2 Scheiben und Träger

(1)

Die Anwendung der statischen und der kinematischen Methode der Plastizitätstheorie erlaubt die Eingrenzung der Traglast eines Tragwerks. Dabei wird implizit von einem ausreichenden Verformungs- vermögen ausgegangen, da die Traglast unter der Annahme eines ideal plastischen Verhaltens ermittelt wird. Aufgrund der effektiv begrenzten Duktilität von Stahlbeton stellt sich insbesondere bei der An- wendung der statischen Methode der Plastizitätstheorie die Frage, ob sich ein der Bemessung zugrunde gelegter Gleichgewichtszustand tatsächlich einstellen und ein vorzeitiges Versagen ausgeschlossen werden kann.

Für diese Fragestellung lassen sich grundsätzlich kaum eindeutige Lösungen finden. Ein Grundproblem besteht darin, dass die wirkliche Belastungs- und Zwängungsgeschichte eines Tragwerks nicht hin- reichend bekannt ist; üblicherweise wird stillschweigend angenommen, dass der initiale (lastfreie) Zustand frei von Spannungen und Verformungen ist. Tatsächlich liegen in jedem Fall aber mehr oder minder beträchtliche initiale Spannungen und Verformungen infolge vorangegangener Belastungen und Zwängungen vor. Ein weiteres Problem ergibt sich aus dem Umstand, dass für die Berechnung von Verformungen eine Vielzahl von Material- und Systemkennwerten benötigt werden, die oft entweder un- genügend bekannt sind oder grossen Streuungen unterliegen.

2 Scheiben und Träger

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2.3 Verformungsvermögen

(2)

2 Wiederholung aus Stahlbeton I, Biegung: Gemäss der Norm SIA 262 dürfen Schnittgrössen von Trägern ohne Nachweis des Verformungsvermögens umgelagert werden, sofern die Druckzonenhöhe auf x/d d 0.35 begrenzt wird; Druckzonenhöhen mitx/d> 0.5 sind zu vermeiden. Auszug aus der Norm:

4.1.4.2.4 Ein duktiles Verhalten ist durch konstruktive Massnahmen (z.B. Verbügelung der Biege- druckzone), die Wahl der Baustoffe und das Einlegen einer Mindestbewehrung sicherzustellen.

4.1.4.2.5 Schnittgrössen statisch unbestimmter, vorwiegend auf Biegung beanspruchter Bauteile, die nach Ziffer 4.1.4.1 (elastisch) ermittelt wurden, können unter Einhaltung der Gleichgewichts- bedingungen und unter Beachtung von Ziffer 4.1.4.2.4 ohne rechnerischen Nachweis des Verformungsvermögens umgelagert werden, wenn:

- die bezogene Druckzonenhöhe den Wert xld = 0.35·435/f_sdnicht überschreitet - bei Flachdecken die Plattenrotation \gemäss Gleichung (59) grösser als 0,020 ist - Betonstahl der Klassen B oder C und Beton der Klassen dC50/60 verwendet wird.

Für die Ermittlung der Druckzonenhöhex gelten die Idealisierungen gemäss Ziffer 4.2.1; eine allenfalls vorhandene Druckbewehrung darf in Rechnung gestellt werden.

4.1.4.2.6 Falls die Bedingungen der Ziffer 4.1.4.2.5 nicht eingehalten werden, ist ein rechnerischer Nachweis des plastischen Verformungsvermögens zu erbringen. Sowohl Werte x/d >

0.5·435/f_sd in Biegedruckzonen als auch \ < 0,008 in Flachdecken sind wenn möglich zu vermeiden.

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

s sd

A f d h

Hsm 2 0.003 Hc d

F

0 0 0.35 .5

x d

2

0.85 0.35 0.298 0.298

( 0.65 / 0.35 5.6‰

somit / ) 0.85 0.50 0.425

0.425

( 0.5 / 0.5 3.0‰

somit ^sm _sr _sd^{c d}/ )

sm c d

s

r sd s

d

E d

f d

f E d

d

o Z d H

d

o Z d

H H

!

H₂₂ | 0.85x

Zd

Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• x/d ≤ 0.35: Schnittgrössenumlagerungen ohneNachweis des Verformungsvermögens

2 2

/ 0.35 0.298 _Rd _cd (1 2) 0.253 _cd

x dd o Z d oM dbd f Z Z bd f

(3)

Ergänzende Bemerkung:

- Die für die Einhaltung der Bedingung x/dnötige minimale Trägerhöhe kann aus den angegebenen Be- ziehungen fürM_Rdermittelt werden.

- Mit einer Umschnürungs- oder einer Druckbewehrung kann die Druckzonenhöhe verringert und damit das Verformungsvermögen erhöht werden.

