2 Scheiben und Träger

2 Scheiben und Träger

2.4 Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Scheiben – Gleichgewicht

Gleichgewichtsbedingungen

Gleichgewicht in Richtungen x, z:

resp. in Membrankräften

(𝜎, τ konstant über Scheibendicke h):

mit (Momentenbedingung M_y= 0):

resp.

Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positiver Achsenrichtung Positive Membrankräfte entsprechen positiven Spannungen Indizes: 1-Richtung, 2-Normalenrichtung

zx xz

  

0 0

x xz

x

zx z

z

x z q

x z q

    

 

    

 

 

0 0

x xz

x

zx z

z

x x z z xz xz

n n

x z h q

n n

x z h q

n h n h n h

     

 

     

 

     

zx xz

n n (  _{zx zx x}, dx dz)

(  _{x x x}, dx dz)

(  _{xz xz z}, dz dx) (  _{z z z}, dz dx)

xdz



zxdz



xzdx

 ^zdx

dx dz ^x

q dxdz

q dxdzz

x

z

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

2 2

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

( ) sin cos (cos sin )

n x z xz

t x z xz

nt z x xz

          

          

           

z sin

 

 x

zx cos

 

x cos

 

t

n

tn 1 z

z cos

 

xz cos

 

t

1

nt

zx sin

_x sinn x

t

z

n xz sin

 



T

3

2

21

1 X



Z  1 Q (Pol)

N

 ( )

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

cos 2 sin 2

2 2

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x z x z

n xz

x z x z

t xz

x z

tn xz

     

      

     

      

  

      

2 2

cos 2  cos  sin  sin 2  2 sin cos 

2 2

1 sin  cos 



T

3

2

21

1 X



Z  1 Q (Pol)

N

 ( )

z sin

 

 x

zx cos

 

x cos

 

t

n

tn 1 z

z cos

 

xz cos

 

t

1

nt

zx sin

_x sinn x

t

z

n xz sin

 

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis 

T

3

2

21

1 X



Z  1 Q (Pol)

N

 ( )

Mittelpunkt / Radius Mohrscher Kreis

cos 2 sin 2

2 2

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x z x z

n xz

x z x z

t xz

x z

tn xz

     

      

     

      

  

      

 

1 1

2 2

1,3

2

0 1tan

2

4

2 2

xz

nt tn

x z

x z xz

x z

   

          

    

  

  

z sin

 

 x

zx cos

 

x cos

 

t

n

tn 1 z

z cos

 

xz cos

 

t

1

nt

zx sin

_x sinn x

t

z

n xz sin

 

a ^x

1 3

3

c

n_x

n_zx n_xz n_z

a ^x

1 3

3

c

1

 h

_x

_zx

_xz

_z

z

z

Scheiben – Gleichgewicht

Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)

Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

• Beton homogen und isotrop, nimmt Druckspannungen ≤ f_c in beliebige Richtung auf aber keine Zugspannungen

• Bewehrung nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf, bis maximal zum Betrag f_s und ist so verteilt und verankert, dass mit äquivalenten Spannungen gerechnet werden kann

• Starrer Verbund zwischen Beton und Bewehrung In Membrankräften:

In äquivalenten Spannungen:

(Bewehrungsgehalte r_x  a_sx/h, r_z  a_sz/h)

 

xs sx sx

zs sz s

xc xc

zc

x x z z

z x

xc xzc

x z

xz xz

zs x

z zc

x

n n a

n n

n

n n

n n

n n

n h n h n h

a n

   

   

  

     





xc zc x

x sx z z

sz x

z

c xz

 

  







 r 



 r 

Spannungen im Beton

r_x_sx

r_z_sz

a

äussere

Beanspruchung

a a_F

a_F



1 

a ^x

1 3

3

c _x

_zx

_xz

_z

Scheibenelemente – Gleichgewicht

x, z: Richtungen der Bewehrung, Verhalten nicht isotrop (auch nicht für a_sx = a_sz)!

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

x sx x sx

z sz z sz

c c

c xc

zc x

xz zc

z

x

r  r 

r  r 

 a

 a



   



  





 a

 



 

a

3 Gleichgewicht («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»)

Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

Darstellung mit Mohrschen Kreisen (bei orthogonaler Bewehrung einfach, da _xzs  0):

a: Hauptdruckrichtung im Beton

Tresca

- Hauptspannungsebene: Sechseck

- Raum: zwei elliptische Kegel und verbindender elliptischer Zylinder v. Mises

- Hauptspannungsebene: dem Tresca-Sechseck umschriebene Ellipse - Raum: Der Fliessbedingung von Tresca umschriebenes Ellipsoid

Scheibenelemente– Fliessbedingungen

Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für ebenen Spannungszustand

(für Stahlbeton nicht geeignet, auch nicht bei «isotroper Bewehrung»!)

