelastischen Dehnungenu1undu2sowie die gewichteten Temperatur ˜θ und W¨armefluss ˜qgen ¨ugen den folgenden Randbedingungen

u1=u2=0 auf(0,∞)×^Γ0,

E

1−^µ2(ν1u1,x1+µν1u2,x2+ ¹⁻₂^µ(u1,x2+u2,x1)ν2)−^γ˜θν˜ 1 =0 auf(0,∞)×^Γ1,

E

1−^µ2(ν2u2,x2+µν2u1,x1+ ¹⁻₂^µ(u1,x2+u2,x1)ν1)−^γ˜θν˜ 2 =0 auf(0,∞)×^Γ1, q·ν=0 auf(0,∞)×^Γ,

(2.56)

wobeiν = (ν1,ν2)^′ wie zuvor den ¨außeren Einheitsnormalenvektor an Γin einem Punkt be-zeichne.

Wir definieren die Gewichtsmatrix ˜S:= ₁₋^E_µ2





1 µ 0

µ 1 0 0 0 ¹⁻₂^µ



mitσ(S^˜) ={₂₍₁^E_+µ)^,₁+^Eµ,₁₋^E_µ} und schreiben die Gleichungen (2.55) f ¨uru= (u1,u2)^′in kurzer Form um:

ρ2utt− D^′S˜D^u+γ˜∇^θ˜= f,

˜

ρ3θ˜t+κ˜div ˜q+γ˜divut= h1,

˜

τ0q˜t+δq˜+κ˜∇^θ˜ =0.

(2.57)

Die Randbedingungen (2.56) lauten dann

|^u|=0 auf(0,∞)×^Γ0,

N^′S˜D^u−^γ˜θν˜ =0 auf(0,∞)×^Γ1,

˜

q·^ν =0 auf(0,∞)×^Γ,

(2.58)

wobei f = (f1,f2)^′. Desweiteren schreiben wir die Anfangsbedingungen

u(t=0) =u0, ut(t =0) =u1, θ˜(t =0) =θ^˜0, q˜(t =0) =q˜0 (2.59) vor.

Bei (2.57)–(2.59) handelt es sich um die zweidimensionalen linearen Thermoelastizit¨atsglei-chungen mit ,,second sound“. Da wir bei nichtlinearen Betrachtungen die Existenz und Asym-ptotik im Linearen ben ¨otigen, werden wir in den n¨achsten Abschnitten einige wichtige S¨atze formulieren, welche wir meistens nicht beweisen, sondern auf die zahlreich verf ¨ugbaren Ar-beiten zu diesem Thema verweisen werden.

2.2.1 Wohlgestelltheit

Um die Wohlgestellheit zu beweisen, verfolgen wir die ¨ubliche Strategie: Wir formulieren das Problem (2.57)–(2.59) in ein Evolutionsproblem

Vt(t) =A^˜V(t) +F(t)f ¨urt ∈(0,∞), V(0) =V⁰

um und beweisen, dass ˜A^eine C⁰-Kontraktionshalbgruppe erzeugt. Die Eindeutigkeit ergibt sich trivialerweise aus der Energieabsch¨atzung.

Wir definierenV := (u,ut, ˜θ, ˜q)^′und erkl¨aren formal den Differentialoperator

A˜ := ρ˜⁻¹









0 1 0 0

D^′S˜D ⁰ −^γ˜∇ ⁰ 0 −^{γ˜div 0} −^κ˜div

0 0 −^κ˜∇ −^δ









mit ˜ρ := diag(1,ρ1, ˜ρ3, ˜τ0).

Bemerkung 2.2.1. Wir haben uns f ¨ur die TransformationV = (u,ut, ˜θ, ˜q)^′ gegen ¨uber der in der Literatur verbreiteteren TransformationV = (D^u,ut, ˜θ, ˜q)^′ (vgl. [70]) entschieden, da die-se Form einerdie-seits mit der Transformation f ¨ur die REISSNER-MINDLIN-Gleichungen (2.3)–(2.4) besser kompatibel ist und andererseits keinen k ¨unstlichen Nullraum des Differentialoperators schafft (cf. [35]), was die sp¨atere Stabilit¨atsuntersuchung einfacher macht.

Um den Operator ˜Aim funktionalanalytischen Rahmen definieren zu k ¨onnen, w¨ahlen wir als Grundraum den HILBERTraum

H^:= (HΓ¹₀(^Ω))²×(L²(^Ω))²×(L²(^Ω))³ mit dem Skalarprodukt

h^V,WiH :=ρ1h^V2,W2iL²(Ω)+hD^{V1, ˜S}D^W1i(L²(Ω))³+ρ˜3h^V3,W3iL²(Ω)+τ˜0h^V4,W4i(L²(Ω))². Wie gewohnt, gilt die K^ORNsche Ungleichung (s. [48])

Satz 2.2.2. Es gibt KonstantenC_K,1,C_K,2 >0 derart, dass

C_K,1kuk(H¹(Ω))² ≤ k^pS^˜Duk(L²(Ω))³ ≤C_K,2kuk(H¹(Ω))²

f ¨ur alleu∈ (H_Γ¹₀(^Ω))²gilt.

Wir setzen also ˜A^: D(A^˜)⊂ H −→ H^,V 7−→^{AV, wobei˜}

D(A^˜) ={^V ∈ H |^AV˜ ∈ H^,Verf ¨ullt verallgemeinerte N^EUMANNsche RB (2.60)}

= {^V ∈ H |^V1,V2∈ ^H1Γ₀(^Ω),D^′S˜D^V2 ∈(L²(^Ω))²,V³∈ ^H1(^Ω), divV⁴ ∈ ^L2(^Ω), Verf ¨ullt verallgemeinerte N^EUMANNsche RB (2.60)},

worin die NEUMANNschen Randbedingungen durch

hD^′S˜D^V1−^γ˜∇^V3,φi(L²(Ω))²+h^S˜D^V1,D^φi(L²(Ω))³−^γ˜h^{V3, divφ}iL²(Ω)

= 0 f ¨ur alleφ∈(H¹(^Ω))²

hdivV⁴,φiL²(Ω)=−hV⁴,∇φi(L²(Ω))²f ¨ur alleφ∈H¹(^Ω)

(2.60)

gegeben sind.