- Wird eine Druckbewehrung vorgesehen, ist der Betonierbarkeit besondere Aufmerksamkeit zu schenken (mehrere Lagen Druckbewehrung erschweren das Einbringen und Verdichten des Betons);

wenn der Beton nicht einwandfrei verdichtet werden kann, ist eine Druckbewehrung kontraproduktiv.

Sind mehrere Lagen Druckbewehrung erforderlich, ist es günstig, die Stäbe in Vertikalebenen auszurichten (so dass dazwischen Platz für Vibriernadeln bleibt).

- Als Druckbewehrung kommt auch Bewehrung der Festigkeitsklasse B700B in Frage, insbesondere wenn die Platzverhältnisse knapp sind.

s sd

A f d h

Hsm 2 0.003 Hc d

0 0 0.35 .5

x d

x d ²

2

0.85 0.35 0.298 0.298

( 0.65 / 0.35 5.6‰

somit / ) 0.85 0.50 0.425

0.425

( 0.5 / 0.5 3.0‰

som

^sm it _sr _sd^{c d}/ )

sm c d

s

r sd s

d

E d

f d

f E d

d

o Z d H

d

o Z d

H H

!

H₂₂ | 0.85x

Zd

F

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mitNachweis des Verformungsvermögens

2 2

/ 0.50 0.425 _Rd _cd (1 2) 0.335 _cd

(4)

4

s sd

A f d h

Hsm 2 0.003 Hc d

F

0.50 x! d

• x/d > 0.50: ist zu vermeiden

0.85x Zd

(5)

d h

F

0.50 x! d

• x/d ≤ 0.35: Schnittgrössenumlagerungen ohneNachweis des Verformungsvermögens

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mitNachweis des Verformungsvermögens

• x/d > 0.50: ist zu vermeiden

2 2

/ 0.35 0.298 _Rd _cd (1 2) 0.253 _cd

2 2

/ 0.50 0.425 _Rd _cd (1 2) 0.335 _cd

x dd o Z d oM dbd f Z Z bd f F

0 0 0.35 .5

x d

0 0 0.35 .5

x d

F

(6)

Wie bereits angemerkt, ist der Nachweis des plastischen Verformungsvermögens nur näherungsweise möglich, und selbst dazu sind relativ aufwändige Untersuchungen erforderlich.

Ein mögliches Vorgehen wird auf den folgenden Folien erläutert.

6

d h

F

0.50 x! d

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mitNachweis des Verformungsvermögens F

0.35 xd d

0.50 xd d

F

?

(7)

Wiederholung aus Baustatik: Bei der Ermittlung der Traglast statisch unbestimmter, ideal plastischer Systeme geht man in der Regel von einem initial Eigenspannungsfreien Zustand aus und nimmt an, dass sich das Tragwerk zunächst elastisch verhält. Sobald in einem Querschnitt der Biegewiderstand erreicht wird, bildet sich dort ein plastisches Gelenk, und für die weitere Belastung bleibt das Moment im plastischen Gelenk konstant. Mit jedem plastischen Gelenk wird der Grad der statischen Unbestimmtheit reduziert, bis ein statisch bestimmtes System vorliegt. Bildet sich ein weiteres plastisches Gelenk, ist die Traglast erreicht, und der Kollapsmechanismus stellt sich ein.

Der Verformungsbedarf (Rotationsbedarf) kann ermittelt werden, indem die plastischen Rotationen in den plastischen Gelenken (ab dem Moment, in dem im entsprechenden Querschnitt der Biegewiderstand erreicht wurde) ermittelt werden.

Für den Nachweis eines ausreichenden plastischen Verformungsvermögens ist der Verformungsbedarf demVerformungsvermögen(Rotationsvermögen, resp. «rotation capacity») gegenüberzustellen.

Systemverhalten (siehe auch [1], p. 2-32ff)

Kontinuierliche Steigerung der Last q:

o Fliessbeginn zuerst bei der Einspannung, erstes plastisches Gelenk an dieser Stelle

o Einfach statisch unbestimmtes System wird (für die Zusatzbelastung) zu einfachem Balken

Weitere Laststeigerung möglich, bis sich im Feld ein zweites plastisches Gelenk bildet (= Mechanismus):

o Plastische Rotation bei der Einspannstelle erforderlich o Rotationsbedarfabhängig vom statischen System

und der Belastungskonfiguration

o Rotationsvermögenbegrenzt durch Stahldehnungen und Betonstauchungen

Nachweis = Vergleich:

Verformungsvermögen4_pulVerformungsbedarf 4pu,req

1

2

q

'

Mu

V

M

.

(8)

8 Eine getrennte Behandlung des Verformungsvermögens und des Verformungsbedarfs ist im Allgemeinen nicht möglich, da die erreichbaren plastischen Gelenkwinkel bei statisch unbestimmten Systemen von den Verformungen des Systems, respektive von den Schnittgrössenumlagerungen, abhängig sind. Für moderate Schnittgrössenumlagerungen kann diese Wechselwirkung aber näherungsweise vernachlässigt werden.

