Globale Existenz und Exponentielle Stabilit¨at

k=0

C^k([0,T],(H^s′+1−k(^Ω)∩^H0¹(^Ω))²), ∂^s_t^′+1u, ∂^s_t^′+1v∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²),

w∈

s^′

\

k=0

C^k([0,T],H^s′+1−k(^Ω)∩^H0¹(^Ω)), ∂^s_t^′+1w∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

θ, ˜θ ∈

s^′−¹

\

k=0

C^k([0,T^′,H^s′−k(^Ω)), ∂^s_t^′θ, ∂^s_t^′θ˜∈ C⁰([0,T],L²(^Ω)),

q, ˜q∈

s^′−¹

\

m=0

C^k([0,T],(H^s′−k(^Ω)∩H¹_div(^Ω))²), ∂^s_t^′q, ∂^s_tq˜∈ C⁰([0,T],(L²(^Ω))²).

3.2 Globale Existenz und Exponentielle Stabilit¨at

Nun wollen wir die im Abschnitt 3.1 gewonnene lokale L ¨osung global fortsetzen. Im Allgemei-nen besteht leider keine Hoffnung, das Problem (3.1)–(3.10) zuz ¨uglich Anfangs- und Randbe-dingungen global l ¨osen zu k ¨onnen. So hat man in [55] bewiesen, dass bereits das semilineare thermoelastische Problem

utt−^µ△^u−(µ+λ)∇^divu+β∇^θ =|^u|^p−2uin(0,∞)×^Ω, θt+γdivq+δdivut=0 in(0,∞)×^Ω,

τqt+q+κ∇^θ =0 in(0,∞)×^Ω,

|^u|= θ=0 in(0,∞)×^∂Ω, u(0,·) =u0, ut(0,·) =u1, θ(0,·) =θ0, q(0,·) =q0inΩ

f ¨urp > 2 im Allgemeinen keine globale L ¨osung zul¨asst: die zu Anfangswerten mit negativer Energie geh ¨origen L ¨osungen explodieren in endlicher Zeit, auch wenn die Anfangsdaten belie-big glatt und klein sind. Dieses Resultat wurde in [56] sogar auf eine Klasse von Anfangsdaten mit positiver Energie erweitert. Daher ist es naheliegend, dass wir auch bei unserem Problem nicht von globaler Existenz ausgehen k ¨onnen, ohne dass wir das System stabilisieren. Bevor wir die globale L ¨osbarkeit beweisen, stellen wir einige relevante Resultate aus der Literatur vor.

In [35] haben Jiang und Racke die nichtlinearen hyperbolisch-parabolischen Thermoelasti-zit¨atsgleichungen studiert:

Ui,tt =C_ijkl(∇^U,θ)U_k,xjxl +C^¯ij(∇^U,θ)θx_j in(0,∞)×^Ω, a(∇^U,θ)θt =−_χ(¹_θ)^divq(∇^U,θ,∇^θ) +C^¯ij(∇^U,θ)Ui,tx_j in(0,∞)×^Ω mit den ¨ublichen Anfangsbedingungen und den Randbedingungen

Ui =θ =0 in(0,∞)×^∂Ω.

Unter gewissen technischen Annahmen wurde bewiesen, dass hinreichend kleine Anfangsda-ten stets zu globalen L ¨osungen(U,θ)^′f ¨uhren, sofernUrotationsfrei ist. Letztere Annahme ist z. B. f ¨ur radialsymmetrische Gebiete bei radialsymmetrischen Daten erf ¨ullt. Der Beweis ber-uhrt auf Fortsetzungsargumenten sowie der exponentiellen Abklingrate f ¨ur das linearisierte System.

Ein analoges Resultat wurde von Irmscher in [32], [33] f ¨ur nichtlineare Thermoelastizit¨ats-gleichungen mit W¨armeleitung nach CATTANEO erzielt. Es wurde bewiesen, dass das nichtli-neare Problem

ui,tt−Aij(∇u,θ,q)uj,xkxk+Bij(∇u,θ,q)θx_j =0 in(0,∞)×^Ω, c(∇^u,θ,q)θt+g(∇^u,θ,q)divq+Bij(∇^u,θ,q)ui,tx_j =0 in(0,∞)×^Ω, Tij(∇^u,θ)qj,t+qi+Kij(∇^u,θ)θxj =0 in(0,∞)×^Ω mit den Randbedingungen

ui = θ=0 in(0,∞)×^∂Ω

im radialsymmetrischen Fall f ¨ur kleine Anfangsdaten global l ¨osbar und exponentiell stabil ist.

Es sei allerdings angemerkt, dass der Autor keinen Beweis f ¨ur lokale L ¨osbarkeit erbracht hat (worauf der Autor in der Arbeit auch hingewiesen hat), welcher keineswegs trivial ist, da die letzten zwei Gleichungen im Vergleich zur nichtlinearen parabolischen Gleichung zweiter Ord-nung ,,weniger Struktrur“ aufweisen. So kann man ohne Weiteres nicht von der Existenz von

∇^qausgehen.

Zu erw¨ahnen ist auch die Arbeit [79], in welcher globale Existenz f ¨ur das Problem utt−^a(ux,θ,q)uxx+b(ux,θ,q)θx =0 in(0,∞)×(0,L),

θt+g(ux,θ,q)qx+d(ux,θ,q)utx =0 in(0,∞)×(0,L), τ(ux,θ)qt+q+k(ux,θ)θx =0 in(0,∞)×(0,L) mit den Randbedingungen

u=0, θ =θ^¯in(0,∞)× {^0,L}

f ¨ur kleine Anfangsdaten nachgewiesen wurde. Es wurde allerdings keine Aussage ¨uber die Abklingrate der L ¨osungen gemacht, außer dass(u,θ)^′gegen(0, ¯θ)^′ f ¨urt→^∞konvergiert.

