Quasilineare Symmetrisch-Hyperbolische Systeme

Viele Gleichungen der mathematischen Physik, insbesondere die REISSNER-MINDLIN -Platten-gleichungen, lassen sich auf die Form eines symmetisch-hyperbolischen Systems erster Ord-nung bringen. Nachstehend pr¨asentieren wir eine allgemeine L ¨osungstheorie f ¨ur symmetrisch-hyperbolische Systeme nach [75], welche auch den ,,charakteristischen“ Fall ber ¨ucksichtigt, welcher z. B. bei dem CATTANEO-System, der Wellengleichung, den Elastizit¨atsgleichungen,

den REISSNER-MINDLIN-Gleichungen im Mehrdimensionalen usw. auftritt und somit eine Ver-allgemeinerung von [74] (s. auch [31]) sowie der klassischen Arbeiten von Friedrichs [20] u.a.

darstellt. In diesem Kapitel betrachten wir also quasilineare symmetrisch-hyperbolische Sy-steme erster Ordnung in beschr¨ankten, glatt berandeten Gebieten mit geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen. Folgende Resultate werden nach [75] zitiert.

SeiΩ⊂^Rn,n≥2, ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem RandΓund seiT>0. Wir betrach-ten das Anfangsrandwertproblem

L(u)u= Fin[0,T]×^Ω, u(0,·) = f inΩ,

Mu=0 in[0,T]×∂Ω,

(A.5)

wobei

L(u)u:= A⁰(u)∂t+

n

∑

j=1

A^j(u)∂j+B(u)f ¨ur(t,x)∈[0,T]×^Ω,

∂t = _∂t^∂ und ∂j = _∂x^∂

j. Ferner seien A⁰,A¹, . . . ,Aⁿ,B: R^N → ^RN×N Matrixfunktionen. Die Matrizen A⁰,A¹, . . . ,Aⁿ seien symmetrisch und A⁰ sei positiv definit. F: [0,T]×^Ω¯ → ^RN und f: ¯Ω → ^RN seien vorgegebene Funktionen. M: Γ → ^Rd×N sei eine Matrixfunktion mit konstantem Rang rangM(x) =d< _{Nf ¨urx}∈ ^Γ.

Seiν: Γ→^Rnder ¨außere Einheitsnormalenvektor anΩinx ∈^∂Ω. Die durch A^ν(u) =

n

∑

j=1

ν^j(x)A^j(u)f ¨uru∈^RN gegebene Funktion heißt die zum OperatorLgeh ¨orige Randmatrix.

Die Randbedingung sei maximal nichtnegativ, d. h. kerMsei ein maximaler Untervektor-raum vonR^N, auf welchem A^ν positiv semidefinit ist. Gilt rangA^ν = Nkonstant aufΓ, d. h.

A^νist invertierbar, so heißtΓnicht charakteristisch. Ist rangA^ν <_Nkonstant aufΓ, so heißtΓ charakteristisch mit konstanter Vielfachheit. Sonst heißtΓcharakteristisch mit nicht konstanter Vielfachheit.

Im nicht charakteristischen Fall kann von der L ¨osung volle Regularit¨at erwartet werden:

Liegen die Anfangsdaten in einem SOBOLEVraum H^s(^Ω)f ¨urs ≥ ⌊ⁿ₂⌋+2, so besitzt auch die L ¨osung unter zus¨atzlichen Voraussetzungen eine H^s(^Ω)-Regularit¨at in der Ortsvariablen (s.

[74]). IstΓcharakteristisch mit konstanter Vielfachheit, so kann man im Allgemeinen nicht er-warten, dass die L ¨osung die volle Regularit¨at besitzt. Die Regularit¨at wird mit Hilfe der aniso-tropischen gewichteten S^OBOLEVr¨aumen H_∗^s beschrieben, welche wir nachstehend definieren.

Wird an die RandmatrixA^νeine zus¨atzliche Bedingung vom KREISS-Typ gestellt, so kann man auch in diesem charakteristischen Fall die volle Regularit¨at bekommen (s. z. B. [63]). F ¨ur die meisten Anwendungen ist diese hinreichende Bedingung aber zu einschr¨ankend. Schlimm-stensfalls kann das Problem nicht einmal wohlgestellt sein, wennΓcharakteristisch mit nicht konstanter Vielfachheit ist (s. Referenzen in [75]).