Nachfolgend wird entsprechend das Verformungsvermögen unabhängig vom Verformungsbedarf untersucht. Dazu wird bei der Ermittlung des Verformungsbedarfs vorausgesetzt, dass sich das plastische Gelenk ideal plastisch verhält (keine Verfestigung). Dies steht grundsätzlich im Widerspruch zur bei der Ermittlung des Verformungsvermögens angesetzten bilinearen Stoffbeziehung (mit Verfestigung) der Bewehrung, ist jedoch in Anbetracht der getrennten Betrachtung von Verformungsvermögen und –bedarf zulässig und vereinfacht die Berechnungen stark. Um zuverlässige Resultate zu erhalten, ist grundsätzlich der Einfluss der Rissbildung bei der Ermittlung der Beanspruchungen zu berücksichtigen. Das Verhalten ist damit bereits vor der Bildung des ersten plastischen Gelenks nichtlinear. Näherungsweise kann von einem (über die ganze Trägerlänge) gerissen-elastischen Verhalten (Zustand II) und damit einer in erster Näherung konstanten Biegesteifigkeit ausgegangen werden. Dies ist insbesondere deshalb zulässig, da sich die Rissbildung nach dem Auftreten von plastischen Verformungen kaum mehr auf die Schnittgrössenumlagerung auswirkt.

Obwohl mit der Entkopplung des Verformungsvermögens vom Verformungsbedarf und den getroffenen Annahmen die tatsächlichen Gegebenheiten stark vereinfacht werden, lassen sich doch brauchbare Näherungen finden; dies zumindest für übliche Trägerabmessungen und Bewehrungsanordnungen.

Rotationsbedarf4_pu,req(Näherung, Beispiel Zweifeldträger)

Allgemein sind Verformungsvermögen und Verformungsbedarf gekoppelt.

Nur für moderate Umlagerungen kann die Wechselwirkung vernachlässigt werden.

Zusätzliche Vereinfachungen:

• Biegesteifigkeit konstant

• M-4starr-ideal plastisch (keine Verfestigung im plastischen Gelenk) Damit entspricht der Rotationsbedarf 4_pu,reqdes Gelenks beim

Zwischenauflager dem Auflagerdrehwinkel der beiden Trägerhälften, die nach dem Erreichen von May(bei q= qy) als einfache Balken betrachtet werden können:

(Zweifeldträger, erstes plastisches Gelenk beim Zwischenauflager, Verformungsbedarf für Vollast)

³

, 12

y pu req

q q l EI 4

M EI h 1 Fh

Ma

May k 0

4ap

q

q g

h

l l

May

Schlusslinie

g q

M Mg

Mby

(9)

Die Untersuchung des Verformungsvermögens wird am Beispiel des in der Abbildung gezeigten Zweifeld- trägers illustriert.

In einem ersten Schritt wird die elastische Schnittkraftverteilung des Systems ermittelt (einfach statisch unbestimmter Träger, Kraftmethode). Dabei kann der Einfluss der Rissbildung auf die Steifigkeiten (hier insbesondere positive / negative Biegesteifigkeit) berücksichtigt werden. Wie in der Stabstatik üblich, werden die (untergeordneten) Verformungen infolge Querkraft nicht berücksichtigt.

Rotationsbedarf –Beispiel Zweifeldträger

d d d 100

q g q kN m

As

'

As

16.00

L L 16.00

A B C

MRd

MBd

GS + ÜG

B 1 M

Moment über Zwischenauflager

2

8 q Ld

M0

1

M1

0.6 0.2 0.20.8 1.2

s 8 26 A

' 8 26

As 8 530 0.435 1848 kN 1848 kNm

s sd

Rd s sd

A f M ^r z A f

|

2 3

0 1

0 2 1 1

0 1

2 2

0 1

2

2 8 3 12

2 ( 1) ( 1) 2

3 0

8 3

8 8

d d

B

B B B B

d B

d r

B d

B

EI EI

M M q L L q L

EI EI EI

M L L

EI EI

M q L

EI E

EI M

q L q L

I

§ ·

4 ¨© ¸¹

4

4 4 4

o 4 D d

4

³

(i.d.R.) Da meist ist (Rissbildung begi Kraftmeth

nnt übe ode

r B)

o

findet ein Teil der Schnittkraftumlagerungen bereits vor Fliessbeginn statt (dadurch wird der plastische Rotationsbedarf reduziert günstig!)

(10)

10 Die Berechnung erfolgt mit der Biegesteifigkeit im Zustand II (gerissen elastisch). Diese liegt bei etwas mehr als 22% der ungerissenen Biegesteifigkeit.