Analog zum Abschnitt 2.1.1 oder [70, Theorem 2.2], wo man allerdings die D^IRICHLETschen Randbedingungen f ¨uru, ˜θ, ˜qbetrachtet hat, l¨asst sich der folgende Satz beweisen:

Satz 2.2.3. SeienV0 ∈ ^D(A^˜)und F ∈ C⁰([0,∞),D(A^˜))∪ C¹([0,∞),H). Dann existiert eine eindeutige L ¨osung

V ∈ C¹([0,∞),H)∩ C⁰([0,∞),D(A^˜)). Ist ¨uberdiesV0 ∈^D(A^˜s)undF ≡0 f ¨ur eins∈ ^{N, so gilt}

V∈

s

\

k=0

C^k([0,∞),D(A^˜s−k)).

2.2.2 Exponentielle Stabilit¨at bzw. deren Fehlen

Die Frage nach der Stabilit¨at der thermoelastischen Gleichungen – mit parabolischer W¨arme-leitung nach FOURIER, hyperbolischer W¨armeleitung nach CATTANEOoder JEFFREYsowie mit ,,dual phase lag“ usw. – in verschiedenen Dimensionen wurde in vielen Arbeiten und Mono-graphien studiert ([33], [34], [35], [41], [69], [70], [71], [86] u.a.). Im Gegensatz zu den energie-erhaltenden Elastizit¨atsgleichungen verf ¨ugen thermoelastische Gleichungen ¨uber einen dissi-pativen Mechanismus, welcher durch die W¨armedissipation entsteht. Obwohl sich das eindi-mensionale System im beschr¨ankten Gebiet sowohl im Linearen als auch im Nichtlinearen als exponentiell stabil erweist ([69]), klingt die Energie bereits im Zweidimensionalen nicht ab, wie z. B. in Gebieten, in welchen reflektierende Strahlen existieren (s. [35]).

In den Gebieten, wo die Gleichung ,,im Wesentlichen“ eindimensional ist, z. B. in radial-symmetrischen Gebieten mit rotationsradial-symmetrischen Daten, klingt die Energie exponentiell ab ([34], [33]). Dieses Resultat l¨asst sich sogar auf rotationsfreie Verschiebungsfelder mit rotations-freien W¨armefl ¨ussen erweitern ([70]), was auch sehr plausibel klingt, da der thermische Anteil des Systems mit dem elastischen Anteil ¨uber die Divergenz des Verschiebungsfeldes gekop-pelt ist. Daher kann man im rotationsfreien Fall ¨uber die Divergenz den gesamten Gradienten kontrollieren.

Um das System exponentiell zu stabilisieren, ohne weitere Voraussetzungen an die Geome-trie des Gebiets oder die Daten zu stellen, wird das System in der Regel vollged¨ampft. Man betrachtet also

ρ2utt− D^′S˜D^u+γ˜∇^θ˜+Du^˜ t = f,

˜

ρ3θ˜t+κ˜div ˜q+γ˜divut =h1,

˜

τ0q˜t+δq˜+κ˜∇^θ˜=0

(2.61)

mit einer positiv definiten Matrix ˜D(cf. [71]). Dabei darf ˜Dauch ortsabh¨angig sein. Im eindi-mensionalen darf ˜Dsogar st ¨uckweise verschwinden. So gilt nach [71] f ¨ur (2.61) mit D^IRICH

-LET-Randbedingungen

|u|=θ =0 auf(0,∞)×^Γ (2.62)

der nachstehende

Satz 2.2.4 (Exponentielle Stabilit¨at). Zur eindeutigen L ¨osung (u, ˜θ, ˜q)^′ der Gleichungen f ¨ur thermoelastische Dehnungen (2.61), (2.62), (2.59) existieren positive KonstantenCundαderart, dass

E(t)≤^Ce−2αtE(0)

f ¨ur allet ≥0 gilt. Die KonstantenCundαh¨angen dabei nicht vontund den Anfangsdaten ab und lassen sich anhand der Koeffizienten des Systems berechnen.

Bemerkung 2.2.5. Die Aussage letzteren Satzes l¨asst sich praktisch auf alle nat ¨urlichen Rand-bedingungen erweitern.

Wir wollen diesen Abschnitt mit einem weiteren Stabilit¨atresultat f ¨ur die rotationsfreie Si-tuation abschließen. Im Gegensatz zum gut bekannten Resultat von Racke in [70] m ¨ussen wir keine Rotationsfreiheit des W¨armeflusses voraussetzen und ben ¨otigen keine h ¨oheren Energien.

Allerdings funktioniert unser Beweis auch f ¨ur einen anderen Satz (nat ¨urlicher) Randbedingun-gen

|^u|=q·ⁿ=0 auf(0,∞)×^{Γ. (2.63)} Satz 2.2.6(Exponentielle Stabilit¨at). Die L ¨osung(u, ˜θ, ˜q)^′ des unged¨ampften Problems (2.57), (2.63) zu Anfangswerten (2.59) mitR

Ωθ˜0dx=0 erf ¨ulle die Bedingung rotu=0.

Dann existieren positive KonstantenCundαderart, dass E(t)≤^Ce−2αtE(0)

f ¨ur allet ≥0 gilt. Die KonstantenCundαh¨angen dabei nicht vontund den Anfangsdaten ab und lassen sich als Funktionen der Koeffizienten des Systems berechnen.

Beweis:Da sich die Absch¨atzungen in diesem Beweis denen aus dem Beweis des Satzes 2.1.12

¨ahneln, verzichten wir darauf, offensichtliche Schritte im Detail auszuf ¨uren, geben daf ¨ur das L^YAPUNOV-Funktional explizit an.

