Technische Universit¨at Wien WS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing
Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier
9. ¨Ubungsblatt zur VL
“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”
(nichtlineare Filter)
1. Aufgabe
a) Programmieren Sie eine Funktionpmm(U0,γ, h, λ, T)auf Grundlage des Perona- Malik Modells. Hierbei seien
(i) U0 ∈Rm×n das original Bild
(ii) γ = ∆th2 das parabolische Schrittweitenverh¨altniss (iii) hdie Schrittweite der Ortsdiskretisierung
(iv) λ der Parameter aus der Perona-Malik Gleichung (v) T die Anzahl der Zeitschritte.
Die Funktion pmmsoll eine Matrix U ∈Rm×n zur¨uckgeben, die das gegl¨attete Bild enth¨alt. Nutzen Sie zentrale Differenzen f¨ur Ortsableitungen und eine explizite Diskretisierung in der Zeit. Verwenden Sie die Spiegelungsfortsetzung um fehlende Randdaten zu erzeugen.
b) Testen Sie Ihre Funktion pmman folgendem Beispiel:
Es sei f0: [0,1]×[0,1]−→R definiert durch
f0(x, y) =
1,(x−12)2+ (y− 12)2 ≤ 161
0, sonst .
Das Bild f sei nun gegeben durch f = f0 +N, wobei die Abbildung N ein nor- malverteiltes Rauschen modelliere. Dies kann inMatlab mit der Funktion normrnd erzeugt werden. Nehmen Sie als Standard-Abweichungσ ≤0.2 und 0 f¨ur den Mit- telwert. Benutzen Sie ein Schrittweitenverh¨altnis γ ≤ 14. Plotten Sie f und pmm(f) mittels der Matlabfunktion mesh.
2. Aufgabe
Zeigen Sie f¨ur die L¨osunguder mittleren Kr¨ummungsgleichung mit homogenen Neumann- Randbedingungen, dass
F[u] :=
Z
Ω
|∇xu|dx
monoton fallend in der Zeit ist.
Gehen Sie davon aus, dass die L¨osung u glatt hinreichend ist.
3. Aufgabe
Es sei G definiert durch
G(σ) :=
Z σ
0
g(s)ds = λ2ln(1 + λσ2).
Ist u eine L¨osung der Perona-Malik Gleichung (Ω wie f¨ur Satz 3.1) mit homogenen Neumann-Randbedingungen, so ist das Funktional
E[u] :=
Z
Ω
G(|∇xu|2)dx
ein Maß f¨ur die Glattheit vonu. Zeigen Sie, dass dE[u]dt ≤0 gilt, d. h. Gl¨attung der L¨osung f¨ur t >0.
Gehen Sie davon aus, dass die L¨osung u hinreichend glatt ist.