EI^II(gerissen)

d d d 100

q g q kN m

'

As

16.00

L L 16.00 0.6

0.2 0.20.8 1.2

s 8 26 A

' 8 26

As 8 530 0.435 1848 kN 1848 kNm

s sd

Rd s sd

A f M ^r z A f

|

² ² ² ²

0.9

3 ,

3 0.9 0.9 4240 205'000 1 780 MNm ( 3502 MNm )

s

s s s II

II I

s s s s i

z z

x M

M A E d

d x EI

EI M A E d x d x A E z EI

| |

§ · H H ¨© ¸¹ F

o |

F

0 9

3 0 9

|

s Es s

V H

x/3 x

M

Hs

Hc

d F

hd b

As

c Ec c

V H x

(hier vereinfachend ε_sm= ε_srangenommen, mit ε_sm< ε_srresultiert ein kleinerer Rotationsbedarf)

As

A B C

(11)

Der Rotationsbedarf entspricht der Relativverdrehung im plastischen Gelenk ab dem Erreichen des Biegewiderstands.

Da das System (aufgrund der Annahme, dass das plastische Gelenk keine Verfestigung aufweist) ab diesem Zeitpunkt als zwei Einfeldträger wirkt, kann diese Relativverdrehung sehr einfach aus den Endver- drehungen der beiden Einfeldträger unter der Zusatzbelastung, welche nach dem Erreichen des Biegewiderstands aufgebracht wird, ermittelt werden.

qdy

A B C

B 0 4

d dy

q q

A B

, 0

B req B qd qdy

4 4

Fliessbeginn

2

-1

1 -1

-1

3 3 ,

2 2 3

8 1 8 1848

8 256

1 57.8 kNm

100 1 57.8 42.2 kNm ( 1.0)

27.8 kNm ( 0.8)

42.2 16 k 12

18.5 mrad ( 1) 12.2 mrad (

Nm 12 78

0.8 0 10 kN

) m

B req d d

d Rd

r

y

r

Rd dy

r r

r

d dy r

r

q q L

q L M

M q

L

q q kNm

EI

4

D o

D D

D

o D

D

D D Nach Erreichen von :

zwei Einfeldträger für Zusatzbelastung mit entsprechender Relativverdrehung der Trägerenden über B (siehe GS+ÜG in Folie 9)

MRd

d dy

q q

C

, B req

4

elastisch (gerissen)Umlagerung = plastisch

(12)

12 Das Verformungsvermögen (Rotationsvermögen) eines Trägers ist durch folgende Versagensarten begrenzt:

- Stauchung der Biegedruckzone (Betonbruch) - Reissen der Bewehrung (Stahlbruch).

Massgebend ist diejenige Versagensart, welche zuerst (bei kleinerer Rotation) auftritt.

Das Diagramm illustriert eindrücklich, dass bei Verwendung einer Bewehrung mit niedriger Duktilität (B500A) ein sehr kleines Rotationsvermögen besteht. Auch mit Betonstahl B500B ist in vielen Fällen (etwa fürx/d <0.17) das Reissen der Bewehrung massgebend.

28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III

12

Rotationsvermögen 4_puallgemein

Beispiel: Plastischer Gelenkwinkel in Funktion von Z(Duktilitätsklassen A-C, 1999)

Betonbruch (Biegedruckzone)

Reissen der Bewehrung

|B500B

B500C (Reissen der Bewehrung zmassg.)

|B500A

[rad]

4pu

Z [-]

(13)

In erster Näherung kann das Rotationsvermögen abgeschätzt werden, indem einerseits eine Annahme über die Länge des plastischen Gelenks getroffen und andererseits die plastische Krümmung bei der massgebenden Versagensart (Betonbruch resp. Reissen der Bewehrung) anhand einer Querschnitts- analyse ermittelt wird.

Das Rotationsvermögen (plastische Rotation in [rad]) resultiert sodann aus der Multiplikation der plastischen Krümmungen [1/m] mit der Länge des plastischen Gelenks [m].

Die plastische Krümmung entspricht der Bruchkrümmung (beim Erreichen der Bruchstauchung des Betons, resp. der Bruchdehnung der Bewehrung), abzüglich der Krümmung bei Fliessbeginn der Bewehrung. Sie beinhaltet somit keine elastischen Verformungsanteile.

Massgebend für die Bruchkrümmung ist diejenige Versagensart, welche zuerst (bei kleinerer Rotation) auftritt. Bei der Versagensart «Reissen der Bewehrung» darf nicht die Bruchdehnung H_su der nackten Bewehrung verwendet werden, da die Duktilität durch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen («Tension Stiffening», zugversteifende Wirkung des Betons) stark reduziert wird.