Multipliziert man die ersten zwei Gleichungen in (2.57) in(L²(Ω))² mitutbzw. ˜qund die dritte Gleichung in(L²(^Ω))²mit ˜θ, so ergibt sich mit partieller Integration

d

Unter Zuhilfenahme der ersten Gleichung in (2.61) ergibt sich mit partieller Integration d

Zusammenfassend liefert dies Es folgt nun unter Verwendung der Y^OUNGschen sowie der K^ORNschen Ungleichung

d

Analog zu Satz 2.1.12 findet man Z

Dies erm ¨oglicht uns, die 2. POINCARE´sche Ungleichung aufθanzuwenden. Wir definieren das Funktional

Unter Zuhilfenahme der YOUNGschen und der KORNschen Ungleichung sowie der Eigen-schaften des B^OGOWSKI˘I-Operators (s. Anhang C) sch¨atzen wir

d

Dies ergibt die folgende Absch¨atzung

F ¨ur noch zu bestimmende positiveN,N2>0 definieren wir das Funktional L(t):= NE(t) +F1(t) +N2F2(t) +F3(t) geschweiften Klammern positiv wird. Anschließend w¨ahlen wir einε^′₂ >0 so klein, dassC^√_S˜Du positiv wird. Nun fixieren wir ein hinreichend großesN3 > _{0 so, dass C˜}

θ > 0 gilt. Danach w¨ahlen wir einε^′₃ > 0 derart, dassCut > 0 positiv ist. Schließlich wird ein großesN > _{0 so} fixiert, dassCqpositiv wird. Somit haben wir

Cmin:=min{^Cut,C_∇w,C^√_S˜Du,Cθ˜,Cq˜}>_0.

Also gilt

d

dtL(t)≤ −_min{^C_ρ^min_{2, ˜ρ3, ˜τ0}}E(t) =:−^CE(t).

Andererseits ergibt sich unter Benutzung der Y^OUNGschen und der K^ORNschen Unglei-chungen sowie der Stetigkeit des BOGOWSKI˘I-Operators analog zum Beweis von Satz 2.1.12

|F1(t) +N2F2(t) +F3(t)| ≤^CˆE(t). Daraus folgt f ¨urα1:=N− ^max_min^{_{^ρ_ρ¹₁^,ρ_,ρ²₂^,C_{, ˜ρ}^−K_3}^1},α2 := N+^max_min^{_{^ρ_ρ^{1,ρ2,C−K1}}

1,ρ2, ˜ρ3} die Ungleichung α1E(t)≤ L(t)≤^α2E(t)f ¨urt≥^0.

Damitα1 > 0 gilt, vergr ¨oßern wir eventuellN. Dann sind die KonstantenC,α1undα2positiv und man folgert mit Hilfe des G^RONWALLschen Lemmas

E(t)≤ _α¹₁L(t)≤ _α¹₁E(0)e^−αC2t =:CE(0)e^−2αtf ¨urt ≥^0,

sodass die EnergieE exponentiell abklingt.

Existenz und Stabilit¨at im Nichtlinearen

In diesem Kapitel diskutieren wir die lokale sowie die globale Existenz und exponentielle Sta-bilit¨at f ¨ur eine nichtlineare R^EISSNER-M^INDLIN-Platte in einem beschr¨ankten Gebiet Ω ⊂ ^R2 mit glattem RandΓ=∂Ω. Im Abschnitt 3.1 stellen wir einen lokalen Existenzsatz vor, welchen wir mit Hilfe der im Anhang A.2 entwickelten allgemeinen L ¨osungstheorie f ¨ur hyperbolische Systeme nach [63] beweisen. Ferner werden wir im Abschnitt 3.2 die lokal existierende L ¨osung f ¨ur gen ¨ugend kleine Daten global fortsetzen, falls die L ¨osung rotationsfrei ist. Hierf ¨ur bedienen wir uns der klassischen Fortsetzungssargumente f ¨ur exponentiell stabile Systeme (vgl. [35]).

3.1 Ein Lokaler Existenzsatz

Bevor wir auf die lokale L ¨osbarkeit f ¨ur die nichtlineare R^EISSNER-M^INDLIN-Platte eingehen, wollen wir einige bekannte Resultate ¨uber thermoelastische Systeme im Nichtlinearen kurz zi-tieren. In [76] hat Slemrod eindimensionale hyperbolisch-parabolische Thermoelastizit¨atsglei-chungen

utt−a(ux,θ)uxx+b(ux,θ)θx =0 in(0,∞)×(0,L), θt−^b(ux,θ)θxx+c(ux,θ)utx =0 in(0,∞)×(0,L) f ¨ur die Randbedingungen

ux =θ =0 in(0,∞)× {^0,L}

studiert. Mit Hilfe des F^AEDO-G^ALERKIN-Verfahrens wurde die Existenz einer eindeutigen lo-kalen L ¨osung bewiesen, welche anschließend f ¨ur kleine Daten global fortgesetzt wurde. Ein deutlicher Nachteil dieses Zugangs besteht darin, dass er nicht f ¨ur alle nat ¨urlichen Randbe-dingungen funktioniert. Dieses Resultat wurde in [57] auf die eindimensionale Version der REISSNER-MINDLIN-Platte – den TIMOSHENKO-Balken – ¨ubertragen:

ρ1ϕtt−^σ(ϕx,ψ)_x+µϕt=0 in(0,∞)×(0,L), ρ2ψtt−^bψxx+k(ϕx+ψ) +βθx =0 in(0,∞)×(0,L), ρ3θt+γqx+δψtx =0 in(0,∞)×(0,L), τ0qt+q+κθx =0 in(0,∞)×(0,L)

68

mit den Randbedingungen

ϕx =ψ=θin(0,∞)× {0,L}.

In [79] hat Tarabek einen lokalen Existenzsatz f ¨ur hyperbolische Thermoelastizit¨atsglei-chungen

utt−^a(ux,θ,q)uxx+b(ux,θ,q)θx =0 in(0,∞)×(0,L), θt−^g(ux,θ,q)θxx+d(ux,θ,q)utx =0 in(0,∞)×(0,L), τ(ux,θ)qt+q+k(ux,θ)θx =0 in(0,∞)×(0,L) f ¨ur die Randbedingungen

u=0, θ =θ^¯in(0,∞)× {^0,L} bewiesen.