Definition A.2.1. F ¨urs ∈ ^Ndefinieren wir den anisotropischen S^OBOLEVraum f ¨ur den Halb-raumfall

H_∗^s(^Rn₊) ={^u∈^L2(^Rn₊)|(x1∂1,∂2, . . . ,∂n)^α∂^k₁u∈ ^L2(^Rn₊)f ¨ur|^α|+2k ≤^s}

versehen mit der Norm

kuk²_H^s_∗(Rⁿ₊) :=

∑

|^α|+2k≤^s

k(x1∂1,∂2, . . . ,∂n)^α∂₁^kuk²_L²₍Rⁿ₊)f ¨uru∈ H_∗^s(^Rn₊). Diese Definition l¨asst sich auf kompakte Gebiete erweitern.

Definition A.2.2. SeiΩein beschr¨anktes Gebiet, welches lokal auf einer Seite seinesC^∞-glatten RandesΓliegt. Sei{^Uk}^m_k=0eine offene ¨Uberdeckung von ¯Ω, f ¨ur welche Folgendes gilt:

i) U¯0⊂ ^Ω.

ii) F ¨ur jedesk=1, . . . ,ngibt es einenC^s-DiffeomorphismusΦ_k: ¯Ω∩^Uk → ^B+(0, 1):={^x∈ B(0, 1)|x1≥0}mitΦ_k(^Γ∩Uk) ={x∈ B(0, 1)|x1 =0}.

Sei{^ψk}k=0,...,m eine zu{^Uk}^m_k=0 geh ¨orige Partition der Eins. Der RaumH_∗^s(^Ω) wird definiert als

H_∗^s(^Ω):={^u∈ ^L2(^Ω)|^ψ0u∈ ^Hs(^Rn),ψku∈ ^H_∗^m(^Rn₊)f ¨urk=1, . . . ,m} zusammen mit der Norm

k^uk²H_∗^s(Ω) :=k^ψ0uk²H^s(^Rn)+

m

∑

k=1

k^ψkuk²H_∗^m(^Rn₊). Der Bequemlichkeit halber setzen wir

H⁰_∗(^Ω):= L²(^Ω).

Obwohl der RaumH^m_∗(^Ω)im Hinblick auf symmetrisch-hyperbolische Probleme, vor allem im Halbraum, ein ganz nat ¨uliches Konstrukt ist, l¨asst sichH_∗^m(^Ω)als kein Interpolationsraum auffassen. Trotzdem hat der Raum gute Eigenschaften, welche nachstehend beschrieben wer-den (vgl. [58])

Satz A.2.3. H_∗^s(^Rn₊)und H_∗^s(^Ω)sind H^ILBERTr¨aume, deren Normen zwar abh¨angig von der Wahl der offenen ¨Uberdeckung, aber ¨aquivalent sind. Außerdem gelten die Einbettungen

H^s(^Ω)֒→ ^H_∗^s(^Ω)֒→^H⌊2s⌋(^Ω), H_∗¹(^Ω) =H¹(^Ω).

Unter Benutzung der oben definierten anisotropen R¨aume hat Secchi in [75] die folgenden zwei Existenzs¨atze bewiesen.

Satz A.2.4. Seis∈^Nmits≥4⌊ⁿ₂⌋+12. Vorausgesetzt sei:

i) Ω⊂ ^Rnsei ein beschr¨anktes Gebiet, welches auf einer Seite seinesC^∞-glatten RandesΓ liegt.

ii) F ¨ur einε >_{0 gelteA}⁰_{, . . . ,A}ⁿ_,B∈ C^s(N0,R^N×^N), wobeiN0 :={v∈^RN| kv− fk^∞ ≤ε}. A⁰, . . . ,Aⁿseien symmetrisch in N0und es gebe eina_A⁰ >_{0 so, dass}

a0 ≤^ξ′A0(v)ξ ≤ _a¹₀ ^{f ¨ur alleξ} ∈^RN,v∈ ^N0.

iii) Der Rang von A^ν(v) ist konstant mit 0 < _rangA^ν(v) < _{N f ¨ur alle v} ∈ ^{N˜ :}= {^v ∈ N0|^Mv =0}^.

iv) M∈ C^∞(^Γ,R^d×^N)mit rangM(x) =df ¨urx∈^Γ.

v) kerM(x) sei maximal nichtnegativ, d. h. kerA^ν(v) sei f ¨ur alle v ∈ ^N0 ein maximaler Untervektorraum von R^N bzgl. der Mengeninklusion, auf welchemA^ν(v)positiv semi-definit ist.