Rotationsvermögen 4_puvereinfacht (siehe auch [1], p. 2-32ff) Beschränkung der plastischen Rotation

infolge Betonstahl (Reissen der Bewehrung):

Beschränkung der plastischen Rotation infolge Beton (Erreichen Bruchstauchung):

Plastische Gelenklänge, abhängig von Belastungskonfiguration und Geometrie: Bereich, in welchem die Gurtbewehrung fliesst (oGurtkraftverlauf i.A. aus Spannungsfeld ermitteln)

Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von

smu smy pus Lpl

d x d x

§ H H · 4 ¨© ¸¹

Hsmy

Lpl

Hsmu

2 smy

c d puc Lpl

x d x

§H H · 4 ¨© ¸¹

sr ud

H H V _sr f_t

s sr

s

f

H E V _sr f_s ^oZuggurtmodell (Stahlbeton I) Krümmung bei Fliessbeginn

Krümmung bei Betonbruch Krümmung bei Fliessbeginn Krümmung beim Reissen der Bewehrung

Rotation pro Riss:

Plastische Gelenkrotation = Summe der plastischen Rotationen aller Risse ab Fliessbeginn

sm rm i

s d x 4 |H

sr sm

H l H

(14)

Auf dieser und der folgenden Seite wird das Rotationsvermögen für das Beispiel (Folie 9 ff.) in erster Näherung abgeschätzt.

Dabei wird angenommen, dass für die Bewehrung eine mittlere Bruchdehnung von H_smu | 0.5·H_ud angesetzt werden darf, und dass die Länge des plastischen Gelenks der doppelten statischen Höhe entspricht,l_pl |2·d.

Diese Annahmen werden anschliessend mit einer genaueren Berechnung verifiziert. Es wird sich zeigen, dass sie für B500C relativ gut stimmen, für B500B jedoch nicht konservativ sind. Für Betonstahl der Duktilitätsklasse B müssten kleinere Werte für H_smu undl_pl gewählt werden, um auf der sicheren Seite zu sein (beispielsweisel_pl |1.5·dundH_smu|0.3·H_ud)

14

• C30/37:

f_cd= 20 MPa, f_ctm= 2.9 MPa

•

Rotation im Bruchzustand

Rotationsbedarf lRotationsvermögen vereinfacht –Beispiel Zweifeldträger

x 2.3 2

x

cu smy

puc pl

smy s s

pl smu smy

pus pl

L x d f E

L d

d x d x

L d x d

H ½

§H ·

4 §¨© H H ¸¹ ·°°¾° H |

4 ¨© ¸°¹¿

mit Krümmung bei Fliessbeginn mrad m, plastische Länge = ca.

0.60

0.2

0.2 0.8

' 4240 mm2

As

1.2

Hsm

dx x 1.1 m, ' 1848 kN

1848 181 mm 0.85 0.6 20

919 mm

s sd

d A f

x d x

|

o

(15)

Mit den getroffenen Annahmen (H_smu | 0.5·H_ud, l_pl | 2·d) kann der Nachweis des ausreichenden Verformungsvermögens erbracht werden (für B500B und B500C), d.h. das Rotationsvermögen ist grösser als der Rotationsbedarf.

Es stellt sich jedoch die Frage, ob die Annahmen gerechtfertigt sind. Dies wird auf den folgenden Seiten mittels einer genaueren Untersuchung überprüft:

- Mittlere Dehnung des Zuggurts beim Reissen der Bewehrung: Überprüfung mit Zuggurtmodell

- Länge des plastischen Gelenks (und Dehnungsverteilung über die Länge des plastischen Gelenks):

Überprüfung mit Spannungsfeldern

Rotationsbedarf lRotationsvermögen vereinfacht –Beispiel Zweifeldträger

Rotation im Bruchzustand Betonbruch

Stahlreissen

grobe Annahme: (geschätzte Abminderung der Bruchdehnung

infolge Zugversteifung –siehe hinten)

Damit wäre der Nachweis des Verformungsvermögens erbracht. Aber: Ist die Annahme von L_pl, H_smuin Ordnung?

,

0.003 mrad

2 1.10 0.0023 14.3 2.2 m 31.4 mrad

x 0.181 m

OK

cu smy

puc pl

puc B req

L x d

§H H · § ·

4 ¨© ¸¹| ¨© ¸¹ o 4 ! 4 o

,

0.0225 mrad

2 1.10 0.0023 22.2 2.2 m 48.8 mrad

0.919 m

x 2 1.10 0.0325 0.0023 33.1mrad 2.2 m 72.7 mrad

0.919 m

OK

smu smy

pus pl

pus B req

L d x d

§¨ ·¸ ½

° °

§ H H · ° © ¹ °

4 ¨© ¸¹ ° ®°¯ §¨© ·¸¹ ¾°°¿ o 4 ! 4 o

B500B B500C)

( )

( 22.5‰

0.5 32.5‰

smu ud

½

H | H ® ¾

¯ ¿

B500

( )

(B 0C) B 50

(16)

16 Wiederholung aus Stahlbeton I: Zuggurtmodell

- Die Steifigkeit und das Verformungsvermögen eines Zuggurts können mit demZuggurtmodell(Tension Chord Model) untersucht werden.