Mehrdimensionale parabolisch-hyperbolische Thermoelastizit¨atsgleichungen

Utt− ^divS(∇^U,θ) = f in(0,∞)×^Ω, (θ+T0)a(∇^U,θ)θt−^spur (Sθ(∇^U,θ))^′· ∇^Ut + divq(∇^U,θ,∇^θ) =gin(0,∞)×^Ω

f ¨ur gegebenen W¨armeflussqmit den DIRICHLETschen Bedingungen f ¨ur U und θ wurden in [35] von Jiang und Racke f ¨ur den Fall eines beschr¨ankten, glatt berandeten GebietesΩ ⊂ ^R3 untersucht. Unter Verwendung des B^ANACHschen Fixpunktsatzes wurde lokale L ¨osbarkeit be-wiesen. Die bei der Konstruktion der kontrahierenden Abbildung entstehenden linearen Evo-lutionsgleichungen wurden mit Hilfe einer allgemeinen L ¨osungstheorie f ¨ur CD-Systeme nach [38] gel ¨ost. Dabei war es m ¨oglich, die beiden Gleichungen voneinander zu entkoppeln, sodass man im Wesentlichen eine Elastizit¨atsgleichung und eine W¨armeleitungsgleichung bekommen hat. Dieser Zugang l¨asst sich aber nicht direkt auf die hyperbolische W¨armeleitung ¨ubertragen, da der W¨armefluss bereits im Linearen keine volle Regularit¨at besitzt.

Wir haben uns daher f ¨ur einen alternativen Zugang entschieden. Da sich unser Problem auf die Form eines symmetrisch-hyperbolischen Systems bringen l¨asst, wollen wir die in [63] ent-wickelte L ¨osungstheorie f ¨ur quasilineare symmetrisch-hyperbolische Systeme benutzen. Eine

¨ahnliche Beweismethode wurde in [31] f ¨ur eine eindimensionale W¨armeleitungsgleichung mit ,,second sound“ verwendet. Der Arbeit liegt eine Theorie f ¨ur nicht charakteristische quasili-neare symmetrisch-hyperbolische Systeme nach [74] zugrunde, welche sich leider auf mehr-dimensionale hyperbolische Thermoelastizit¨atsgleichungen nicht anwenden l¨asst, da die zum Differentialoperator geh ¨orige Randmatrix singul¨ar ist.

Mit den in Kapitel 2 eingef ¨uhrten Notationen betrachten wir ein ged¨ampftes R^EISSNER -M^INDLIN-System, welches sich in der symmetrisierten Form zu

ρ2vtt− D^′SDv+K(v+∇w) +C^¯1(∇U,Θ,Q)∇θ = M, (3.1)

˜

ρ1utt− ^divN(∇^w,∇^u) +C^¯2(∇^U,Θ,Q)∇^θ˜= f, (3.2) ρ1wtt−^Kdiv(∇^w+v)− ^div(N(∇^w,∇^u)∇^w) +d^˜(U,∇^U,Θ,Q)wt= f3, (3.3) a1(∇^U,Θ,Q)θt+b1(∇^U,Θ,Q)divq+β^˜(∇^U,Θ,Q)θ+spur(C^¯1(∇^U,Θ,Q)∇^vt) =h1, (3.4) a2(∇^U,Θ,Q)θ^˜t+b2(∇^U,Θ,Q)div ˜q+spur(C^¯2(∇^U,Θ,Q)∇^ut) =h2, (3.5) A1(∇^U,Θ,Q)qt+B1(∇^U,Θ,Q)q+b1(∇^U,Θ,Q)∇^θ =0, (3.6) A2(∇^U,Θ,Q)q˜t+B2(∇^U,Θ,Q)q˜+b2(∇^U,Θ,Q)∇^θ˜=0 (3.7)

schreibt. Darin setzen wir zur Abk ¨urzungU = (v,u,w)^′,Θ= (θ, ˜θ)^′,Q= (q, ˜q)^′. Desweiteren ist N eine hinreichend glatte Matrixfunktion und M, f, f3, h1, h2 sind gegebene Funktionen.

Ein einfaches Beispiel f ¨urNist durch die geometrische Nichtlinearit¨at N(∇^w,∇^u) = ₁₋^Eh_µ2

u1,x1+µu2,x₂+ ¹₂w²_x1+ ^µ₂w²_x2 ¹⁻₂^µ(u1,x2+u2,x₁+wx₁wx₂)

1−^µ

2 (u1,x2+u2,x₁ +wx₁wx₂) u2,x₂ +µu1,x1 +¹₂w²_x2 +^µ₂w²_x1

!

(3.8) gegeben. Das System (3.1)–(3.7) ist eine Verallgemeinerung der in Kapitel 1 hergeleiteten Glei-chungen f ¨ur den Fall, dass die Funktionen ¯Ci,ai,bi,Ai,Bi, ˜dund ˜β,i=1, 2, nicht konstant sind.

Als Randbedingungen w¨ahlen wir

w=|^v|=|^u|=q·^ν =q˜·^ν=0 aufΓ. (3.9) Hinzu kommen noch die Anfangsbedingungen

w(t=0) =w⁰, v(t=0) =v⁰, u(t=0) =u⁰, wt(t=0) =w¹, vt(t =0) =v¹, ut(t=0) =u¹,

θ(t=0) =θ⁰, q(t =0) =q⁰, θ˜(t =0) =θ^˜0 q˜(t=0) =q˜⁰.

(3.10)

Im Folgenden gehen wir von allgemeinen Nichtlinearit¨atenN aus. Dabei kann man ohne Weiteres nicht erwarten, dass ¨uberhaupt lokale L ¨osungen f ¨ur beliebig große Daten existieren.

Letzteres wollen wir anhand der eindimensionalen Elastizit¨atsgleichung erl¨autern.

Beispiel 3.1.1. Die eindimensionale Elastizit¨atsgleichung lautet

utt−^σ(ux)x =0 in(t,x)∈(0,∞)×(0,L) (3.11) zuz ¨uglich der Anfangsbedingungenu(t = 0) = u0,ut(t = 0) = u1und der D^IRICHLETschen oder N^EUMANNschen Randbedingungen. Ist σglatt, so ist Gleichung (3.11) gleichbedeutend mit

utt−^σ′(ux)uxx=0 in(t,x)∈(0,∞)×(0,L). (3.12) Gehen wir von dem H^OOKschen Gesetz sowie dem Verzerrungstensor σ(p) = 1+ ^p₂² nach GREEN und LAGRANGE aus, so lautetσ^′(p) = 1+p. Somit ist es nur dann sinnvoll (3.12) als hyperbolische Gleichung zu bezeichnen, wennux> −1 gilt. Da man bekanntlich

kuxkL^∞((0,L)) ≤ kukH²((0,L))≤

3

∑

j=0

k∂tukH^3−j((0,L))≤C(t)(ku0kH³((0,L))+ku1kH²((0,L))) mit einem in 0 stetigenCabsch¨atzen kann (vgl. [35]), muss man beispielsweise von den An-fangsdaten

k^u0kH³((0,L))≪1 undk^u1kH²((0,L)) ≪1 verlangen, damitσ^′(ux)>_{0 gilt.}

Wird hingegen ein hypoelastisches Gesetz der Form σ = σ(p) derart postuliert, dass σ^′ gleichm¨aßig positiv ist, so besteht die Hoffnung, eine lokale L ¨osung auch f ¨ur große Anfangs-daten (evtl. mit einer kleinen Lebensdauer) gewinnen zu k ¨onnen (vgl. [35], Kapitel 5). In dieser Arbeit wird aber eine solche Situation nicht betrachtet.