Bekannt sind auch einige Resultate f ¨ur ein semilineares REISSNER-MINDLIN-System ohne den Anteil f ¨ur thermoelastische Dehnungen. In [17] wurde ein vollged¨ampftes semilineares Problem

vtt+β0vt−^α△^v−^ξ∇^divv+µ0v+γ∇^u+β∇^θ =−(∇^Φ)(v)in(0,∞)×^Ω, utt+β1ut−^µ1−^γ1divv=F(u)in(0,∞)×^Ω,

θt−^η△^θ+ divvt =0 in(0,∞)×^Ω

f ¨ur die D^IRICHLET-Randbedingungen anv,uundθ untersucht. Unter Einschr¨ankungen anΦ undFwurde insbesondere die Existenz globaler schwacher L ¨osungen bewiesen.

Die eindimensionale Version der REISSNER-MINDLIN-Platte – den TIMOSHENKO-Balken – hat man in [57] studiert. So l¨asst das System

ρ1ϕtt−^σ(ϕx,ψ)_x+µϕt=0 in(0,∞)×(0,L), ρ2ψtt−^bψxx+k(ϕx+ψ) +βθx =0 in(0,∞)×(0,L), ρ3θt+γqx+δψtx =0 in(0,∞)×(0,L), τ0qt+q+κθx =0 in(0,∞)×(0,L)

mit den Randbedingungen

ϕx= ψ=θ =0 in(0,∞)× {^0,L}

f ¨ur kleine Anfangsdaten globale L ¨osungen zu. ¨Uberdies klingen die L ¨osungen exponentiell ab.

Im Folgenden wollen wir die Gleichungen (3.1)–(3.10) global l ¨osen. Mit der NotationU = (U1,U2,U3)^′ := (v,u,w)^′,Θ := (θ, ˜θ)^′, Q := (q, ˜q)^′ schreiben sich die Gleichungen wie folgt um:

ρ2U1,tt− D^′SD^U1+K(U1+∇^U3) +C^¯1(∇^U,Θ,Q)∇^Θ1 =0, (3.36)

˜

ρ1U2,tt− ^divN(∇^U3,∇^U2) +C^¯2(∇^U,Θ,Q)∇^Θ2 =0, (3.37) ρ1U3,tt−^Kdiv(∇^U3+U1)− ^div(N(∇^U3,∇^U2)∇^U3) +d^˜(∇^U,Θ,Q)U3,t=0, (3.38)

a1(∇^U,Θ,Q)^Θ1,t+b1(∇^U,Θ,Q)divQ1+β^˜(∇^U,Θ,Q)^Θ1

+spur(C^¯1(∇^U,Θ,Q)∇^U1,t) =0, (3.39) a2(∇^U,Θ,Q)^Θ_2,t+b2(∇^U,Θ,Q)divQ2+spur(C^¯2(∇^U,Θ,Q)∇^U2,t) =0, (3.40) A1(∇U,Θ,Q)Q1,t+B1(∇U,Θ,Q)Q1+b1(∇U,Θ,Q)∇^Θ1 =0, (3.41) A2(∇U,Θ,Q)Q2,t+B2(∇U,Θ,Q)Q2+b2(∇U,Θ,Q)∇^Θ2 =0 (3.42) f ¨ur(t,x)∈(0,∞)×^Ωmit den

Rand-U= 0, Q1·^ν=Q2·^ν=0 in(0,∞)×^{Γ (3.43)} und Anfangsbedingungen

U(0,·) =U⁰, Ut(0,·) =U¹, Θ(0,·) =^Θ0, Q(0,·) =Q⁰inΩ. (3.44) Selbst bei den hyperbolisch-parabolischen (s. [34]) sowie den hyperbolischen Thermoela-stizit¨atsgleichungen (s. [32] und [33]) war die Rotationsfreiheit des Verschiebungsfeldes bzw.

des Verschiebungsfeldes und des W¨armeflusses unabdingbar, um das linearisierte Problem ex-ponentiell zu stabilisieren und damit das nichtlineare Problem global l ¨osen zu k ¨onnen. Ein alternativer Zugang besteht darin, das System vollst¨andig zu d¨ampfen, was z. B. in [71] f ¨ur die hyperbolischen Thermoelastizit¨atsgleichungen gemacht wurde.

In dieser Arbeit kombinieren wir die beiden Vorgehensweisen, indem wir nur die Biegungs-komponenteU3 = w durch einen D¨ampfungsterm stabilisieren und f ¨ur U1, U2, Q1, Q2 die Rotationsfreiheit voraussetzen. Die D¨ampfung f ¨urwist n ¨otig, um das nichtlineare System zur exponentiellen Stabilit¨at zu f ¨uhren, dawnicht an die W¨armeleitungsgleichungen angeschlos-sen ist (vgl. Satz 2.1.7 im Linearen).

Um die Resultate aus dem Linearen anwenden zu k ¨onnen, wollen wir das Problem (3.36)–

(3.44) als St ¨orung der isotropen Situation betrachten.

Voraussetzungen 3.2.1. Wir setzen voraus, dass die Nichtlinearit¨aten anf¨anglich isotrop sind.

1. Die FunktionenNundai,bi,Ai,Bi, ¯Ci,i = 1, 2, seien glatt im Sinne der Voraussetzungen 3.1.2 bzw. 3.1.5.

2. Es gelte

C¯1(0, 0, 0) =γI2, C¯2(0, 0, 0) =γ˜I2, d˜(0, 0, 0) =d, β˜(0, 0, 0) =β, a1(0, 0, 0) =ρ3, a2(0, 0, 0) =ρ˜3, b1(0, 0, 0) =κ, b2(0, 0, 0) =κ,˜ A1(0, 0, 0) =τ0I2, A2(0, 0, 0) =τ˜0I2, B1(0, 0, 0) =δI2 B2(0, 0, 0) =δI^˜ 2. Alle Konstanten seien dabei positiv.