- Das Zuggurtmodell ist ein stark vereinfachtes, jedoch auf klaren mechanischen Grundlagen basierendes Modell zur Erfassung der zugversteifenden Wirkung des Betons zwischen den Rissen. Es basiert auf einer abgetreppten, starr-ideal plastischen Verbundspannungs-Schlupf-Beziehung, mit welcher das komplexe Verbundverhalten vereinfacht analysiert werden kann. Dabei wird die komplexe Kraftübertragung zwischen Beton und Bewehrung durch nominelle Schubspannungen erfasst, welche entlang des nominellen Stabumfangs als konstant verteilt wirkend vorausgesetzt werden.

Rotationsvermögen 4_pu«genauere Untersuchung» –Grundlagen

s sr

AV d h

Hsm

Hc

F

x ^0.85x_{= Zd}

Rissquerschnitt

G(V_s= f_sd) Betonstahl mit Verfestigung

(Vernachlässigung hier nicht sinnvoll:

Lokalisierung der plast.

Verformungen in einem Riss, praktisch kein Rotationsvermögen)

Zuggurtmodell inkl. Bereich plastischer Beanspruchung benötigt (siehe nächste Folie resp. gerissenes Scheibenmodell)

tk sk

f f

(17)

Wiederholung aus Stahlbeton I: Zuggurtmodell

- Mit dem Zuggurtmodell können die maximalen und minimalen Rissabstände, die Spannungen in der Bewehrung bei Rissbildung und bei darüber hinausgehender Belastung, Rissbreiten sowie über die Länge des Zugglieds gemittelte Dehnungen (welche für die Untersuchung des Verformungsvermögens massgebend sind) ermittelt werden.

- Die Rissabstände können nicht exakt bestimmt werden. Vielmehr besteht eine Unsicherheit (Faktor 2) selbst bei «idealen» Verhältnissen. Hinzu kommen diverse weitere Unsicherheiten (Streuung Betonzugfestigkeit, Verbund,…).

- Rechnerisch wird der Einfluss des Rissabstands im Zuggurtmodell mit dem Parameter O erfasst, welcher zwischen O = 0.5 (minimaler theoretischer Rissabstand) undO = 1 (maximaler theoretischer Rissabstand) liegt.

- Alle Verformungsberechnungen (auch mit komplexeren Modellen als dem Zuggurtmodell) sind daher

Betonspannung in Mitte des Elements mit Länge ݏ_௥଴ist ߪ_௖ൌ ݂_௖௧௠, d.h. dort könnte sich ein weiterer Riss bilden.

Somit ist der minimale Rissabstand:

ݏ_{௥ǡ௠௜௡}ൌ ݏ_௥଴Ȁʹ Allgemein mit Parameter O:

ݏ_௥ൌ ɉ ȉ ݏ_௥଴ ͳ ʹ൏ ɉ ൏ ͳ

o theoretische Grenzen der Rissabstände bei abgeschlossenem Rissbild!

NB: Bei Rissbildung stellt sich unter Last (theoretisch) schlagartig das abgeschlossene Rissbild ein.

Betrachtung eines Zuggurtes(Brutto-QS A_c), bewehrt mit Stab mit Durchmesser Ø ([1], Seite 3.5f)

Ͷɒ_௕଴

׎

׎ Ͷɒ௕଴ɏȀሺͳ െ ɏሻ

ݏ_௥଴Ȁʹ ݏ_௥଴Ȁʹ

݊ ȉ ݂_௖௧௠

݂_௖௧௠

N_r N_r

ɐ_௖

ɐ_௦

ɐ_௦௥଴

maximaler Rissabstand ݏ_௥଴

z x

ɐ_௖

ɐ_௦

(18)

- Die «mittleren Betondehnungen» (über Länge des Risselements gemittelter Wert = Verlängerung des Betons über das Risselement dividiert durch die Länge des Risselements) können durch einfache Integration der linear verlaufenden Betondehnungen ermittelt werden.

- Die relative Verschiebung des Rissufers, ausgehend von der Mitte des Risselements, entspricht dem Integral der Betondehnungen über des halbe Risselement.

ݏ_௥Ȁʹ ݏ_௥Ȁʹ

ɉ ȉ ݂_௖௧௠

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung ൐ ([1], Seite 3.5f )

ɐ_௖

N > N_r N > N_r

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant. Stahlspannungen steigen weiter.

