Ort: entsprechenden Briefk¨asten.] Aufgabe 1 Tr¨agheitsmomente [6P] Berechnen Sie das Tr¨agheitsmomentJ =R V ~ r2⊥ρ(~r)dV f¨ur die folgenden starren K¨orper mit der jeweiligen Massendichteρ(~r) und Rotationsachse~ω

Universit¨at Regensburg SS 2019 Dr. P. Wenk

B. Geiger, N. Leumer, M. Nitsch, A. Rabenstein, A. Rib

Ubungen zur Vorlesung “Mathematische Methoden”¨ Blatt 11

[Beachte: Aufg. mit (*) sind jeden Mi vor 8:00 schriftlich abzugeben. Ort: entsprechenden Briefk¨asten.]

Aufgabe 1 Tr¨agheitsmomente [6P]

Berechnen Sie das Tr¨agheitsmomentJ =R

V

~

r²_⊥ρ(~r)dV f¨ur die folgenden starren K¨orper mit der jeweiligen Massendichteρ(~r) und Rotationsachse~ω. Beachten Sie:~r⊥·~ω= 0.

a) Ein Hohlzylinder

(x, y, z)∈R³ | −h≤z≤h, r₁² ≤x²+y²≤r₂² (h > 0, r₂ > r₁ > 0)

mitρ(~r) =const und ~ω=~ex. (2P)

b) Der Hohlyzylinder aus a) mit konstanter Massendichte und ~ω=~ez. (2P) c) Eine Kugel mit R um den Urspung mit konstanter Massendichte und~ω=~e_y. (2P)

Aufgabe 2 * Doppelintegrale [5P]

Skizziere Sie die entsprechende MengeMund berechnen Sie dann die folgenden Doppelintegrale uber der Menge mit entsprechenden Integrationsgrenzen:¨

a) M={(x,y)∈R² |0≤x≤1, x≤y≤√

x} und R

Mxy²dxdy.

b) M={(x,y)∈R² |0≤x≤1≤y,y+x² ≤3} und R

Mx²dxdy.

c) M={(x,y)∈R² |0≤y≤x², 0≤x≤2}und R

M x²+y² dxdy.

d) M={(x,y)∈R² |1≤x²+ 4y²,x²+y²≤1}und R

M(|x|+|y|) dxdy.

e) M={(x,y)∈R² |1≤x²+ 4y²,x²+y²≤1}und R

Mxydxdy.

Aufgabe 3 Fl¨usse durch geschlossene Oberfl¨achen [6P]

Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes A~ :R³ → R³ durch die geschlossene Oberlf¨ache des jeweiligen K¨orpers. Die vektorwertige FunktionA~ ist in a) und c) in kartesischen, aber in b) in sp¨ahrischen Koordinaten angegeben.

a) A~ = (x+y, y+z, z)^T, W¨urfel mit

(x, y, z)∈R³| |x| ≤1,|y| ≤1,|z| ≤1 . (2P) b) A~ =r³~e_r + r²(sin(θ) +φ)e~_φ, Kugel mit Radius R um den Ursprung. (2P)

c) A~ = (xy, x, z)^T, HalbkugelmitBoden

(x, y, z)∈R³

x²+y²+z² ≤R und z≥0 .(2P)

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Aufgabe 4 * Fluss durch einen geschnitten Quader [6P]

Der Quader Q mit h > 0 sei gegeben durch

(x, y, z)∈R³ | |x| ≤h, 0≤y≤h,0≤z≤h . Die Punkte (−h,0,0)^T, (−h, h,0)^T, (0,0, h)^T und (0, h, h)^T definieren eine Ebene E die durch den Quader l¨auft und in zwei Teile zerlegt. Berechnen Sie zun¨achst explizit den Fluss von F~ :R³ →R³ durch die gr¨oßere der beiden Schnitth¨alften, wobeiF~ = (y, z, x)^T. Wie kann man das Ergebnis auch leichter erhalten?

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