Um die Stabilit¨atsresultate aus dem Linearen f ¨ur den globalen Existenzsatz anwenden zu k ¨onnen, ben ¨otigen wir, dass Θ₁,Θ₂ in L²(^Ω)/{1} f ¨ur alle t ∈ [0,T] liegen, d. h. R

ΩΘ₁dx = R

ΩΘ₂dx =0. Daher modifizieren wir die Gleichungen (3.15)–(3.20), indem wir einige Koeffizi-enten als linear voraussetzen:

ρ2U1,tt− D^′SD^U1+K(U1+∇^U3) +γ∇^Θ1 =0, (3.45)

˜

ρ1U2,tt− divN(∇U3,∇U2) +γ˜∇^Θ2 =0, (3.46) ρ1U3,tt−Kdiv(∇U3+U1)− div(∇U3N(∇U3,∇U2)) +d^˜(∇U,Θ,Q)U3,t=0, (3.47) ρ3Θ_1,t+κdivQ1+βΘ₁+γdivU1,t=0, (3.48) A1(∇^U,Θ,Q)Q1,t+B1(∇^U,Θ,Q)Q1+κ∇^Θ1 =0, (3.49)

˜

ρ3Θ_2,t+κ˜divQ2+γ˜divU2,t=0, (3.50) A2(∇U,Θ,Q)Q2,t+B2(∇U,Θ,Q)Q2+κ∇^Θ2 =0. (3.51) Die Rand- und die Anfangsbedingungen bleiben unver¨andert. Der Unterschied zu den Gleichungen (3.15)–(3.20) besteht darin, dass

a1≡ρ3, a2≡ρ˜3, b1 ≡κ, b2 ≡κ,˜ C¯1≡γI, C¯2≡γ˜ (3.52) konstant sind und dass die Gleichungen (3.48), (3.49) in der Divergenzform geschrieben sind.

Satz 3.2.2. Die AnfangsdatenU⁰,U¹,Θ⁰,Q⁰ bzw. die nichtlinearen Koeffizienten erf ¨ullen die Voraussetzungen von Satz 3.1.8 und Korollar 3.1.9 f ¨urs^′ = 4. Außerdem gelte die Vorausset-zung 3.2.1 und die Bedingung (3.52). F ¨ur die AnfangsdatenΘ⁰,Θ¹gelteΘ⁰₁,Θ⁰₂ ∈ ^L2(^Ω)/{¹}^,

d. h. _Z

Ω

Θ⁰₁dx=

Z

Ω

Θ⁰₂dx=0. (3.53)

Die im Satz 3.1.8 gegebene lokale L ¨osung(U,Θ,Q)^′zu (3.45)–(3.51), (3.43), (3.44) mit U∈

2

\

k=0

C([0,T),(H₀^3−k(^Ω))⁵), ∂³_tU∈ (L²(^Ω))⁵,

Θ∈

1

\

k=0

C([0,T),(H^2−k(^Ω)/{¹})²), ∂²_tΘ∈(L²(^Ω)/{¹})²,

Q∈

1

\

k=0

C([0,T),(H²_div^−k(^Ω))²), ∂²_tQ∈ (L²(^Ω))⁴

auf einem maximalen Existenzintervall[0,T),T>0, erf ¨ulle die Rotationsfreiheitsbedingung rotU1=rotU2=0 in[0,T)×^Ω,

rotQ1=rotQ2=0 in[0,T)×^{Ω. (3.54)} Dann gibt es eine Konstanteε>0 derart, dass die L ¨osung global existiert, falls

3

∑

k=0

kU^kk²_3−k,2+

2

∑

k=0

k^Θkk²_2−k,2+

2

∑

k=0

kQ^kk²_2−k,2 <_ε.

Uberdies klingt die L ¨osung exponentiell ab, d. h. es existieren Konstante¨ C > _{0 undα}> _{0 so,} gilt. Dabei bezeichnetk · ks,pdie ¨ubliche Norm des S^OBOLEVschen Raumes H^s,p(^Ω)bzw. die daruch induzierte Norm auf dem jeweiligen Produktraum.

Beweis:Wir orientieren uns an die Vorgehensweise von Jiang et al. in [34] beim Beweis der globalen Existenz f ¨ur nichtlineare hyperbolisch-parabolische Thermoelastizit¨atsgleichungen.

Wir definieren

und schreiben die Gleichungen (3.45)–(3.51) wie folgt um

ρ2U1,tt− D^′SD^U1+K(U1+∇^U3) +γ∇^Θ1 = F1, (3.56) Unter Beachtung der Randbedingungen (3.21) sowie der Gleichungen (3.59), (3.61) bekommen wir mit der Voraussetzung (3.53)

Mit der Theorie von Agmon, Douglis und Nirenberg aus [3] (vgl. auch [43, Section 2.3]) folgt die elliptische Regularit¨at vonD^′SD^,D^′S˜D^,K△. Es existiert also einC_E >_{0 so, dass}

k^Gk²_(H^k+2₍Ω))⁵ ≤^C_EkD^′SD^G1k²_(H^k₍Ω))²+kD^′S˜D^G2k²_(H^k₍Ω))²+k^K△^G3k²_H^k₍Ω)

(3.63) f ¨urk=0, 1 und alleG∈ (H₀¹(^Ω))⁵mitD^′SD^G1,D^′S˜D^G2∈ (L²(^Ω))²,K△^G3∈ ^L2(^Ω)gilt. F ¨ur ein noch sp¨ater zu bestimmendesα>0 definieren wir

M(t):=e^αtΛ(t).

Ferner setzen wir

C:=max{^1,C_E}^max_min{^{_1,ρ^1,ρ1₁^,ρ_,ρ2²_,ρ^,ρ₃^{3, ˜}_{, ˜ρ}^ρ₃³_,τ^,τ₀⁰_{, ˜}^{, ˜}_τ^τ0_{0,K,κ, ˜}^{,K,κ, ˜}_{κ,γ, ˜}^{κ,γ, ˜γ,d,β}_γ,d,β^}_}^2undM:=2328C³ und finden aufgrund der Stetigkeit vonMeinT^′ ∈[0,T)so, dass

M(t)≤^{Mε2f ¨ur allet}∈ [0,T^′). (3.64) Sei nun

T^∗ :=sup{^T′ >₀|^M(t)≤^{Mε2f ¨ur allet} ∈[0,T^′)}^.