vi) F ∈ ^Ts

k=0

H^k,∞([0,T],H_∗^s−k(^Ω)), f ∈ ^H_∗^s(^Ω). ¨Uberdies m ¨ogenFund f die Kompatibilit¨ats-bedingugen von der Ordnung s−1 erf ¨ullen, d. h. u^k ∈ H_∗^s−k(^Ω) und Mu^k = 0 f ¨ur k = 0, . . . ,s, wobeiu^k diek-te Zeitableitung vonu an der Stelle t = 0 bezeichnet, wel-che sich iterativ mit Hilfe der Gleichung (A.5) berechnen l¨asst.

Dann existiert eine Zahl T^′ ∈ (0,T] so, dass das Problem (A.5) eine eindeutige L ¨osungu ∈

s

T

k=0C^k([0,T^′],H_∗^s−k(^Ω))besitzt.

Wenn die Daten ¨uber volle Regularit¨at verf ¨ugen, kann man die Voraussetzung ans etwas ab-schw¨achen.

Satz A.2.5. Sei s ∈ ^{Nmit s} ≥ ²⌊ⁿ₂⌋+6. Es gelten die Voraussetzungeni)–v)von Satz A.2.4.

Zus¨atzlich gelte:

vi’) Seien f ∈ ^Hs(Ω),F ∈ ^Ts

k=0C^k([0,T],H^s−k(Ω)). Es gelten die Kompatibilit¨atsbedingungen u^k ∈ ^Hs−k(^Ω)f ¨urk=0, . . . ,s.

Dann existiert eine Zahl T^′ ∈ (0,T] so, dass das Problem (A.5) eine eindeutige L ¨osungu ∈

Ts

k=0C^k([0,T^′],H_∗^s−k(^Ω))besitzt.

Der Vollst¨andigkeit halber zitieren wir nach [63] noch einen Satz, welcher unter der Annah-me der G ¨ultigkeit der nachstehend definierten K^REISS-Bedingung eine volle L ¨osungsregula-rit¨at garantiert.

Definition A.2.6. Ist rangA^ν(u)< _Nkonstant f ¨urv ∈ N, so folgt wegen der Symmetrie und^˜ der positiven Semidefinitheit vonA^νdie Existenz einer N×N-TransformationsmatrixWund positiver Zahlena0,a1>_{0 so, dass}

(W⁻¹A^νW)(v;ν(x)) =

AI 0 0 AI I

(v;ν(x)), detAI(v;ν(x))6=0, AI I(v;ν(x)) =0,

|A^±_I ¹| ≤ a1, |W^±1| ≤√ a0

f ¨urv∈ ^N˜ gilt. Dabei istAI ∈^Rd×d, AI I ∈^{R(N−d)×(N−d)}. Sindv∈ ^N˜ undη(x)∈ {^ν(x)}^⊥\{0}, so ergibt sich

(W⁻¹A^νW)(v;η(x)) =

n

∑

j=1

(W⁻¹A^jW)(t,x,u)ηj(x) =

AI I AI I I

AI I I AI I I I

(v;η(x)),

wobei AI I ∈ ^Rd×d, AI I I I ∈ ^{R(N−d)×(N−d)}. In [63] wurde bewiesen, dass es eine eindeutige L ¨osungA(t,x,u;ν(x);η(x))∈^R(N−d)×dder Gleichung

(A^AI−^AI IA)(v;ν(x);η(x)) = AI I I(v;ν(x);η(x)) (A.6)

f ¨urv ∈ ^N˜ gibt. Die durch Gleichung (A.6) definierte MatrixAerf ¨ullt die KREISS-Bedingung, falls

(AAI I−AI I I IA)(v;ν(x);η(x)) =0 und(AAI I I)(v;ν(x);η(x)) =0 (A.7) f ¨ur allev∈ N^˜ gilt.

Satz A.2.7. Unter Voraussetzungen von Satz A.2.5 sowie der K^REISSschen Bedingung (A.7) besitzt (A.5) eine eindeutige L ¨osungu∈ ^Ts

k=0C^k([0,T],H^s−k(^Ω)).

Bemerkung A.2.8. Alle in diesem Abschnitt formulierten Resultate lassen sich auf den Fall der zeit- und ortsabh¨angigen Koeffizientenmatrizen A⁰, . . . ,Aⁿ,B verallgemeinern (vgl. [75]). M muss leider konstant bleiben.