Mittlere Betondehnung ߝ_௖௠ൌ^׬ ^ఌ^೎^ௗ௫

ೞೝ

బ

௦ೝ ൌ^׬

഑೎

ಶ೎ௗ௫ ೞೝ

బ

௦ೝ ൌ^ఒ௙^೎೟೘

ଶா೎

Verschiebung

ݑ_௖ ݔ ൌ න ߝ_௖ ݔ ݀ݔ

௫

଴

ൌ න ߪ_௖ ݔ ܧ_௖ ݀ݔ

௫

଴

ݑ_௖௥ൌ ݑ_௖ ݔ ൌݏ_௥ ʹ ݑ_௖௥

൅

െ

െݑ_௖௥

ݑ_௖

z x

(19)

- Die «mittleren Stahldehnungen» (über Länge des Risselements gemittelter Wert = Verlängerung des Betonstahls über das Risselement dividiert durch die Länge des Risselements) können durch einfache Integration der linear verlaufenden Stahldehnungen ermittelt werden.

- Die Verlängerung des Zugglieds (über Risselement gemittelt) entspricht der Verlängerung des Betonstahls, die «mittlere Dehnung» des Zugglieds somit der mittleren Stahldehnung.

- Man erkennt, dass die mittlere Dehnung des Zugglieds derjenigen der nackten Bewehrung, abzüglich eines konstanten Terms, entspricht.

ݏ_௥Ȁʹ ݏ_௥Ȁʹ

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung ൐([1], Seite 3.5f )

ɉɐ_௦௥଴

N > N_r N > N_r

Ͷɒ_௕଴

׎ ɐ_௦௥

ɐ_௦

ݑ_௦௥

൅

െ

െݑ_௦௥

ݑ_௦

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant.

Stahlspannungen steigen weiter.

Mittlere Stahldehnung ߝ_௦௠ൌ

׬ ߪ_௦ ܧ_௦݀ݔ

௦ೝ

଴

ݏ_௥ ൌߪ_௦௥

ܧ_௦ െͶ߬_௕଴

׎ ݏ_௥ Ͷܧ_௦ൌߪ_௦௥

ܧ_௦ െߣ݂_௖௧௠ ͳ െ ߩ

ʹߩܧ_௦

Verschiebung

ݑ_௦ ݔ ൌ න ߝ_௦ ݔ ݀ݔ

௫

଴

ൌ න ߪ_௦ݔ ܧ_௦ ݀ݔ

௫

଴

ݑ_௦௥ൌ ݑ_௦ ݔ ൌݏ_௥ ʹ ɉ݂݊_௖௧௠

z x

bei Rissbildung (N=N_r) nach Rissbildung (N>N_r) ଶத್బ

׎ ௦ೝ

ாೞൌ

஛௙_೎೟೘

ா_ೞ ଵିఘ

஡

(20)

- Die mittlere Dehnung des Zugglieds entspricht derjenigen der nackten Bewehrung abzüglich eines konstanten Terms'H.

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant.

Stahlspannungen steigen weiter.

Stahldehnung am Riss Mittlere Betondehnung ߝ_௦௥ൌ ߪ_௦௥Τܧ_௦ ߝ_௖௠ൌ ߣ݂_௖௧௠Τʹܧ_௖ Mittlere Stahldehnung

ߝ_௦௠ൌߪ_௦௥

ܧ_௦ െ߬_௕଴

׎ ݏ_௥ ܧ_௦ൌߪ_௦௥

ܧ_௦െߣ݂_௖௧௠ ͳ െ ɏ ʹߩܧ_௦

Rissbreiten: Differenz der mittleren Stahl- und Beton- Dehnungen, multipliziert mit s_r(O= 0.5...1):

ݓ_௥ൌ ݏ_௥ ߪ_௦௥

ܧ_௦െߣ݂_௖௧௠ ͳ െ ߩ

ʹߩܧ_௦ െߣ݂_௖௧௠

ʹܧ_௖ ൌߣݏ_௥଴ ʹߪ_௦௥െ ߣߪ_௦௥଴

ʹܧ_௦

ߪ_௦௥ൌ ܰ ܣΤ _௦ ݏ_௥଴

ʹܧ_௦ ߪ_௦௥െߪ_௦௥଴

Ͷ ൑ ݓ_௥൑ݏ_௥଴

ܧ_௦ ߪ_௦௥െߪ_௦௥଴

ʹ 'ε

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung N>N_r([1], Seite 3.5f )

N-H- und σ_sr-H-Diagramme: Reduktion der Dehnung des nackten Stahls um 'H

('Hbleibt bis Fliessbeginn konstant).

