Priv.-Doz. Dr. Gennadiy Averkov Felix Jost, Clemens Zeile
Sommersemester 2018
Algorithmische Mathematik II – Blatt 4
www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/sose18/algomat2/
Abgabe vor Beginn der Vorlesung am 3.5.2018 oder vorher in G02-204, G02-221a
Wichtige organisatorische Informationen
• Es gibt in jeder Woche ein ¨Ubungsblatt mit Aufgaben im Wert von in der Regel 14 Punkten. Die L¨osungen sind zu zweit anzufertigen und sollen sp¨atestens in der Vorlesung der folgenden Woche abgegeben werden. Die L¨osungen werden in der darauf folgenden ¨Ubung zur¨uckgegeben und besprochen.
• Voraussetzungen f¨ur die Teilnahme an der Pr¨ufung ist der Leistungsnachweis:
– ≥50 % der Punkte aus den ¨Ubungen
– und das erfolgreiche Vorrechnen mindestens einer der Aufgaben – und die erfolgreiche Bearbeitung des Programmierprojekts.
• Die Programmieraufgaben sind bis zur Abgabefrist (Vorlesung) im .cpp-Format an algomath1718@ovgu.dezu senden.
Hinweis: Bei allen Aufgaben ist der komplette L¨osungsweg unter Angabe aller Be- gr¨undungen, Bemerkungen und Schlussfolgerungen in mathematisch und logisch einwand- freier Form, klar strukturiert und deutlich erkennbar darzustellen, sowie lesbar und gram- matikalisch korrekt zu formulieren. Alle zur L¨osungsgewinnung herangezogenen Aussagen sind zu beweisen bzw. zu begr¨unden; aus der Vorlesung bekannte Aussagen sind als solche kenntlich zu machen und k¨onnen ohne Beweisangabe verwendet werden.
Aufgabe 1 (4 Punkte)
F¨ur Graphen G = (V, E) benutzen wir die Bezeichnungen (G) = ∣E∣/∣V∣ und φ(G) = minv∈V Grad(v)(Minimalgrad). Zeigen Sie, dass jeder Graph Geinen TeilgraphenH mit mindestens einer Kante und φ(H) >(H) ≥(G) besitzt.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei G ungerichteter Graph. Der Abstand δ(u, v) von Knoten u, v ∈ V wird als k¨urzeste L¨ange des minimalen(u, v)-Pfades definiert. Die L¨angeg(G)eines k¨urzesten Kreises inG und das Maximum diam(G)aller Abst¨ande von zwei Knoten inGheißen dieTaillenweite bzw. der Durchmesser von G.
Zeigen Sie, dass f¨ur jeden GraphenG, der einen Kreis enth¨alt, g(G) ≤2diam(G) +1 gilt.
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Algorithmische Mathematik II – Blatt 4 S. 2/3
Aufgabe 3 (2 Punkte)
Die wunderbare Welt der Spinnen (Teil 1)
Spinnen in Topologien kn¨upfen nicht nur elliptische Netze, wie unsere Abbildung zeigt, sie vergn¨ugen sich auch w¨ahrend der Zeiten, in denen sie auf Nahrung warten, auf besondere Art. So hat sich die von uns beobachtete Spinne die Aufgabe gestellt, einen Rundgang auf den F¨aden ihres Netzes auszut¨ufteln, das heißt, einen Weg, der an einem der hundert Knoten beginnt, ¨uber alle ¨ubrigen Knoten geht und am Ende zur¨uck an ihren Ausgangs- punkt f¨uhrt. Hierbei darf aber jeder Knoten nur einmal passiert werden.
Das ist noch nicht alles: Zw¨olf (mit dicken Strichen gekennzeichnete) Wegst¨ucke hat das kluge Spinnentier als erschwerende Bedingung festgelegt; diese m¨ussen n¨amlich Teilstre- cken ihrer Tour sein.
Nun fragt sich nat¨urlich die gesamte Spinnenpopulation von Topologien, wie wohl der Rundgang auf den F¨aden ihrer Artgenossin aussehen wird.
Wie sieht dieser Rundgang aus, sofern er existiert; ist er eindeutig bestimmt?
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Schreiben Sie ein C++-Programm, welches f¨ur einen gegebenen Digraphen entscheidet, ob dieser einen gerichteten Kreis besitzt. Aus der Standardeingabe erh¨alt man dazu in dieser Reihenfolge
• die Anzahl n der Knoten,
• die Anzahl m der B¨ogen sowie
• f¨ur jeden Bogen (u, v) den Anfangsknotenu und den Endknoten v.
Die Menge der Knoten wird dabei als{0, . . . , n−1}angenommen. Ausgegeben werden soll (in die Standardausgabe) “kreisfrei”, wenn der Graph keinen gerichteten Kreis enth¨alt, oder aber die Knoten eines gerichteten Kreises in der Reihenfolge ihres Auftretens im Kreis, beginnend mit dem lexikographisch kleinsten Knoten im Kreis.
Algorithmische Mathematik II – Blatt 4 S. 3/3
Beispiele: Standardeingabe 4
5 1 0 1 2 1 3 2 3 0 2 Ausgabe kreisfrei
Standardeingabe 4
5 1 0 1 2 3 1 2 3 0 2 Ausgabe
1 2 3 oder 0 2 3 1
Achten Sie darauf, dass die Laufzeit ihres AlgorithmusO(n+m)betr¨agt. Die Rahmenbe- dingungen stimmen selbstverst¨andlich mit denen der anderen Programmieraufgaben in diesem Semester ¨uberein.
