2 Scheiben und Träger

2 Scheiben und Träger

2.3 Verformungsvermögen

Träger – Verformungsvermögen

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

s sd

A f

d h



0.003







0 0 0.35

.5

x d

x d





2

0.85 0.35 0.298 0.298

( 0.65 / 0.35 5.6‰

somit / )

0.85 0.50 0.425 0.425

( 0.5 / 0.5 3.0‰

somit / )

sm c d

sr sd

sm c d

s

s

r sd s

d

E

d

f d

f E d

  

  



  

  

   







  

0.85x

 d

Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• x/d ≤ 0.35: Schnittgrössenumlagerungen ohne Nachweis des Verformungsvermögens

2 2

/ 0.35 0.298

(1 2) 0.253

x d      M  bd f      bd f

Träger – Verformungsvermögen

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

s sd

A f

d h



0.003





0 0 0.35

.5

x d

x d





2

0.85 0.35 0.298 0.298

( 0.65 / 0.35 5.6‰

somit / )

0.85 0.50 0.425 0.425

( 0.5 / 0.5 3.0‰

som

it / )

sm c d

sr sd

sm c d

s

s

r sd s

d

E

d

f d

f E d

  

  



  

  

   







  

0.85x

 d



Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mit Nachweis des Verformungsvermögens

2 2

/ 0.50 0.425

(1 2) 0.335

x d      M  bd f      bd f

Träger – Verformungsvermögen

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

s sd

A f

d h



0.003







0.50 x  d

Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• x/d > 0.50: ist zu vermeiden

0.85x

 d

Träger – Verformungsvermögen

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

d h



0.50 x  d

Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• x/d ≤ 0.35: Schnittgrössenumlagerungen ohne Nachweis des Verformungsvermögens

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mit Nachweis des Verformungsvermögens

• x/d > 0.50: ist zu vermeiden

2 2

/ 0.35 0.298

(1 2) 0.253

x d      M  bd f      bd f

2 2

/ 0.50 0.425

(1 2) 0.335

x d      M  bd f      bd f



0 0 0.35

.5

x d

x d



 0 0

0.35 .5

x d

x d







Träger – Verformungsvermögen

Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 262

d h



0.50 x  d

Maximaler Bewehrungsgehalt und Biegewiderstand nach SIA 262, Ziffer 4.1.4.2:

(für vorwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile)

• 0.35 ≤ x/d ≤ 0.5: Schnittgrössenumlagerungen mit Nachweis des Verformungsvermögens



0.35 x  d

0.50 x  d



?

Träger – Verformungsvermögen

Systemverhalten

(siehe auch [1], p. 2-32ff)

Kontinuierliche Steigerung der Last q:

 Fliessbeginn zuerst bei der Einspannung, erstes plastisches Gelenk an dieser Stelle

 Einfach statisch unbestimmtes System wird (für die Zusatzbelastung) zu einfachem Balken

Weitere Laststeigerung möglich, bis sich im Feld ein zweites plastisches Gelenk bildet (= Mechanismus):

 Plastische Rotation bei der Einspannstelle erforderlich

 Rotationsbedarf abhängig vom statischen System und der Belastungskonfiguration

 Rotationsvermögen begrenzt durch Stahldehnungen und Betonstauchungen

Nachweis = Vergleich:

Verformungsvermögen Q_pu Verformungsbedarf Q_pu,req

1

2

q

'

M

M

V

M

.

.

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf Q_pu,req(Näherung, Beispiel Zweifeldträger)

Allgemein sind Verformungsvermögen und Verformungsbedarf gekoppelt.

Nur für moderate Umlagerungen kann die Wechselwirkung vernachlässigt werden.

Zusätzliche Vereinfachungen:

• Biegesteifigkeit konstant

• M-Q starr-ideal plastisch (keine Verfestigung im plastischen Gelenk) Damit entspricht der Rotationsbedarf Q_pu,req des Gelenks beim

Zwischenauflager dem Auflagerdrehwinkel der beiden Trägerhälften, die nach dem Erreichen von M_ay (bei q = q_y) als einfache Balken betrachtet werden können:

(Zweifeldträger, erstes plastisches Gelenk beim Zwischenauflager, Verformungsbedarf für Vollast)

 

,

12

y pu req

q q l EI Q  

M

EI h 1 h

Ma

May k 0

Qap

q q

g h

l l

May

Schlusslinie

^{g q}

M _ Mg

Mby

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf – Beispiel Zweifeldträger

d d d 100

q  g q  kN m

As

As

'

As

16.00

L L 16.00

A B C

MRd^

MRd^

MBd

GS + ÜG

B 1 M 

Moment über Zwischenauflager

2

8 q Ld

M0

1

M1

0.6

0.2 0.2 0.8 1.2

s 8 26 A  

' 8 26

As   8 530 0.435 1848 kN 1848 kNm

s sd

Rd s sd

A f

M ^ z A f

   

  

2 3

0 1

0

2 1 1

0 1

2 2

0 1

2

2 8 3 12

2 ( 1) ( 1) 2

3 0

8 3

8 8

d d

B

B

B B B B

d B

d r

B d

B

EI EI

M M q L L q L

EI EI EI

M L L

EI EI

M q L

EI E

EI M

q L q L

I

















 

Q        

Q        

Q  Q  Q 

  Q   

Q







(i.d.R.) Da meist ist (Rissbildung begi

Kraftmeth

nnt übe ode

r B)



findet ein Teil der Schnittkraftumlagerungen bereits vor Fliessbeginn statt (dadurch wird der plastische Rotationsbedarf reduziert günstig!)