Steuerungstheorie in B ^ANACH r¨aumen

SeienX und U B^ANACHr¨aume. Der lineare Operator A^{: D}(A) ⊂ ^X → ^X erzeuge eine C⁰ -Halbgruppe(S(t))t≥⁰aufX. SeiB ∈ L(U,X₋1)(s. Definition A.1.17). Wir betrachten das linea-re unendlichdimensionale Steuerungssystem

yt(t) =A^y(t) +B^u(t)f ¨urt∈[0,T],

y(0) =y⁰. (B.1)

Die folgenden Resultate werden nach [12] und [64] zitiert.

B.1 Steuerungs- und Beobachtungsoperatoren

Definition B.1.1. Der SteuerungsoperatorB ∈ L(U,X₋1)heißt beschr¨ankt, fallsB ∈ L(U,X). Sonst heißt er unbeschr¨ankt.

Satz B.1.2. Seiu∈^L2((0,T),U). Dann ist die durch y: t7→^S−¹(t)y⁰+Ltu

gegebene Funktiony∈ ^H1((0,T),X₋1)die eindeutige schwache L ¨osung von (B.1), wobei Ltu:=

Z _t

0 S₋1(t−^s)B^u(s)ds,

worin(S₋1(t))_t≥0die Erweiterung von(S(t))_t≥0aufX₋1bezeichnet (vgl. Definition A.1.17).

Bemerkung B.1.3. Die Anfangsbedingung ist sogar im Sinne der EinbettungH¹((0,T),X₋1)֒→ C⁰([0,T],X₋1)erf ¨ullt.

Definition B.1.4. Ein SteuerungsoperatorB ∈ L(U,X₋1)heißt zul¨assig f ¨ur(S(t))_t≥0, falls f ¨ur y⁰ ∈^Xundu∈ ^L2((0,T),U)die schwache L ¨osungyfast ¨uberall nachXabbildet.

Unser n¨achstes Ziel ist es nun, die zul¨assigen Steuerungsoperatoren zu charakterisieren.

127

Bemerkung B.1.5. Definition B.1.4 ist dazu ¨aquivalent, dass der sogenannte Steuerungszu-standsoperator

LT: U→X₋1, u7→^{Z T}

0 S₋1(t−s)Bu(s)ds inL(L²((0,T),U),X)liegt.

Satz B.1.6. IstBein zul¨assiger Steuerungsoperator, so gilt f ¨ur die L ¨osungyvon (B.1) y∈ ^H1((0,T),X)֒→ C⁰([0,T],X)

und die Gleichung

yt(t) =A^y(t) +B^u(t)f ¨urt∈[0,T] ist unXerf ¨ullt.

Definition B.1.7. Ein linearer Operator A^{: D}(A) ⊂ ^X → ^X erzeuge eine C⁰-Halbgruppe (S(t))t≥⁰ auf einem BANACHraum X. SeiY ein BANACHraum und sei C ∈ L(D(A),Y). Der OperatorC heißt zul¨assiger Beobachtungsoperator f ¨ur(S(t))_t≥0, falls es eine KonstanteCT >₀ so gibt, dass

Z _T

0 kC^S(t)yk²Ydt≤^CTk^yk²X

f ¨ur alley∈ D(A)gilt.

Satz B.1.8. Sei X ein reflexiver B^ANACHraum. Der lineare Operator A^{: D}(A) ⊂ ^X → ^X er-zeuge eineC⁰-Halbgruppe(S(t))_t≥0aufX. Dann istB ∈ L(U,X₋1)genau dann ein zul¨assiger Steuerungsoperator¹f ¨ur(S(t))t≥⁰, wennB^∗ ∈ L(D(A^∗),U^′)ein zul¨assiger Beobachtungsope-rator f ¨ur(S^∗(t))_t≥0ist.

Korollar B.1.9. Der zumLtduale OperatorL^∗t ist durch

L^∗tx=B^∗S∗(T−^t)xf ¨ur allet∈[0,T]und x∈^D(A^∗), L^∗tx=BΛ^∗S^∗(T−t)xf ¨ur fast allet ∈[0,T]undx∈ X^′ gegeben, wobei

B^∗Λz= lim

λ→^∞λB^∗(λ− A^∗)⁻¹z die LEBESGUEsche Erweiterung vonB^∗bezeichnet.

Im Dokument Zur Theorie Wärmeleitender Reissner-Mindlin-Platten (Seite 127-133)