1 3 1 3

( , , ) _s 0

Max      f 

2 2 2 2

3 0

x  x z  z  xz  fs 

    

Tresca von Mises

x

3

1

x

xz

zx

z

z

fs

 f_s

fs

 fs

1

fs f_s

s 2 f

xz

Tresca fs

fs

x

z

3

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung (1) Beton allein

 Aplastischer Bereich Y_c< 0, begrenzt durch Fliessgrenze

Y_c= 0 (besteht aus zwei Parabeln)

 Plastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz, allgemein

)

2 , 2 2

2 , 2 2

2 2 0

2

m c

c c yc c

c

m c

c c yc c

c c

c yc c

c

m c c c

c c

N

h h

N bf M N

bf N

h h

N bf M N

bf N

Y M N h

bf

N Y N

h

bf Y

 

  

         

 

  

          

 

     

 

  

   

 

Druckzone oben:

Druckzone unten:

Fliessfunktion:

Fliessgesetz:

Myc



  gradY



h/2 1 O E

Ec   fc

A  D B

C

c

c

As

b

h

As

xN y z

m 2 _c

h N

bf



fc

c 2

bh f

c 0 Y 

c 0 Y 



m

bhfc



2 _c 8

bh f

2 _c 8

bh f

N M

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, A_s  A’_s (2) Bewehrung allein

 Aplastischer Bereich Y_s< 0 ist bei zwei Bewehrungslagen ein Parallelogramm (bei symmetrischer Bewehrung A_s = A’_s Rhombus), das durch die den beiden Bewehrungslagen entsprechenden Vektoren aufgespannt wird

 Kombination der beiden Bewehrungslagen grafisch durch geometrische Linearkombination (siehe Kombination von Beton und Bewehrung)

 Eckpunkte: beide Bewehrungen fliessen, Seiten: eine Bewehrung fliesst

 Plastische Verzerrungsinkremente sind orthogonal zur Fliessgrenze Y_s= 0, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz)

h/2 1

, 2

s s s s

A f A f h

 

 

 

, 2

s s s s

A f A f h

   

 

 

s s

A f h



2A f_{s s} 2A f_{s s}



s s

A f h

C O

fy

F  I G

H s

D Es  

B A

s

fy

J

E

M As

b

h

As

xN y z

m 2 _c

h N

bf



c 0

Y  

m

M

N

c 0 Y  fc

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt – starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, A_s  A’_s (3) Stahlbeton = Beton + Bewehrung

 Fliessfigur des Stahlbetons durch geometrische

Linearkombination der Fliessgrenzen Y_c= 0 und Y_s= 0

 Vorgehen: Fliessgrenze (Y_c= 0) rein translatorisch mit ihrem Ursprung entlang Fliessgrenze (Y_s= 0) bewegen

(oder umgekehrt Y_s= 0 entlang Y_c= 0)

 Resultierender Bereich Y< 0 entspricht dem aplastischen Bereich des Stahlbetonquerschnitts, mindestens schwach konvex,

Fliessgesetz (Orthogonalität der plastischen

Verzerrungsinkremente bezüglich Fliessgrenze) gilt weiterhin

 Entlang gerader Stücke der Fliessgrenze bleibt eine Bewehrung elastisch (starr)

 Vorgehen auf beliebige Bauteile und Beanspruchungen übertragbar

1h/2

1h/2



m

D

C Y 0 M

N C

O A

H G

F E

sz sz

a f

sz sz

a f nxs

n

sx sx

a f a f_{sx sx} nxzs

s s s

f  f

    ^{h fc 2}

  

2

xzc c xc c zc

n  hf n hf n

2

xzc xc zc

n n n nxzc

hfc

nxc

hfc

nzc

c c 0

   f

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben («Stahlbeton = Beton + Bewehrung»):

Scheibendicke h

Beton und Stahl ideal plastisch, starrer Verbund Bezeichnungen f_c und f_y(Zug) resp. f_y’ (Druck) bei Bemessung ersetzen durch f_c k_c f_cd und f_y - f_y’  f_sd

Fliessbedingung Bewehrung: Fliessbedingung Beton:

(nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf) (homogen, isotrop, mit f_ct= 0)

n_x

n_zx n_xz

n_z

a ^xc

xc z

xs sx s

zs sz sz x

z c

x xz

c c

x

xz

n n

n n a n

n n

a

n

n

n

 

