Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 4. Januar 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
13. ¨Ubung : Ableitung I
13.1 Auf welchen Intervallen sind die Funktionen definiert, wo sind sie differenzierbar, und wie lautet ihre Ableitung?
f1(x) =x3ax, a >0, f2(x) =lnx
x , f3(x) = 1 1−x2, f4(x) =x2ex
lnx , f5(x) = sinx2, f6(x) = cos(cosx), f7(x) = (tanx)2, f8(x) =x1/3(1−x)2/3, f9(x) = arcsin
x+ 1 x−1
, f10(x) =|2x−1|, f11(x) =x2|x|, f12(x) = ln|tanx|
13.2 Finden Sie die Gleichung der Tangente an die durch f(x) = 8
r2x−3 3x2+ 4
bestimmte Kurvey=f(x) im PunktP(2, f(2)) derx-y-Ebene.
13.3 Unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der
Funktionen f(x) = sinx und g(x) = cosx ¨uber dem Intervall [0, π] ? 13.4 Berechnen Sie mittels logarithmischer Differentiation die Ableitung von
g1(x) =xx1, x >0, g2(x) = (cotx)sinx, 0< x < π 2 13.5 Bestimmen Sie dien-te Ableitung (n∈N).
f1(x) = 3x, f2(x) = lnx, f3(x) = 1
1 +ax (a∈R) 13.6 Ermitteln Sie (arccosx)′aus der Formel f¨ur die Ableitung der
Umkehrfunktion unter Beachtung von (cosx)′=−sinx und cos2x+ sin2x= 1.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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Dr. U. Streit 4. Januar 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
14. ¨Ubung : Ableitung II 14.1 Berechnen Sie die Grenzwerte.
limx→1
√3
x−1
√x−1, lim
x→π
tanx sin 2x, lim
x→π4
sinx−cosx cos 2x , lim
x→∞
2 + 3ex 5 + 7x 14.2 Berechnen Sie die Grenzwerte.
x→lim+0xlnx , lim
x→∞xln x−1
x+ 1
, lim
x→+0(cotx)sinx 14.3 Finden Sie den gr¨oßten und den kleinsten Wert der stetigen
Funktionf(x) = 3−x2−1x auf dem Intervall [0.5,1].
14.4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x−2
x+ 4, x6=−4
auf Monotonie und auf Existenz einer Umkehrfunktionf−1. Geben Sie Definitions- und Wertebereich vonf−1an.
14.5 Untersuchen Sie die Funktion f(x) =x3ex, x∈R auf Monotonie und Konvexit¨at.
Bestimmen Sie die Extremstellen und Wendepunkte vonf .
14.6 Aus einem zylindrischen Baumstamm (RadiusR) soll ein Balken mit Rechteckquerschnitt (Breiteb, H¨oheh) so herausgeschnitten werden, dass das Widerstandsmoment W=16bh2 maximal ist.
Wie ist das Verh¨altnis h/b zu w¨ahlen ?
14.7 Vier gleiche St¨abe der L¨angel= 2 [m] sollen das Ger¨ust f¨ur ein Zelt in Form einer quadratischen Pyramide bilden.
Bestimmen Sie dessen Volumen in Abh¨angigkeit von dem Winkelα zwischen einer Diagonalen der quadratischen Grundfl¨ache und einem anliegenden Stab (Kante).
Welchen maximalen Wert kann das Volumen annehmen ? Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