IstT^∗ = T, so folgt, dass die L ¨osung f ¨ur allet ∈ [0,T)existiert. Istε >0 hinreichend klein, so impliziert der S^OBOLEVsche Einbettungssatz, dass die L ¨osung f ¨ur alle t ∈ [0,T)hinreichend klein ist. Damit kann man mit dem lokalen Existenzsatz die L ¨osung außerhalb des Intervalls [0,T)fortsetzen, was der Maximalit¨at vonT widerspricht. Deshalb bleibt es nur, den FallT <

T^∗zu betrachten. Wir wollen n¨amlich beweisen, dass dieser Fall nicht eintreten kann, sofernε hinreichend klein ist.

Unter Beachtung des SOBOLEVschen Einbettungssatzes f ¨urΩ⊂^R2 H¹(^Ω)֒→ ^L∞(^Ω)

sowie der Gleichung (3.64) bekommen wir

k(U,Θ,Q)k2,∞,k∂t(U,Θ,Q)k1,∞,k∂²_t(U,Θ,Q)k^∞≤ Cεe^−α/2f ¨ur allet ∈[0,T^∗), (3.65) wobei die KonstanteC>0 weder vontnoch von den Anfangsdaten abh¨angt.

Wir definieren

F(t;U,Θ,Q):=e^αt

k^Utk²+k^Uk²+k∇^Uk²+k^Θk²+k^Qk²(t),

wobeik · k die ¨ubliche L²-Norm auf dem jeweiligen Produktraum bezeichnet. Fasst man die Funktion F = (F1, . . . ,F7)^′ als eine Inhomogenit¨at auf und f ¨uhrt den Beweis von Satz 2.1.12 und Satz 2.2.4 f ¨ur die inhomogenen Gleichungen (3.56)–(3.62) durch, so ergibt sich

F(t;U,Θ,Q)≤^C˜F(0;U,Θ,Q) +C Z _t

0 e^αtk^Fk(k^Uk+k^Utk+k^Θk+k^Qk)(t)ds

≡^C˜F(0;U,Θ,Q) +R(t;U,Θ,Q,F),

(3.66)

wobeiC>0 hier und folgend eine generische positive Konstante bezeichnet und ˜C>_{0 wie in} Satz 2.1.12 ist. Wendet man auf die Gleichungen (3.56)–(3.62) den Operator∂^k_t,k = 1, 2, an, so sieht man, dass(∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)den Gleichungen (3.56)–(3.62) f ¨ur die rechte Seite∂^k_tFgen ¨ugt.

Damit ergibt sich f ¨urk=0, 1, 2

F(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)≤^C˜F(0;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ) +R(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ,∂^k_tF). F ¨ur die obigen Absch¨atzungen war entscheidend, dass

F4,F6 ∈ C²([0,T),L²(^Ω)/{¹})

gilt, was wegenF4,F6 ≡ 0 trivialerweise erf ¨ullt ist. Unter Benutzung der LEIBNIZschen Pro-duktregel sowie des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgt

R(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)≤^C

Z _t

0 k^∂ktFk(k^∂ktUk+k^∂ktUtk+k^∂ktΘk+k^∂ktQk)(s)dsf ¨urk =0, 1, 2.

F ¨urk =0, 1 sch¨atzen wir mit Hilfe der L^EIBNIZschen Produktregel sowie des Mittelwertsatzes der Integralrechnung

R(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)≤ ^Cε3 ab, wobei die dritte Potenz vonεwegen (3.65) auftritt. Es gilt z. B.

C_ijkl(∇^U,Θ,Q)−^Cijkl(0) =

Z ₁

0 ξ^∂Cijkl_∂(⁽_∇^ξ∇_U,^U,ξΘ,ξ_Θ,Q))^Q)·(∇^U,Θ,Q)dξ, woraus sich unmittelbar

k^F1k ≤ k(Cijkl(∇^U,Θ,Q)−^Cijkl(0))Uk,x_jx_lk ≤^Cε2

ergibt. Der Fallk = 3 muss separat behandelt werden, da∂³_tF im Allgemeinen nicht existiert.

Die Terme inR(t;∂³_tU,∂³_tΘ,∂³_tQ)lassen sich aber mittels partieller Integration behandeln, so-dass wir gar keine dritte Ableitung vonFbrauchen. Beispielsweise ergibt sich

Z t

0 e^αtF1,tttU1,ttds=−

Z t

0 e^αsFttU(αU1,tt+U1,ttt)ds+e^αsF1,ttU1,tt|0^t

≤^Cε3+ε²

2

∑

k=0

|F(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)− F(0;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)|^.

Die letzten zwei Terme werden von denF-Termen in (3.67) absorbiert, sodass wir insgesamt

2

∑

k=0

F(t;∂^k_tU,∂^k_tΘ,∂^k_tQ)≤^{3/2Cε˜ 2}+Cε³ (3.67) mit ˜Cwie in (3.66) f ¨ur hinreichend kleineεbekommen.