 

 





 

x



1 3

3

c

const nxz  nz

nx

nxz

sz sz

a f

sz sz

a f nxs

sx sx

a f a f_{sx sx} nxzs

s s s

f  f

    ^{h fc 2}

nxzc

hfc

nxc

hfc

n

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben

Geometr. Linearkombination Beton + Bewehrung

n_x

n_zx n_xz

n_z

a ^xc

xc z

xs sx s

zs sz sz x

z c

x xz

c c

x

xz

n n

n n a n

n n

a

n

n

n

 

 

 





 

x



1 3

3

c

Vorgehen:

Fliessgrenze Y_c= 0 rein translatorisch mit ihrem Ursprung entlang der

Fliessgrenze Y_s= 0 bewegen

(oder umgekehrt Y_s= 0 entlang Y_c= 0)

1

2

5 4

7

const nxz 

nz

nxz

nx

nz

nx

nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton

Linearkombination der Fliessbedingungen, d.h. verschieben der Fliessbedingung des Betons (Ursprung) entlang der Fliessbedingung der Bewehrung

«Stahlbeton = Stahl + Beton»

 

2 1

2 2

2 3

2 2 4

2 5

2 6

7

( )( ) 0

( )( ) 0

( )( ) 0

2 0

( )( ) 0

( )( ) 0

xz sx sx x sz sz z

xz c sz sz z sz sz z

xz sx sx x c sx sx x

xz c

xz sx sx x c sx sx x

xz c sz sz z sz sz z

x

Y n a f n a f n

Y n hf a f n a f n

Y n a f n hf a f n

Y n h f

Y n a f n hf a f n

Y n hf a f n a f n

Y n

    

     

     

  

 

     

 

     



 ( hf

 a f

  n

)( hf

 a f

  n

)  0

NB: Bewehrungsflächen je Längeneinheit in x- und z-Richtung a_sx  A_sx s_x a_sz  A_sz s_z

1

2

5 4

7

const nxz 

nz

nxz

nx

nz

nx

nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton Y₁: Beide Bewehrungen fliessen auf Zug

(_sx  f_sx, _sz  f_sz, 0 ≥ _c3 ≥ -f_c)

Y₂: z-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht (_sz  f_sz, _c3  -f_c, -f’_sx ≤ _sx ≤ f_sx) Y₃: x-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht

(_sx  f_sx, _c3  -f_c, -f’_sz ≤ _sz ≤ f_sz) Y₄: Beton bricht

(_c3  -f_c, -f’_sx ≤ _sx ≤ f_sx, -f’_sz ≤ _sz ≤ f_sz)

Y₅: x-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht (_sx  -f’_sx, _c3  -f_c, -f’_sz ≤ _sz ≤ f_sz)

Y₆: z-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht (_sz  -f’_sz, _c3  -f_c, -f’_sx ≤ _sx ≤ f_sx)

Y₇: Beide Bewehrungen fliessen auf Druck, Beton bricht (_sx  -f’_sx , _sz  -f’_sz, _c3  -f_c)

(mittlere Betonhauptspannung ebenfalls negativ)

NB: Bruchart: sehr duktil / duktil (ausser bei sehr flachen Druckfeldneigungen) / spröd

a 3 1

X

Z Q



 2

2 2a

xz

2

z x

   Verzerrungsinkremente und Hauptdruckrichtung

Verzerrungsinkremente sind proportional zu den Komponenten der äusseren Normalen auf die Fliessfläche (Gradient) im jeweiligen Punkt der Fliessfigur ( ≥ 0: beliebiger Faktor):

Neigung α der Hauptdruckrichtung 3 bez. x-Achse folgt mit Mohrschem Kreis aus plastischen Dehnungsinkrementen (Hauptverzerrungsrichtung = Hauptdruckspannungsrichtung Beton):

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

, ,

x z xz

x z xz

Y Y Y

n n n

  

        

  

2 2

2

cos(2 ) 1 cos (2 ) sin (2 )

cot 2 cot cot(2 )

sin(2 ) sin (2 )

z x

xz

   a  a  a

a  a   a 

 mit a a ₁ ²

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

: cot ( ) ( )

:cot ( ) ( )

:cot ( ) ( )

:cot 1

:cot ( ) ( )

:cot ( ) ( )

:cot (

sx sx x sz sz z

c sz sz z sz sz z

sx sx x c sx sx x

sx sx x c sx sx x

c sz sz z sz sz z

Y a f n a f n

Y hf a f n a f n

Y a f n hf a f n

Y

Y a f n hf a f n

Y hf a f n a f n

Y hf

a   

a    

a    

a 

 

a     

 

a     

a   _c a f_{sx sx}  n_x) (hf_c a f_{sz sz} n_z)

2

cot ^{z x z x} 1

xz xz

 

     

a       

a a

const nxz 

hfc

sz sz z

a f n nxz

cota 0.5 cota 2.0

hfc a f_{sx sx} n_x nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Bemessung der Bewehrung

Bemessungspraxis: in der Regel Regime 1 (duktile Bruchart; Fliessen der beiden Bewehrungen vor Betonbruch, Beton bleibt intakt).