Nun wollen wir die Gleichungen (3.1)–(3.3) geschickt umformen. Wir setzen ˜U := (u,w)^′ f ¨urP∈^R3×2. Analog zur zweidimensionalen Elastizit¨at (s. [35]) ergibt sich

D^′SD^v=

Damit bekommen wir eine ¨aquivalente Form der Gleichungen (3.1)–(3.7), welche sich unter Benutzung der EINSTEINschen Summenkonvention wie folgt umschreiben lassen:

ρ2vα,tt−^Cαiβlvβ,x_jx_l +K(vα+U^˜3,xα) +C^¯1,αj(∇^U,Θ,Q)θx_j = Mα, (3.15)

in(0,∞)×^Ωmit den

Rand-U˜i =vα =qανα = q˜ανα =0 auf(0,∞)×^{Γ (3.21)} und Anfangsbedingungen

U˜i(t=0) =U_i⁰, U˜i,t =U_i¹, vα(t=0) =v⁰_α, vα,t(t=0) =v¹_α,

θ(t =0) =θ⁰, qα(t =0) =q⁰_α, θ˜(t=0) =θ^˜0, q˜α(t=0) =q˜⁰_α, (3.22) wobei ˜U⁰ = (w⁰,u⁰)^′, ˜U¹ = (w¹,u¹)^′ und die Indizesi,k = 1, 2, 3 sowie j,l,α,β = 1, 2 durch-laufen.

Im Folgenden seis∈ ^N.

Voraussetzungen 3.1.2. Es gelte 1. ˜C∈ C^s(^R3×2,R⁽³×²)×(3ײ)).

2. Der Tensor ˜Csei symmetrisch im Sinne

C˜_ijkl(P) =C^˜_klij(P)f ¨ur alleP∈^{R3×2. (3.23)} 3. ˜C_ijklsei anf¨anglich isotrop, d. h.,

C˜ijkl(0) = (1−δi3)(1−δk3) ₁₋^Eµ_µ2δijδkl+₂₍₁^E_+µ)(δikδjl+δjkδil)+Kδi3δk3δjl. (3.24) Man rechnet leicht nach, dass die geometrische Nichtlinearit¨at die Voraussetzungen 3.1.2 erf ¨ullt.

Satz 3.1.3 (Geometrische Nichtlinearit¨at). Der durch die geometrische Nichtlinearit¨at N aus Gleichung (3.8) in (3.13) definierte Tensor ˜Cerf ¨ullt die Voraussetzungen 3.1.2 f ¨ur alles∈ ^N0. Beweis:

1. Dass ˜Cijkl eine glatte Funktion ihrer Variablen ist, ergibt sich direkt aus der Tatsache, dass C˜ijklein Polynom ist.

2. Um die Symmetrie von ˜Cnachzurechnen, werten wir ˜C_ijkl(∇^w,∇^u)mit

C˜ =



























C˜1111C˜1112C˜1121C˜1122C˜1131C˜1132

C˜1211C˜1212C˜1221C˜1222C˜1231C˜1232

C˜2111C˜2112C˜2121C˜2122C˜2131C˜2132

C˜2211C˜2212C˜2221C˜2222C˜2231C˜2232

C˜3111C˜3112C˜3121C˜3122C˜3131C˜3132

C˜3211C˜3212C˜3221C˜3222C˜3231C˜3232



























aus.

Unter Verwendung der Gleichung (3.13) finden wir C˜ijklnach sich zieht.

3. Schlussendlich folgt mit ˜Cijkl(0)∂xjxlU˜k =

Nun kann man analog zu den mehrdimensionalen Elastizit¨atsgleichungen sehen, dass sowohl Cαjβl als auch ˜Cijkl im Allgemeinen leider keine positiv definiten Bilinearformen aufR²×²× R²×²bzw.R³×²×^R3×2erzeugen. Deshalb folgen wir dem Zugang von John in [36] und zu betrachten. Da ˜C_ijkl^∗ im Ursprung stetig ist, reicht es, (3.26) f ¨urP=0 zu beweisen. Es gilt

C˜_ijkl^∗ (0) =C^˜_ijkl(0) + (1−^δi3)(1−^δk3)₂₍₁^E_−µ)(δijδ_kl+δ_ilδ_jk)

=(1−^δi3)(1−^δk3) ₂₍₁^E_−µ)δ_ijδ_kl+₂₍₁^E_−µ)δ_ikδ_jl

+Kδ_i3δ_k3δ_jl. Damit folgt f ¨ur alleξ ∈^R3×2

ξijC˜^∗_ijkl(0)ξ_kl = ^D(1₂^+µ)(1−^δi3)(1−^δk3)(ξiiξ_kk+ξijξij) +Kδi3δ_k3δ_jl ≥^min{₂₍₁^E_−µ)^,K}^ξijξij.

Unter Benutzung des SCHWARZschen Satzes

(δijδkl−δilδjk)∂x_jx_lU˜k =∂x_i∂x_kU˜k−∂x_k∂x_iU˜k =0, wobeii,j,k,l =1, 2 durchlaufen, bekommen wir ferner

C˜_ijkl^∗ ∂x_jx_lU˜_k =C^˜_ijkl∂x_jx_lU˜_k,

was wir behauptet haben.

Einerseits sindC^∗und ˜C^∗nach Lemma 3.1.4 positiv definit, andererseits ¨andern sich die Glei-chungen (3.15)–(3.20) nicht, wenn manC und ˜C durchC^∗ bzw. ˜C^∗ ersetzt. Deshalb schreiben im Folgenden der Einfachheit halberCund ˜CstattC^∗bzw. ˜C^∗.