Nun m ¨ussen wir die fehlenden Terme absch¨atzen, um die FunktionMmittelsF kontrollie-ren zu k ¨onnen. Unter Benutzung von (3.60), (3.62) ergibt sich

k∇^Θk² =2kF5k²+2kF7k²+ _κ²2kτ0Q1,t+δQ1k²+ _κ˜²2kτ^˜0Q2,t+δQ^˜ 2k²

≤^4CΛ(t) +Cε³f ¨ur allet∈ [0,T^∗)

Hierbei haben wir die J^ENSENsche Ungleichung in der Spezialform ∑ⁿ

k=1

a_k2

≤ ^{n ∑n}

k=1

a²_k ver-wendet. Analog folgt mit (3.59), (3.61)

k∇^Qk²= 2k^F4k²+2k^F6k²+ ²_κk^ρ3Θ_1,t+βΘ₁+γdivU1,tk²+²_κ˜k^ρ˜3Θ_2,t+γ˜divU2,tk²

≤ ^6CΛ(t) +Cε³f ¨ur allet ∈[0,T^∗),

wobeik^divQik=k∇^Qik^{wegen rotQ}i =0,i=1, 2 gilt (vgl. Satz C.2.1). Differenziert man die Gleichungen (3.59)–(3.62) nacht, so ergibt sich analog

k∇^Θtk² ≤4CΛ(t) +Cε³, k∇^Qtk² ≤6CΛ(t) +Cε³

f ¨ur allet∈ [0,T^∗). Unter Benutzung von (3.63) und (3.56)–(3.58) k ¨onnen wirk^Uk²2,2absch¨atzen:

k^Uk²2,2≤^CE kD^′SD^U1k²+kD^′S˜D^U2k²+k^K△^U3k²

≤^2CE(k(F1,F2,F3)k²) +8C(k^Uttk²+k^Utk²+k^Uk²+k∇^Uk²+k∇^Θk²)

≤^32C2Λ(t) +Cε³f ¨ur allet∈ [0,T^∗). Differenziert man (3.56)–(3.58) nacht, so folgt analog

k^Utk²2,2≤^32C2Λ(t) +Cε³f ¨ur allet∈ [0,T^∗).

Wir wenden den Gradienten auf die Gleichungen (3.59)–(3.62) an und erhalten k∇^2Θk² =2k∇(F5,F7)k²+ _κ²2k^τ0∇^Q1,t+δ∇^Q1k²+_κ˜²2k^τ˜0∇^Q2,t+δ^˜∇^Q2k²

≤^4C(k^Qtk²+k∇^Qk²) +Cε³ ≤^48C2Λ(t) +Cε³f ¨ur allet∈[0,T^∗) sowie

k∇^2Qk² =2k∇(F4,F6)k²+ _κ²₂k^ρ3∇^Θ1,t+β∇^Θ1+γ∇^divU1,tk²+_κ˜²₂k^ρ˜3Θ_2,t+γ˜∇^divU2,tk²

≤6C(k∇^Θtk²+k∇^Θk²+k∇Utk²) +Cε³≤42C²Λ(t) +Cε³f ¨ur allet∈ [0,T^∗). Schließlich ergeben sich die Absch¨atzungen

k∇^Uk2,2≤ ^C_E k∇D^′SD^U1k²+k∇D^′S˜D^U2k²+k^K∇△^U3k²

≤^2C_E(k∇(F1,F2,F3)k²) +8C(k∇^Uttk²+k∇^Utk²+k∇^Uk²+k∇^2Uk²+k∇^2Θk²)

≤^664C3Λ(t) +Cε³f ¨ur allet ∈[0,T^∗) und

k^Utk2,2≤^C_E kD^′SD^U1,tk²+k∇D^′S˜D^U2,tk²+k^K∇△^U3,tk²

≤^2C_E(k^∂t(F1,F2,F3)k²) +8C(k^Utttk²+k^Utk²+k∇^Utk²+k∇^Uttk²+k∇^Θtk²)

≤^80C3Λ(t) +Cε³f ¨ur allet∈ [0,T^∗). Somit gilt

M(t)≤776C³F(t)≤1164 ˜Cε²+Cε³≤^Mε2/²+Cε³.

Nun w¨ahlen wir ε > 0 so klein, dass Cε ≤ ^M/³gilt. Dann folgt M(t) ≤ ⁵/⁶M ε² f ¨ur alle t ∈ [0,T^∗). Im Grenzwert bekommen wir also M(T^∗) ≤ ^{5/6 Mε2} < Mε², was der Maximalit¨at vonT^∗ widerspricht. Daher muss die L ¨osung f ¨ur alle t ≥ 0 existieren. Unter Beachtung von (3.64) ergibt sich schließlich die exponentielle Stabilit¨at der L ¨osung.

Exakte Randsteuerbarkeit im Linearen

In diesem Kapitel wenden wir uns einem Steuerungsproblem f ¨ur eine w¨armeleitende REIS

-SNER-M^INDLIN-Platte mit hyperbolischer W¨armeleitung nach C^ATTANEOsowie eine dissipa-tionsfreie thermoelastische REISSNER-MINDLIN-Platte nach GREEN& NAGHDIzu. Unter einer geometrischen Restriktion an das Gebiet geben wir die positive Antwort auf die Frage nach exakter Randsteuerbarkeit des Systems durch N^EUMANNsche Randsteuerungen, indem wir die Surjektivit¨at des SteuerungszustandsoperatorsLTbzw. stetige Invertierbarkeit des dualen OperatorsL^∗_T nachweisen (cf. [45], [46], [47]). Diesen Zugang haben wir gegen ¨uber dem auf L^IONS ([50], [51]) zur ¨uckgehenden HUM¹-Prinzip – auch (F^,F^′,Λ)-Methode genannt – be-vorzugt. Dabei verwenden wir die im Anhang B vorgestellten allgemeinen Resultate aus der Steuerungstheorie. Ein wichtiger Unterschied zu den konventionellen Evolutionsgleichungen besteht darin, dass wir einen schw¨acheren L ¨osungsbegriff ben ¨otigen, welcher f ¨ur kontrolltheo-retische Anwendungen sehr wichtig ist, da die L²-optimalen Steuerungen in der Regel sehr irregul¨ar sind, wovon man sich gut anhand der typischen numerischen Graphiken ¨uberzeu-gen kann (s. z. B. [23]).

Bei einem Steuerungsroblem (auch Kontroll- oder Regelungsproblem genannt) f ¨ur ein Sy-stem partieller Differentialgleichungen handelt es sich um die Frage, ob man durch eine ge-schickte Manipulation einer Steuergr ¨oße die zum Anfangszeitpunkt in einem gegebenen Zu-stand befindende ZuZu-standsgr ¨oße zum Endzeitpunkt in einen ,,beliebigen“ vorgegebenen Ziel-zustand ¨uberf ¨uhren kann. Je nach dem, ob die Steuerungsgr ¨oßen als rechte Seite oder Rand-bedingungen auf das System einwirken, spricht man von den verteilten Steuerungen² bzw.