Fliessbedingung für Regime 1 in Parameterform ( direkte Bemessung):

Bedingung, damit Fliessregime 1 massgebend wird (kein Betonbruch):

NB:

 Grösse von f_c siehe Stahlbeton III. Näherung gemäss SIA 262 : f_c= k_c f_cd (mit k_c= 0.55)

 Neigung des Betondruckfelds im Regime 1 folgt aus:

 Wert k  cota theoretisch frei wählbar, in Bemessungsnormen oft Bedingung 0.5 ≤ 𝑘 ≤ 2

 Verwendung von k  1, d.h. a  45°: «linearisierte Fliessbedingungen», in vielen FE-Programmen implementiert. Sichere Bemessung, aber nur eine von vielen Möglichkeiten (bei separater Grenzwertbildung für n_x, n_y, n_xy u.U. stark auf sicherer Seite)

2

1 _xz

(

)(

) 0

Y  n  a f  n a f  n  cot

k  a

1

sx sx x xz

sz sz z xz

a f n k n a f n k

n

 

 

 

c sx sx sz sz x z

hf  a f  a f  n  n

cot2a (a f_{sx sx} n_x) (a f_{sz sz} n_z)

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Stegdruckbruch (Regime 2)

Ist die Bedingung nicht eingehalten,

liegt eine Bruchart vor, bei welcher der Beton auf Druck versagt.

Praktisch relevant ist insbesondere bei Trägern das Regime 2, welches

in Fällen mit vorliegt.

 Bruchart: Fliessen der z-Bewehrung mit gleichzeitigem Betondruckbruch heisst Stegdruckbruch («web crushing»)

 Schubwiderstand des Scheibenelements lässt sich als Viertelkreisbogen darstellen

 Begrenzungen für cota entsprechen im Diagramm Geraden

NB: Darstellung rechts = Projektion der Fliessfigur in die Ebene (n_z, n_xz), um Betrag a_sz f_yz verschoben

(n_x= verallgemeinerte Reaktion)

a

a

 

c sx sx sz sz x z

hf  a f  a f  n  n

sx sx x sz sz z

a f  n  a f  n

Regime 2 Regime 4

c

2 hf

n

sz sz z

a f n

c

2 hf

cota  0.5 cota 2.0

nz

nxz

nx

Projizierter Schnitt

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Schiefe Bewehrung

Bei schiefwinkliger Bewehrung wird die Ermittlung der Fliessbedingungen mathematisch deutlich komplizierter. Für Regime 1 erhält man z.B. die Fliessbedingung:

sin cos cot 2 cos

sin

cot

x y xy

y

xy y





 

          

  



       

 







1

0 0

sin cos cos sin 0

xy n sn x sx n sn x n sn y

Y f f f f

 

   r    r  r    r    

Mit auf schiefwinklige Koordinaten transformierten Beanspruchungen folgen daraus die Beziehungen für die Bemessung der Bewehrung in Regime 1, mit:

und für die Kontrolle der Betondruckspannung

  



1 1

sin sin

x

f

k

f

k

r     r    

 

cos sin cot k     

1

, x 









, n  y

1







3

1 2 cos

c

sin 

k k

 f

           

(siehe Dissertation Seelhofer, 2009)

k

k sk

r 

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Schiefe Bewehrung

(aus Dissertation Seelhofer, 2009)

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Schiefe Bewehrung

 zwei schiefwinklig angeordnete Bewehrungslagen:

ebene, parallelogrammförmige, gegenüber der _sx-_sy- Ebene geneigte Fliessfigur der Bewehrung.

 drei Bewehrungslagen: Parallelepiped

 Beliebige Beanspruchung ohne Beton

 Fliessfigur Stahlbeton-Scheibenelement resultiert aus Verschiebung der Fliessfigur des Betons mit ihrem Ursprung auf der Fliessgrenze der Bewehrung (geometrische Linearkombination)

Alternativ können n schiefwinklige Bewehrungen auf das orthogonale x-z-Koordinatensystem transformiert und daraus eine äquivalente orthogonale Ersatzbewehrung ermittelt werden. Für diese können sodann die

Fliessbedingungen orthogonaler Bewehrung verwendet werden, wobei die Beanspruchung in die Richtung der orthogonalen Ersatzbewehrung zu transformieren sind.