Voraussetzungen 3.1.5. Es gelte

1. ai,bi, ˜d, ˜β∈ C^s(^R5×2×^R2×^R4,R),Ai,Bi, ¯Ci∈ C^s(^R5×2×^R2×^R4,R2×2),i=1, 2.

2. a1,a2,b1,b2seien positiv, d. h., es gebeδ2>_{0 undκ2} >_{0 so, dass}

ai(P)≥κ2undbi(P)≥κ2, i=1, 2, (3.28) f ¨ur alleP∈ ^R5×2×^R2×^R4mitk^Pk^∞ <_δ2gilt.

3. A1,A2,B1,B2seien positiv definit, d. h. es gebeδ3 >_{0 undκ3} >_{0 so, dass}

ξ^′Ai(P)ξ ≥^κ3|^ξ|^{2 undξ′B}i(P)ξ ≥^κ3|^ξ|^{2, i}=1, 2, (3.29) f ¨ur alleξ ∈^R2undP∈ ^R5×2×^R2×^R4mitk^Pk^∞ <_δ3gilt.

4. ¯C1, ¯C2seien punktweise invertierbar, d. h. es gebe einδ4 > 0 so, dass ¯C1und ¯C2 f ¨ur alle P∈^R5×2×^R2×^R4mitk^Pk^∞ <_δ4invertierbar sind.

5. M,f ∈ ^Ts

k=0C^k([0,T],(H^s−k(^Ω))²), f3,h1,h2∈ ^Ts

k=0C^k([0,T],H^s−k(^Ω)).

Um die N^EUMANNschen Randbedingungen f ¨ur die W¨armefl ¨usse zu verallgemeinern, erkl¨aren wir den folgenden S^OBOLEVraum.

Definition 3.1.6. Sei

H¹_div(^Ω) ={u∈(H¹(^Ω))²| hdivu,φiL²(Ω) =−hu,∇φi(L²(Ω))² f ¨ur alleφ∈ H¹(^Ω)}. Voraussetzung 3.1.7. Es gelte:

1. Die Anfangsdaten m ¨ogen den

Regularit¨ats-w⁰ ∈^Hs+1(^Ω)∩^H0¹(^Ω), w¹ ∈ ^Hs(^Ω)∩^H0¹(^Ω),

v⁰,u⁰∈(H^s+1(^Ω)∩^H0¹(^Ω))², v¹,v¹∈ (H^s(^Ω)∩^H0¹(^Ω))², θ⁰, ˜θ⁰∈ ^Hs(^Ω), q⁰, ˜q⁰ ∈^Hs(^Ω)∩^H1div(^Ω)

(3.30)

sowie den Kompatibilit¨atsbedingungen

w^m ∈^Hs+1−m(^Ω)∩^H0¹(^Ω)f ¨ur 2≤^m≤^{s, ws+1}∈ ^L2(^Ω),

v^m,u^m ∈(H^s+1−m(^Ω)∩^H0¹(^Ω))²f ¨ur 2≤^m≤^{s, ws+1,vs+1} ∈(L²(^Ω))², q^m, ˜q^m ∈ ^Hs−m(^Ω)∩^H1div(^Ω)f ¨ur 1≤^m≤^s−1, q^s, ˜q^s∈(L²(^Ω))²

(3.31)

gen ¨ugen, wobei w^m,v^m,u^m,θ^m, ˜θ^m,q^m, ˜q^m f ¨urm ∈ ^N0 die m-te Zeitableitung jeweiliger Funktion zum Anfangszeitpunkt t = 0 bezeichnen und sich f ¨ur m ≥ 2 bzw. m ≥ 1 rekursiv durch die Anfangsdaten unter Verwendung der Differentialgleichungen (3.1)–

(3.7) berechnen lassen.

2. Seiδ0 ∈(0, min{^δ1,δ2,δ3,δ4}). Es gelte

k(v⁰,∇^w0,∇^{v0,w1,v1,θ0, ˜θ0,q0, ˜q0})kL^∞(Ω,R²³)< ^δ0

2. (3.32)

Satz 3.1.8(Lokale Existenz). Ω⊂^R2sei ein beschr¨anktes Gebiet, welches lokal auf einer Seite seinesC^∞-glatten Randes Γliegt. Seis ≥ 8. Unter den Voraussetzungen 3.1.2, 3.1.5 und 3.1.7 existiert einT > 0 so, dass das Problem (3.1)–(3.10) eine eindeutige L ¨osung(u,w,v,θ,q, ˜θ, ˜q)^′ besitzt, deren Regularit¨at nachstehend beschrieben wird¹:

u,v∈

s

\

k=0

C^k([0,T],(H_∗^s+1−k(^Ω)∩H₀¹(^Ω))²), ∂^s_t⁺¹u, ∂^s_t⁺¹v∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²), w∈

s

\

k=0

C^k([0,T],H_∗^s+1−k(^Ω)∩^H0¹(^Ω)), ∂^s_t⁺¹w∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

θ, ˜θ ∈

s−¹

\

k=0

C^k([0,T^′,H_∗^s−k(^Ω)), ∂^s_tθ, ∂^s_tθ˜∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

q, ˜q∈

s−¹

\

m=0

C^k([0,T],(H_∗^s−k(^Ω))²), ∂^s_tq, ∂^s_tq˜∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²). Beweis:Wir transformieren das zu (3.1)–(3.10) ¨aquivalente Problem (3.15)–(3.22) auf ein semi-lineares symmetrisch-hyperbolisches System erster Ordnung. Hierzu definieren wir

V= (V_α¹,V_α²,V_αj³,V_i⁴,V_ij⁵V⁶,V_α⁷,V⁸,V_α⁹)^′ ≡(vα,vα,t,vα,x_j, ˜Ui,t, ˜Ui,xj,θ,qα, ˜θ, ˜qα)^′,

F= (F_α¹,F_α²,F_αj³,F_i⁴,F_ij⁵,F⁶,F_α⁷,F⁸,F_α⁹)^′ ≡(0,Mα, 0,f_i, 0,h₁, 0,h2, 0)^′, (3.33) wobei die Indizesi,k =1, 2, 3 undα,β,l,j=1, 2 durchlaufen, und finden

