Zeigen Sie, dass f¨ur den Interpolations- fehler gilt ku−Πhuk∞≤Ch|u|2,K f¨ur alle u∈H2(K

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 20.01.2010 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

10. ¨Ubungsblatt zur Numerischen Behandlung von Differentialgleichungen I

In den folgenden Aufgaben bezeichnek · k_∞ die Maximumsnorm:kvk_∞= sup

x

|v(x)|.

F¨ur alle auftretenden Dreiecke gelteh/ρ≤Const, wobeihder Durchmesser undρder Inkreisradius des Dreiecks ist.

Aufgabe 33:

Zeigen Sie f¨ur lineare Funktionen v auf einem DreickK mit Durchmesser h und Inkreisradiusρ kvk_∞≤C h⁻¹kvk_0,K,

wobeiC nicht von K abh¨angt, solangeh/ρ≤Const.

Aufgabe 34:

SeiK ein Dreieck mit Durchmesser h und Inkreisradius ρ. Zeigen Sie, dass f¨ur den Interpolations- fehler gilt

ku−Π_huk∞≤Ch|u|_2,K f¨ur alle u∈H²(K) , wobeiC nicht von K abh¨angt, solangeh/ρ≤Const.

Hinweis:H²(K),→C(K) mit k · k_∞ ist stetig und linear nach dem Sobolev’schen Einbettungssatz.

Zeigen Sie die Aussage zun¨achst f¨ur das Referenzdreick.

Aufgabe 35:

Ein H²-regul¨ares Randwertproblem werde mit einer finite-Elemente Methode mit linearen finiten Elementen gel¨ost. Zeigen Sie, dass f¨ur den Fehler gilt

ku−u_hk_∞≤C h|u|₂.

Hinweis: Verwenden Sieu−u_h= (u−Π_hu) + (Π_hu−u_h), die Aufgaben 33, 34 und dann Π_hu−u_h = (Π_hu−u) + (u−u_h).

Aufgabe 36:

Betrachtet werde ein elliptisches Randwertproblem in variationeller Form mit V =H₀¹(Ω). Zeigen Sie, dass die finite-Elemente Methode mit linearen finiten Elementen in der H¹-Norm konvergiert (d.h.ku−uhk₁ →0 f¨urh→0), auch wenn die L¨osungu nur in H₀¹(Ω) liegt.

Hinweis: Verwenden Sie Cea’s Lemma und daßC₀^∞( ¯Ω) dicht inH₀¹(Ω) liegt.

Bemerkung: Die Konvergenz kann beliebig langsam sein, wenn nicht weitere Forderungen an die Regularit¨at gestellt werden.

Besprechung in den ¨Ubungen am 27.01.2010.