Randsteuerungen. W¨ahrend sich viele Arbeiten der Existenz verteilter Steuerungen f ¨ur par-tielle Differentialgleichungen widmen (s. z. B. [14], [50], [51], [83], [89] usw.), gibt es keinen einheitlichen Zugang zur Randsteuerbarkeit, vor allem f ¨ur gekoppelte Systeme, weil solche Abhandlungen immer auf sehr speziellen Absch¨atzungen beruhen, sodass allgemeine Argu-mente in der Regel nicht anwendbar sind, was insbesondere der Situation bei der Suche nach der Randstabilisierung ¨ahnelt (cf. [43]). Nachstehend wollen wir dem Leser einen ¨Uberblick

¨uber die Resultate zur Randsteuerbarkeit f ¨ur (thermo)elastische Systeme verschaffen.

In [42] haben Lagnese und Lions rein elastische REISSNER-MINDLIN-Gleichungen im

be-1HILBERTUniqueness Method

2Distributed controls

91

schr¨ankten, glatt berandeten GebietΩ⊂^R2studiert

ρh³

12ψtt−^D(ψx₁x₁+ ¹⁻₂^µψx2x2 +¹⁺₂^µϕx₁x2) +K(ψ+wx₁) =0 in(0,T)×^Ω,

ρh³

12 ϕtt−^D(ϕx2x2+¹⁻₂^µϕx1x1 +¹⁺₂^µψx1x2) +K(ψ+wx1) =0 in(0,T)×^Ω, ρhwtt−^K((wx1+ψ)_x1+ (wx2 +ϕ)_x2) =0 in(0,T)×^Ω.

F ¨ur die folgende Wahl der Randsteuerungen wurde exakte Steuerbarkeit des Systems f ¨ur hin-reichend großeT >0 nachgewiesen:

i) NEUMANN-Randsteuerungen

w=ψ= ϕ=0 in(0,T)×^Γ0, K(^∂w_∂ν +ν1ψ+ν2ϕ= u1in(0,T)×^Γ1, D(ν1ψx1+µν1ϕx2+ ¹⁻₂^µ(ψx2+ϕx1)ν2) =u2in(0,T)×^Γ1, D(ν2ϕx2 +µν2ψx1+ ¹⁻₂^µ(ψx2+ϕx1)ν1) =u3in(0,T)×^Γ1. ii) D^IRICHLET-N^EUMANN-Randsteuerungen

w=v1, ψ=v2, ϕ= v3in[0,T]×^Γ0, K(^∂w_∂ν +ν1ψ+ν2ϕ= u1in(0,T)×^Γ1, D(ν1ψx1+µν1ϕx2+ ¹⁻₂^µ(ψx2+ϕx1)ν2) =u2in(0,T)×^Γ1, D(ν2ϕx2 +µν2ψx1+ ¹⁻₂^µ(ψx2+ϕx1)ν1) =u3in(0,T)×^Γ1, wobeiΓ₀,Γ₁disjunkte, relativ offene Teilmengen des Randes∂Ω=Γ^¯₀∪^Γ¯1sind.

F ¨ur den Fall von D^IRICHLET-N^EUMANN-Randsteuerungen wird zus¨atzlich eine geometrische Voraussetzung an die Geometrie vonΩ,Γ₀undΓ₁gestellt: Es gelte ¯Γ₀∩^Γ¯1 =∅_und

(x−^x0)·^ν≤^{0 aufΓ}0, (x−^x0)·^ν≥^{0 aufΓ}1. (4.1) Die Bedingung (4.1) wird auch ben ¨otigt, um exakte Randsteuerbarkeit f ¨ur die Wellengleichung durch NEUMANNsche Randsteuerungen zu beweisen (s. [45] und Referenzen ebda).

Narukawa hat in [62] f ¨ur die dreidimensionalen homogenen, isotropen Thermoelastizit¨ats-gleichungen mit der W¨armeleitung nach F^OURIER

ρ0vtt−µ△v+ (λ+µ)∇divu−α∇θ =0 in(0,T)×^Ω, θt−^κ△^θ+βdivvt =0 in(0,T)×^Ω.

bewiesen, dass man durch Vorschreiben der DIRICHLETschen oder ROBINschen Randsteue-rungen sowie der homogenen D^IRICHLETschen Randbedingungen die elastische Zustandsva-riablevin einen ,,beliebigen“ Zielzustand bringen kann. Es wurden keine Aussagen ¨uber die Steuerbarkeit vonθgemacht. Werden die Randsteuerungen durch eine ¨uber eine offene Menge ω ⊂ ^Ωverteilte Steurung f ¨urversetzt, so liegen laut Zuazua (s. [88]) die exakte Steuerbarkeit f ¨urvund approximative Nullsteuerbarkeit f ¨urθvor.

In der Arbeit [2] von Avalos und Lasiecka wurde eine thermoelastische Platte nach K^IRCH

-HOFFmit der W¨armeleitung nach FOURIERstudiert (vgl. [16] f ¨ur den Fallα=α(x)):

wtt−γ△wtt+△²w+ div(α∇θ) =0 in(0,T)×^Ω,

βθt−^η△^θ+σθ− div(α∇^wt) =0 in(0,T)×^Ω. (4.2)

W¨ahlt man die Randsteurungen als Oberfl¨achenkr¨afte und -momente aufΓ₁, die ROBINschen Randsteurungen f ¨urθ auf Γ₂ sowie die homogenen D^IRICHLET-Randbedingungen auf Γ₀, so folgt, dass das System in (w,wt) exakt und in θ approximativ nullsteuerbar ist. Dabei sind Γ₀,Γ₁,Γ₂relativ offen und disjunkt mit∂Ω=^Γ¯₀∪^Γ¯1∪^Γ¯2, ¯Γ₀∩^Γ¯1= ∅_und

(x−^x0)·^ν≤^{0 aufΓ}0. Weitere Referenzen findet man in der ¨Ubersichtsarbeit [80].