∂tV_α¹−^Vα²= F_α¹, ρ2∂tV_α²−^Cαjβl∂jV_kl³+K(V_α¹+δαlδk3V_kl⁵) +C^¯1,αj(V)∂jV⁶= F_α², C_αjβl∂tV_αj³ −^Cβlαj∂_lV_β²= F_αj³, ρ1∂tV_i⁴−^C˜ijkl(V)∂jV_kl⁵−^δαiC¯2,αj(V)∂jV⁸+δi3dV˜ _i⁴= F_i⁴,

C˜ijkl(V)∂tV_ij⁵−^C˜klij(V)∂lV_k⁴= F_ij⁵, a1(V)∂tV⁶+b1(V)δαj∂jV_α⁷+βV^{˜ 6}+C^¯1,βj(V)∂jV_β²= F⁶, A1,αβ(V)∂tV_β⁷+B1,αβ(V)V_β⁷+a1(V)δαj∂jV⁶= F_α⁷, a2(V)∂tV⁸+b1(V)δαj∂jV_α⁹+C^¯2,βj(V)∂jV^4,j = F⁸, A2,αβ(V)∂V_β⁹+B2,αβ(V)V_β⁹+a2(V)δαj∂jV⁸= F_α⁹,

1Die anisotropischen SOBOLEVr¨aumeH^m_∗(^Ω)werden in DefintionA.2.1erkl¨art.

worin wir der Einfachheit halber alle nichtlinearen Koeffizienten sogar von ganzV abh¨angen lassen. Damit schreibt sich das Problem (3.1)–(3.10) zu

A⁰(V)Vt+A¹(V)Vx1+A²(V)Vx2+B(V)V= F,

Die RandmatrixA^ν(V) = A^r(V)νr,V ∈^R23, lautet dann

Wir wollen nun mit Hilfe von Satz A.2.5 beweisen, dass es ein T > 0 derart gibt, dass das Problem (3.34) eine eindeutige L ¨osungV ∈ ^Ts

k=0C^k([0,T],H_∗^s−k(^Ω,R²³))besitzt. Wir pr ¨ufen also nach, ob die Voraussetzungen des Satzes A.2.5 erf ¨ullt sind.

i) Ωist nach Voraussetzung beschr¨ankt, C^∞-glatt berandet und liegt lokal auf einer Seite vonΓ.

ii) Seiε∈(0,^δ₂⁰)mitδ0>0 wie in der Voraussetzung. Wir definieren N0:={^V ∈^R23| k^V− ^f(x)kL^∞(Ω,R²³)≤^ε}^. F ¨ur alleV∈ N0gilt dann

|^V| ≤ k^f(x)kL^∞(Ω,R²³)+ε <_δ0.

Damit sind die Voraussetzungen 3.1.2 und 3.1.5 aufV ∈ ^N0anwendbar.

Unter Beachtung der Voraussetzungen 3.1.2 sowie 3.1.5 folgt A⁰,A^r,B∈ C^s(N0,R^23×23).

Da es sich bei ˜CijklundCαjβlnach Voraussetzung 3.1.2 bzw. Gleichung (3.14) um symme-trische Tensoren handelt, ergibt sich sofort unter Beachtung ihrer Struktur die Symmetrie vonA⁰,A^rinN0.

Seia^′₀ := min{^ρ1,ρ2,κ1, ˜κ1,κ2}. Aufgrund der Voraussetzungen 3.1.2 und 3.1.5 sowie des Lemmas 3.1.4 ergibt sich die gleichm¨aßige Positivit¨at von A⁰gem¨aß

ξ^′A⁰(V)ξ ≥a^′₀|ξ|²

iii) Wir wollen den Rang der Randmatrix A^ν untersuchen. Dabei ist es bequem, die Matrix A^η(V) = ∑²

j=1A^j(V)ηj,η∈ {^ν}^⊥, parallel zu betrachten. DaA^νund A^η ¨uber eine gewisse Blockstruktur verf ¨ugen, kann man sie mittels einer Indexpermutation

A^ν(V) =

auf die Blockdiagonalform f ¨ur V ∈ ^N0 und η ∈ {^ν}^⊥ bringen, wobei f ¨ur die Bl ¨ocke Aˆ^ν(V), ˆA^ν(V)∈ ^R12×12und ˇA^ν(V), ˇA^η(V)∈ ^R11×11gilt. Letztere Matrizen k ¨onnen jetzt separat behandelt werden. Wir sehen uns nur die komplizierteren Matrizen ˆA^ν und ˆA^η an, welche den Unbekannten(U^˜t,i, ˜Ui,x_j, ˜θ, ˜q)^′entsprechen.

sowie

v) Wir zeigen, dass kerMmaximal nichtnegativ ist. Unter Beachtung von

kerM(x) ={(ξ¹_α,ξ²_α,ξ³_αj,ξ⁴_i,ξ⁵_ijξ⁶,ξ⁷_α,ξ⁸,ξ⁹_α)^′ ∈^R23|^ξ2α = ξ⁴_i = ξ⁷_ανα(x) =ξ⁹_ανα(x) =0} ergibt sich f ¨ur allex ∈^Γ,V ∈ N^˜ undξ ∈kerM(x)

h^Aνξ,ξi=−^Cαjβlνlξ³_αjξ²_β−^Cβlαjνlξ²_αξ³_βj+C^¯1,αlνlξ⁶ξ²_α+C^¯1,lβνlξ²_βξ⁶

−Cijβlνlξ⁵_αjξ⁴_β−Cklijνlξ⁴_αξ⁵_βj+δαiC¯1,αlνlξ⁸ξ⁴_α+C^¯1,lβνlξ⁴_βξ⁸ +c1δ_αjν_jV_j⁷V⁶+c1δ_αjν_jV⁶V_α⁷+c2δ_αjν_jV_j⁹V⁸+c2δ_αjν_jV⁸V_α⁹ ≡^0.

Es bleibt zu zeigen, dass kerM(x)ein maximaler Untervektorraum bzgl. der Mengeninklu-sion ist, auf welchemA^νpositiv semidefinit ist. Da sich Manalog zu A^νgem¨aßM(x) =

Mˆ(x) 0

Nach dem S^YLVESTERschen Tr¨agheitssatz gen ¨ugt es zu beweisen, dass die Anzahl der nichtnegativen Eigenwerte A^ν(V),V ∈ N, gleich der Dimension von ker ˆ^˜ M(x)ist, d. h., 8 = 13−⁵ = ker ˆM(x) = r+(M^ˆ(x)) +r0(M^ˆ(x)), wobei In(M^ˆ(x)) = (r+,r₋,r0)(M^ˆ(x)) den Tr¨agheitsindex bezeichnet.r+,r₋,r0 stehen f ¨ur die Anzahl der positiven, negativen und Nulleigenwerte von ˆM(x).