 

2 2

1,2

2 1

1

4

cos cos

2 2

1 2

sin tan

2 sin cos

sx sy sxy

sx z

sx si i s si i

i i

sxy

sy si i s

i sx sz

sxy si i i



    

  

        

  

         

    

 





sx

sy

sxy

x

y



fc

sin2 n fsn

r 

sin2 n fsn

r 

C

A B

2r_n f_sn cos2  2r_x f_sx

cos2 x fsx n fsn

r  r 

fc ^y



x

 0

  ^E

xy ₂

1

4

5

6 D 7

3

(aus Dissertation Seelhofer, 2009)

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

x sx x

c

f f

r   1.5 0

z sz z

c

f f r  

1.5 0 0.75

xz

fc



0.50

 ^{2 3}

x sx x

c

f f r  



2.5

 ^{2 3} 0

z sz z

c

f f r  

 2.5

0 1.2

 fc^{xz2 3}



 0.85

 ^{2 3}

x sx x

c

f f r  



2.5

 ^{2 3} 0

z sz z

c

f f r  

 2.5 0 1.2

 fc^{xz' 2 3}

 0.85

 ^{x sx}c^{' 2 3x}

f f

r   1.5

0

 ^{z sz}c^{' 2 3z}

f f r  

2.5

szr fsz

 

szr ftz

 

sxr ftx

 

sxr fsx

 

x sx x

c

f f

r   1.5

0

cot 2.0

z sz z

c

f f r  

1.5

cot 0.5 4

2 3

1

 ^{x sx}c^{' 2 3x}

f f

r   2.5

0

z sz z

c

f f r  

sxr fsx

  2.5

szr fsz

  3 4

1 2

Grenze Regime 1: Beton bricht, stärkere Bewehrung an Fliessgrenze  ₁bestimmbar

Konstante Betondruckfestigkeit (f_c unabhängig von ₁)

«Genaue» Berechnung mit CMM, Ansatz [MPa]:

Näherung mit gleichem Ansatz, siehe nächste Folie

2/3

1

( ) 0.4 30

c c c

k f f

   

Betondruckfestigkeit

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Betondruckfestigkeit

Die Fliessfigur kann unter Berücksichtigung der Abhängigkeit der Betondruckfestigkeit vom Verzerrungszustand modifiziert werden.

 Bereich Regime 1 reduziert (betroffen: Zonen mit sehr flachen / steilen Neigungen)

 Berechnung mit gerissenem Scheibenmodell (CMM, mittlere Reihe) ist aufwändig

 Näherungslösung (untere Abbildungen):

2/3

1 2

1

2/3

2 2

2

2/3

2 2

3

( ) 0.4 30

: ( )( )

( )

25 29

: ( ) 2.0

3 ( ) 12

( )

25 29

: ( ) 2.0

3 ( ) 12

c c c

xz x sx x z sz z

c

xz z sz z

z sz z

c

xz x sdx x

x sx x

k f f

Y f f

Y f f

f

Y f f

f

 

 

  r   r  

  

 

  r     r    

 

  r     r   

mit dem Ansatz (1998)

(unverän :

dert)

2

2 2/3

4

: 25( )

xz 29 c

Y f

 

 

 

  

   

 

x sx x

c

f f r  1.5 0

z sz z

c

f f r  

1.5 0 0.75

xz

fc



0.50

x sx x

c

f f

r   1.5 0

cot 2.0

z sz z

c

f f r  

1.5

cot 0.5 4

2 3

1

 ^{2 3}

x sx x

c

f f r  

 2.5

 ^{2 3} 0

z sz z

c

f f r  

 2.5 0 1.2

 fc^{xz2 3}



 0.85

 ^{2 3}

x sx x

c

f f r  

 0 2.5

 ^{2 3}

z sz z

c

f f r  

 2.5

szr fsz

 

szr ftz

 

sxr ftx

 

sxr fsx

 

 ^{2 3}

xfsx x

f r  

 2.5

 ^{2 3} 0

z sz z

c

f f r  

 2.5 0 1.2

 fc^{xz2 3}



 0.85

x fsx x

r   2.5

0

z sz z

c

f f r  

sxr fsx

  2.5

szr fsz

  3 4

1 2

Grenze Regime 1: Beton bricht, stärkere Bewehrung an Fliessgrenze  ₁bestimmbar