NB: gute Näherung für w_r(kleine U)

׎ ͶɏΤ ʹܧ_௦

ܰ ܣ_௦െ݂_௖௧௠

Ͷɏ ൑ ݓ_௥൑׎ ͶɏΤ ܧ_௦

ܰ ܣ_௦െ݂_௖௧௠

ʹɏ N

H N_r

f_ctm/E_c

1 E_sA_s

(21)

- Die Zugversteifung wirkt sich nachteilig auf die Duktilität aus. Um die Duktilität beurteilen zu können, muss eine Verfestigung des Betonstahls berücksichtigt werden. Vereinfachend wird hier ein bilineares Stoffgesetz verwendet, siehe Abbildung rechts.

- Nach dem Überschreiten der Fliessgrenze der Bewehrung nimmt die Verbundspannung gemäss Zuggurtmodell auf die Hälfte des Ausgangswerts ab. Da die Fliessgrenze zuerst in den Rissen erreicht wird, wachsen die Bereiche mit reduzierter Verbundspannung sukzessive von den Rissen aus in Richtung «Mitte zwischen zwei Rissen» (teilplastifiziertes Risselement: in Rissnähe fliesst die Bewehrung, dazwischen ist sie noch elastisch). Die Beziehungen für die mittleren Dehnungen in Funktion der Stahlspannung am Riss (und umgekehrt) sind in diesem Regime etwas komplizierter als für elastisches Verhalten.

- Ab einer bestimmten Beanspruchung fliesst die Bewehrung im ganzen Risselement (vollplastifiziertes Risselement). Die Beziehungen für die mittleren Dehnungen in Funktion der Stahlspannung am Riss

Verhalten nach Überschreiten der Fliessgrenze

ߣ݂_௖௧௠

ߣɐ_௦௥଴

ߪ_௦

ߪ_௦௥൐ ݂_௦ௗ ՜ ߬_௕ଵൌ ߬_௕ଵΤʹ

Ͷɒ௕଴

׎

׎ Ͷɒ௕଴ɏȀሺͳ െ ɏሻ ݏ_௥Ȁʹ ݏ_௥Ȁʹ

݊ߣ݂_௖௧௠

N

N z

x

݂_௦ௗ

Ͷɒ_௕ଵ

׎ ɐ௦ǡ௠௜௡ൌ ݂௦ௗെ^ଶத^್బ_׎^௦^ೝ೘

ɐ_௖

fs Vs

0 2

b fctm

W

1

b fctm

W

Regimes:

ɐ_௦௥൐ ݂_௦ௗ,ɐ_௦௠௜௡൏ ݂_௦ௗ

ɐ_௦௥൐ ݂_௦ௗ,ɐ_௦௠௜௡൒ ݂_௦ௗ

ɐ_௦௥ൌ ݂_௧(Bruch durch Reissen Bewehrung) ɐ_௦௥ൌ ݂_௦ௗ

Bewehrung in Rissnähe plastifiziert, dazwischen elastisch (N.B: bei kleiner Verfestigung Bruch in diesem Regime) Beziehung für ߝ_௦௠kompliziert (aber geschlossen lösbar)

Bewehrung fliesst im ganzen Risselement.

ߝ_௦௠analog wie im elastischen Bereich (ɒ௕ଵstatt ɒ௕଴, mit ɒ௕ଵൌ ɒ௕଴Ȁʹ):

ߝ_௦௠ൌ݂_௦ௗ

ܧ_௦൅ߪ_௦௥െ ݂_௦ௗ

ܧ_௦௛

nackter Stahl

െߣ݂_௖௧௠ͳ െ ߩ Ͷߩܧ_௦௛

̶୼ఌభ̶ୀ୼ఌଵ ଶ

ாೞ

ாೞ೓

ft

fs

Hsy H_uk

(22)

- Die Abbildung zeigt nochmals die gleichen Punkte wie die vorhergehende Folie, in etwas anderer Darstellung, für das teilplastifizierte Regime.

- Zusätzlich sind neben den Stahlspannungen auch die Stahldehnungen angegeben (in etwa massstäblich). Man erkennt, dass – obschon die Stahlspannungen weniger stark variieren – die Stahldehnungen im Bereich, wo die Bewehrung fliesst (Rissnähe) wesentlich stärker anwachsen und der grösste Teil der Verlängerung des Zugglieds durch diese Dehnungen hervorgerufen wird. Dies, da die Steifigkeit der Bewehrung nach Fliessbeginn drastisch abfällt (Verfestigungsmodul ist viel kleiner als Elastizitätsmodul).

Stoffbeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell mit bilinearer Kennlinie des Bewehrungsstahls):

൏

1( )

b s fs

W V !

0( )

b s fs

W V d Wb

1( _s f_s) G V

typischer Spannungspfad

fs

G

Vs

N N

srm

Vs

ft

fs

Es

Esh

1

Hs

Hsu

Hsy W^b

0

Wb 1

Wb

Vs

Vsr

Vsmin

Hs

Hm

Hsr

Vc

fct

O