Ist M ∈ ^Rm×neine Matrix mit linear unabh¨angigen Spaltenvektoren, so wird das Resul-tat der Anwendung des Orthonormalisierungsverfahrens nach G^RAM& S^CHMIDauf die Spaltenvektoren vonMdurch

Nun wollen wir die zum Eigenwert λ = 0 geh ¨origen Eigenvektoren bestimmen. Hier-zu l ¨osen wir das Problem ˆA^ν(V)U = 0 nach U f ¨ur V ∈ N^˜ auf. Unter Beachtung der wir eine Orthonormalbasis des Kerns von ˆA, welche wir zu einerR¹²×⁴-Matrix zusam-menfassen:

Nun wollen wir diese Vektoren zu einer Orthonormalbasis vonR¹²erweitern. Dies liefert

welche die Matrix A^νauf die gew ¨unschte Blockform bringt. So findet man unter Beach-tung von MatrixAIbesteht nun aus vier Bl ¨ocken

AI =

wobei AI,11 ∈ ^{R6×6, A}I,22 ∈ ^{R2×2. Da A}I,11 invertierbar ist, gilt die HAYNSWORTHsche Tr¨agheitsformel (vgl. [29]):

In(AI) =In(AI,11) +In(AI/AI,11),

wobei AI/AI,11 := AI,22−^AI,21A⁻_I,11¹ AI,12 das SCHUR-Komplement von AI,11 bzgl. AI

bezeichnet. Man findet sofort

AI,21A⁻_I,11¹ AI,12 = AI,21









(M⁻¹)⁻₁₁¹ (M⁻¹)⁻₁₂¹ 0 0 (M⁻¹)⁻₂₁¹ (M⁻¹)⁻₂₂¹ 0 0

0 0 (M⁻¹)⁻₁₁¹ (M⁻¹)⁻₁₂¹ 0 0 (M⁻¹)⁻₂₁¹ (M⁻¹)⁻₂₂¹







 AI,12

=

0 0 0 B(M⁻¹)₁₁B^′

.

Weil Mpositiv definit ist und(C^∗)^′C,B(M⁻¹)₁₁B^′positiv sind, bekommen wir aufgrund der Blockstruktur von AI,11

det(AI,11−^λI6) =det(λ²I3−^M2) =

∏

λ˜∈^σ(M²)

(λ±^pλ˜), σ(M²) ={^λ˜1, ˜λ2, ˜λ3} ⊂(0,∞), det(AI/AI,11−^λI2) =det

−^λ (C^∗)^′C C^′C^∗ −^λ−^B(M⁻¹)₁₁B^′

≡ ^det

−^{λ a} a −^λ−^b

= λ−^−b−√₂^{b2+4a2 λ}− ^−b+√₂^b2+4a2.

Somit gilt

In(AI) =In(AI,11) +In(AI/AI,11) = (3, 3, 0) + (1, 1, 0) = (4, 4, 0). Damit ist

In(A^ˆν) =In(AI) +In(AI I) = (4, 4, 0) + (0, 0, 4) = (4, 4, 4). Weil dim ker ˆM(x) =8=r+(A^ˆν) +r0(A^ˆν), ist ker ˆM(x)maximal nichtnegativ.

vi) Nach Voraussetzung 3.1.7 gilt

F = (F_α¹,F_α²,F_αj³,F_i⁴,F_ij⁵,F⁶,F_α⁷,F⁸,F_α⁹)^′

≡(0,Mα, 0,fi, 0,h1, 0,h2, 0)^′ ∈

s

\

k=0

C^k([0,T],(H^s−k(^Ω))²³), f = v⁰_α,v¹_α,v⁰_α,xj, ˜U_i¹, ˜U_i,x⁰ _j,θ⁰,q⁰_α, ˜θ⁰, ˜q⁰_α′

∈(H^s(^Ω))²³. Die Kompatibilit¨atsbedingungen sind ebenfalls erf ¨ullt.

Satz A.2.5 liefert also die Existenz einer eindeutigen L ¨osungV ∈ ^Ts

k=0C^k([0,T^′],(H^s−k(^Ω))²³), T^′ ∈ (0,T]zum Problem (3.34), f ¨ur welche M(x)∂^k_tV(t,x) =0 f ¨ur k = 0, . . . ,s−^{1 undx} ∈ ^Γ gilt. Mit (3.33) folgt schließlich, dass die durch

(v,u,w,θ,q, ˜θ,q)^′(t,x) =V_α¹(t,x), ˜U_i⁰+

Z _t

0 V_i⁴(τ,x)dτ,V⁶(t,x),V_α⁷(t,x),V⁸(t,x),V_α⁹(t,x)^′

definierten Funktionen die eindeutige L ¨osung von (3.1)–(3.10) mit der behaupteten Regularit¨at

darstellen.

Augrund des Satzes A.2.3 gilt das nachstehende Korollar.

Korollar 3.1.9. Seis=2s^′,s^′ ≥4. Die in Satz 3.1.8 gegebene L ¨osung erf ¨ullt u,v∈

s^′

\

k=0

C^k([0,T],(H^s′+1−k(^Ω)∩^H0¹(^Ω))²), ∂^s_t^′+1u, ∂^s_t^′+1v∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²),

w∈

s^′

\

k=0

C^k([0,T],H^s′+1−k(^Ω)∩^H0¹(^Ω)), ∂^s_t^′+1w∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

θ, ˜θ ∈

s^′−¹

\

k=0

C^k([0,T^′,H^s′−k(^Ω)), ∂^s_t^′θ, ∂^s_t^′θ˜∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

q, ˜q∈

s^′−¹

\

m=0

C^k([0,T],(H^s′−k(^Ω)∩H¹_div(^Ω))²), ∂^s_t^′q, ∂^s_tq˜∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²).

Im Dokument Zur Theorie Wärmeleitender Reissner-Mindlin-Platten (Seite 66-88)