Priv.-Doz. Dr. Gennadiy Averkov Felix Jost, Clemens Zeile
Sommersemester 2018
Algorithmische Mathematik II – Blatt 9
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/sose18/algomat2/
Abgabe der Aufgaben bis zum 7.6.2018 vor der Vorlesung.
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei ∥ ⋅ ∥eine Vektornorm f¨urRn. Die durch∥ ⋅ ∥induzierte Operatornorm auf Rn×n ist als
∥A∥ ∶=sup
x≠0
∥Ax∥
∥x∥ , A∈Rm×n, x∈Rn, definiert. Zeigen Sie:
(a) Sei∥x∥1 f¨ur x∈Rn definiert als
∥x∥1 ∶=
n
∑
i=1
∣xi∣.
Zu zeigen: Die durch ∥ ⋅ ∥1 induzierte Operatornorm ∥A∥1 ist die “Spaltensummen- norm”:
∥A∥1= max
j=1,...,n n
∑
i=1
∣aij∣.
(b) Sei∥x∥∞ f¨urx∈Rn definiert als
∥x∥∞∶= max
i=1,...,n∣xi∣.
Zu zeigen: Die durch∥ ⋅ ∥∞ induzierte Operatornorm∥A∥∞ ist die “Zeilensummen- norm”:
∥A∥∞= max
i=1,...,n n
∑
j=1
∣aij∣.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Definition:
Die Kondition κ einer regul¨aren Matrix bzgl. einer Norm∥ ⋅ ∥s ist definiert als κs(A) ∶= ∥A∥s∥A−1∥s, A∈Rn×n, s∈ {1,∞}.
Aufgabe
(a) Berechnen sie die Kondition bez¨uglich der Maximumnorm∥ ⋅ ∥∞ folgender Matrix
A=
⎛
⎜
⎜⎜
⎝
1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1
0 0 0 1
⎞
⎟
⎟⎟
⎠ .
S. 1/2
Algorithmische Mathematik II – Blatt 9 S. 2/2
(b) Bestimmen sie analog zu (a) die Kondition bzgl. der Maximumsnorm der Matrix An= (aij)gegeben duchaii=1, aij = −1, i=1, . . . , n, j =i+1 undaij =0 sonst mit unbestimmten n∈N.
(c) Bestimmen sie analog zu (a) die Kondition bzgl. der 1-Norm der Matrix An = (aij) gegeben duch aii =1, aij = −1, i = 1, . . . , n, j = i+1 und aij = 0 sonst mit unbestimmten n∈N.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Nutzen Sie Ihr C++-Programm vom ¨Ubungsblatt 7, Aufgabe 4, (oder schreiben Sie ein neues Programm) zur Bestimmung von einem Interpolationspolynom P(x) der Form
P ∶R → R, P(x) =
n
∑
k=0
akxk, ak∈R, k=0, . . . , n,
welches exakt durch vorgegebene Punkte verl¨auft. Als Standardeingabe bekommt das Programm
• die Anzahl der vorgegebenen St¨utzpunkte,
• die St¨utzpunkte in der Form (x, y) ∈R2,
• der Grad des Polynoms, d.h. der gr¨oßte Exponent.
Danach soll das Programm das Polynom in obiger Form mit berechneten ak-Werten ausgeben. Sie d¨urfen annehmen, dass n+1 St¨utzpunkte vorgegeben sind, wobei n der gew¨ahlte Grad des Polynoms ist und zudem dass die St¨utzpunkte nicht linear abh¨angig sind.