Das Ziel dieses Kapitels ist es, ein exaktes Steuerbarkeitsresultat f ¨ur eine w¨armeleitende REISSNER-MINDLIN-Platte zu beweisen. Dabei soll ein Randsteuerungsmechanismus durch die NEUMANNschen Randsteuerungen sowohl f ¨ur den elastischen als auch den thermischen Anteil des Systems hergestellt werden.

4.1 Formulierung und Reduktion

Wir betrachten ein Randsteuerungsproblem f ¨ur eine w¨armeleitende R^EISSNER-M^INDLIN-Platte mit W¨armeleitung nach CATTANEO, deren Mittelbene im Referenzzustand ein beschr¨anktes Gebiet Ω ⊂ ^R2 mit dem L^IPSCHITZ-Rand Γ belegt. Die Platte sei am Randteil Γ₀ befestigt und auf Nulltemperatur gehalten. Am RandteilΓ₁sei sie ¨uber das Vorschreiben der Normal-spannungen sowie des W¨armeflusses in der Richtung der Normalen gesteuert.Γ₀undΓ₁seien offen, disjunkt, nichtleer und erf ¨ullenΓ= ^Γ¯0∪^Γ¯1. Das Problem der exakten Randsteuerbarkeit, welches wir zun¨achst unpr¨azise formulieren, lautet dann wie folgt.

Problem 4.1.1. Man ¨uberf ¨uhre die den REISSNER-MINDLIN-Gleichungen ρ1wtt−^Kdiv(∇^w+v) =0 in(0,∞)×^Ω, ρ2vtt− D^′SD^v+K(v+∇^w) +γ∇^θ =0 in(0,∞)×^Ω, ρ3θt+κdivq+βθ+γdivvt =0 in(0,∞)×^Ω, τ0qt+δq+κ∇θ =0 in(0,∞)×^Ω

(4.3)

mit den D^IRICHLETschen Randbedingungen aufΓ₀

w=|^v|=θ =0 auf(0,∞)×^Γ0 (4.4) gehorchenden Zustandsfunktionen(w,v,θ,q)^′ aus einem beliebigen, aber festen Anfangszu-stand

w(0) =w⁰, wt(0) =w¹, v(0) =v⁰, vt(0) =v¹, θ(0) =θ⁰, q(0) =q⁰ (4.5) in einen gegebenen Endzustand

w(T) =w^T,0, wt(T) =w^T,1, v(T) =v^T,0, vt(T) =v^T,1, θ(T) =θ^T,0, q(T) =q^T,0. (4.6) zu einem gegebenen ZeitpunktT>0 durch die Wahl der Steuerungsfunktionen

(u1,u2,u3)^′: [0,T]×^Γ1→^R×^R2×^R f ¨ur die inhomogenen N^EUMANNschen Randbedingungen aufΓ₁

(∇^w+v)·^ν= u1auf(0,∞)×^Γ1, N^′SDv−γθν=u2auf(0,∞)×^Γ1, q·^ν= u3auf(0,∞)×^Γ1.

(4.7)

Das Problem 4.1.1 muss nat ¨urlich in geschickten R¨aumen interpretiert werden, worauf wir noch sp¨ater eingehen werden. Alle Konstanten seien dabei positiv. Die Matrix S ∈ ^R3×3 sei symmetrisch, positiv definit.

Die Tatsache, dass die Gleichungen (2.3) von gemischter Ordnung sind, erschwert deutlich deren Behandlung. Deshalb transformieren wir sie auf ein System hyperbolischer Gleichungen zweiter Ordnung, um die klassischen Methoden f ¨ur die hyperbolische Randsteuerbarkeit an-wenden zu k ¨onnen. Wir nehmen an, dassθundqhinreichend glatt sind, wenden auf die dritte bzw. die vierte Gleichung in (4.3) den Operator∂tbzw. div an und bekommen

ρ3θtt+κdivqt+βθt+γdivvtt =0 in(0,∞)×^Ω,

τ0divqt+δdivq+κ△^θ =0 in(0,∞)×^{Ω. (4.8)} L ¨ost man die dritte Gleichung in (4.3) nach divqauf

divq= −^ρ_κ^3θt− ^β_κ^θ− ^γ_κ ^divvtin(0,∞)×^Ω und setzt das Resultat in die zweite Gleichung von (4.8) ein, so folgt

τ0divqt−^ρ3_κ^δθt− ^βδ_κ ^θ− ^γδ_κ ^divvt+κ△^θ =0 in(0,∞)×^{Ω. (4.9)} L ¨ost man (4.9) nach divqtauf

divqt = ^ρ_κτ^3δ

0θt+_κτ^βδ

0θ+_κτ^γδ

0 divvt− _τ^κ₀△^θ =0 in(0,∞)×^Ω und setzt das Resultat in die erste Gleichung von (4.8) ein, so ergibt sich

ρ3θtt−^κ_τ²₀△^θ+ (^ρ_τ^3δ

0 +β)θt+ ^βδ_τ

0θ+ ^γδ_τ

0 divvt+γdivvtt =0 in(0,∞)×^{Ω. (4.10)} Nun setzen wir (4.10) in (4.3) ein und bekommen nach Verwerfen der vierten Gleichung

ρ1wtt−Kdiv(∇w+v) =0 in(0,∞)×^Ω, ρ2vtt− D^′SD^v+K(v+∇^w) +γ∇^θ =0 in(0,∞)×^Ω, ρ3θtt−^κ_τ²₀△^θ+ (^ρ_τ³₀^δ+β)θt+ ^βδ_τ0θ+ ^γδ_τ0 divvt+γdivvtt =0 in(0,∞)×^Ω.

(4.11)

Motiviert durch [40], wollen wir statt θ dessen zeitliche Stammfunktion ϑ(t,·) = Rt

0θ(s,·)ds betrachten. Mit diesem Ansatz geht (4.11) in

ρ1wtt−^Kdiv(∇^w+v) =0 in(0,∞)×^Ω, ρ2vtt− D^′SD^v+K(v+∇^w) +γ∇^ϑt =0 in(0,∞)×^Ω, ρ3ϑtt−^κ_τ²₀△^ϑ+ (^ρ_τ^3δ

0 +β)ϑt+ ^βδ_τ

0ϑ+^γδ_τ

0 divv+γdivvt=0 in(0,∞)×^Ω

(4.12)

¨uber. Schließlich setzen wir ω := ^κ_τ²

0, α:= ^ρ_τ^3δ

0 +β, η:= ^βδ_τ

0, λ:= ^γδ_τ

0 (4.13)

und finden

ρ1wtt−^Kdiv(∇^w+v) =0 in(0,∞)×^Ω, ρ2vtt− D^′SDv+K(v+∇w) +γ∇ϑt =0 in(0,∞)×^Ω, ρ3ϑtt−^ω△^ϑ+αϑt+ηϑ+λdivv+γdivvt =0 in(0,∞)×^Ω.

(4.14)

Multipliziert man die vierte Gleichung in (4.3) skalar mitν

∂ϑ

∂ν =−(^τ_κ⁰qt·^ν+^δ_κq·^ν)in(0,∞)×^Γ1, (4.15) so ergeben sich mit (4.7) die Randbedingungen f ¨ur(w,v,ϑ)^′

w=|v|= ϑ=0 auf(0,∞)×^Γ0, (∇^w+v)·^ν =u1auf(0,∞)×^Γ1, N^′SD^v−^γϑtν =u2auf(0,∞)×^Γ1,

∂ϑ

∂ν =−(^τ_κ⁰u3,t+ ^δ_κu3)auf(0,∞)×^Γ1.

(4.16)

Integriert man (4.9) ¨uber[0,T]

τ0div(q(T)−^q(0))−^ρ_κ^3δ(θ(T)−^θ(0)) + κ△ −^βδ_κ ^ϑ(T)− ^γδ_κ ^div(v(T)−^v(0)) =0, so bekommt man mit (4.15) eine inhomogene elliptische Gleichung f ¨urϑ(T)

− ^κ△ − ^βδ_κ^ϑ(T) =τ0div(q^T,0−^q0)−^ρ_κ^3δ(θ^T,0−^θ0)−^γδ_κ ^div(v^T,0−^v0)inΩ, ϑ(T) =0 aufΓ₀, ∂ϑ(T)

∂ν =−

Z _T

0 (^τ_κ⁰u3,t+ ^δ_κu3)dtaufΓ₁. (4.17) Aufgrund der elliptischen Theorie (s. [49]) besitzt die Gleichung (4.17) f ¨ur regul¨are Daten im glatt berandeten Gebiet eine eindeutige L ¨osungϑ^T,0, welche uns jetzt die Endbedingung f ¨ur ϑ(T)liefert

ϑ(T) =ϑ^T,0. Außerdem gilt

ϑt(T) =θ^T,0. (4.18)

Daher schreiben sich die Anfangs- und Endbedingungen f ¨ur(w,v,ϑ)^′als

w(0) =w⁰, wt(0) =w¹, v(0) =v⁰, vt(0) =v¹, ϑ(0) =0, ϑt(0) =θ⁰ (4.19) bzw.

w(T) =w^T,0, wt(T) =w^T,1, v(T) =v^T,0, vt(T) =v^T,1, ϑ(T) =ϑ^T,0, ϑt(T) =θ^T,0. (4.20) Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Satz 4.1.2. Sei(w,v,θ,q)^′eine hinreichend glatte L ¨osung von (4.3), (4.4), (4.5), (4.6), (4.7). Dann l ¨ost (w,v,ϑ)^′, ϑ(t,·) = Rt

0θ(s,·)ds, die Gleichung (4.14), (4.16), (4.19), (4.20). Ist umgekehrt (w,v,ϑ)^′ eine hinreichend glatte L ¨osung des zweiten Problems, so l ¨ost(w,v,θ,q)^′ mitθ = ϑt, q(t,·) =Rt

0e^{−δ(t−s)/τ0}∇^ϑt(s,·)dsdas erste Problem.

Deshalb untersuchen wir im Folgenden

Problem 4.1.3. Bestimme die Steuerfunktionen(u1,u2,u3)^′: [0,T]×^Γ1 →^R×^R2×^{Rso, dass} die L ¨osung(w,v,ϑ)^′des Problems

ρ1wtt−^Kdiv(∇^w+v) =0 in(0,∞)×^Ω, ρ2vtt− D^′SDv+K(v+∇w) +γ∇ϑt =0 in(0,∞)×^Ω, ρ3ϑtt−^ω△^ϑ+αϑt+ηϑ+λdivv+γdivvt =0 in(0,∞)×^Ω

(4.21)

mit den Randbedingungen

w=|^v|= ϑ=0 auf(0,∞)×^Γ0, (∇^w+v)·^ν =u1auf(0,∞)×^Γ1, N^′SDv−γϑtν =u2auf(0,∞)×^Γ1,

∂ϑ

∂ν =u3auf(0,∞)×^Γ1

(4.22)

und den Anfangsbedingungen

w(0) =0, wt(0) =0, v(0) =0, vt(0) =0, θ(0) =0, q(t =0) =0 (4.23) einen gegebenen Endzustand zum ZeitpunktT>₀

w(T) =w^T,0, wt(T) =w^T,1, v(T) =v^T,0, vt(T) =v^T,1, ϑ(T) =ϑ^T,0, ϑt(T) =ϑ^T,1 (4.24) erreicht.

Im Dokument Zur Theorie Wärmeleitender Reissner-Mindlin-Platten (Seite 88-101)