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf – Beispiel Zweifeldträger

EI^II(gerissen)

d d d 100

q  g q  kN m

'

As

16.00

L L 16.00 0.6

0.2 0.2 0.8 1.2

s 8 26 A  

' 8 26

As   8 530 0.435 1848 kN 1848 kNm

s sd

Rd s sd

A f

M ^ z A f

   

  

  

0.9

3 ,

3 0.9 0.9 4240 205 '000 1 780 MNm ( 3502 MNm )

s

s s s II

II I

s s s s i

z z

x M

M A E d

d x EI

EI M A E d x d x A E z EI

 

  

        

           



s Es s

  

x/3 x

M

s

c

d 

hd b

As

c Ec c

    x

(hier vereinfachend ε_sm= ε_srangenommen, mit ε_sm< ε_srresultiert ein kleinerer Rotationsbedarf)

As

As

A B C

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf – Beispiel Zweifeldträger

qdy

A B C

B 0 Q 

d dy

q q

A B

 

, 0

B req B qd qdy

Q  Q 

Fliessbeginn

 

2

2

-1

1 -1

-1

3 , 3

2 2 3

8 1 8 1848

8 256

1 57.8 kNm

100 1 57.8 42.2 kNm ( 1.0)

27.8 kNm ( 0.8)

42.2 16 k 12

18.5 mrad ( 1) 12.2 mrad (

Nm 12 78

0.8 0 10 kN

)

B req d d m

d Rd

r

y

r

Rd dy

r r

r

d dy r

r

r

r

q q L

q L M

M q

L

q q kNm

EI

 





Q  



    

 

 

      



  

 

 

 

  

Nach Erreichen von :

zwei Einfeldträger für Zusatzbelastung mit entsprechender Relativverdrehung der Trägerenden über B (siehe GS+ÜG in Folie 9)

MRd^

d dy

q q

C

, B req

Q

elastisch (gerissen)Umlagerung = plastisch

Träger – Verformungsvermögen

ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III

Rotationsvermögen Q_puallgemein

Beispiel: Plastischer Gelenkwinkel in Funktion von  (Duktilitätsklassen A-C, 1999)

Betonbruch

(Biegedruckzone)

Reissen der Bewehrung

B500B

B500C (Reissen der Bewehrung  massg.)

 B500A

[rad]

Q

 [-]

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen Q_puvereinfacht (siehe auch [1], p. 2-32ff) Beschränkung der plastischen Rotation

infolge Betonstahl (Reissen der Bewehrung):

Beschränkung der plastischen Rotation infolge Beton (Erreichen Bruchstauchung):

Plastische Gelenklänge, abhängig von Belastungskonfiguration und Geometrie: Bereich, in welchem die Gurtbewehrung fliesst ( Gurtkraftverlauf i.A. aus Spannungsfeld ermitteln)

Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von

smu smy pus

L

d x d x

   

Q         



Lpl



2 smy

c d puc

L

x d x

   

Q       

sr ud

    

f

s sr

s

f

  E  

f

Krümmung bei Fliessbeginn Krümmung bei Betonbruch Krümmung bei Fliessbeginn Krümmung beim Reissen der Bewehrung

Rotation pro Riss:

Plastische Gelenkrotation = Summe der plastischen Rotationen aller Risse ab Fliessbeginn

sm rm i

s d x Q  



sr sm

  

• C30/37:

f_cd = 20 MPa, f_ctm= 2.9 MPa

•

Rotation im Bruchzustand

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf  Rotationsvermögen vereinfacht – Beispiel Zweifeldträger

x 2.3 2

x

cu smy

puc pl

smy s s

pl smu smy

pus pl

L x d f E

L d

d x d x

L d x d





 

 

 

 

Q              

Q      

mit Krümmung bei Fliessbeginn mrad m, plastische Länge = ca.

0.60

0.2

0.2 0.8

' 2

4240 mm As 

1.2

sm

d^  x x

1.1 m, ' 1848 kN 1848 181 mm 0.85 0.6 20

919 mm

s sd

d A f

x d x





 

  

 

 

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsbedarf  Rotationsvermögen vereinfacht – Beispiel Zweifeldträger

Rotation im Bruchzustand Betonbruch

Stahlreissen

grobe Annahme: (geschätzte Abminderung der Bruchdehnung

infolge Zugversteifung – siehe hinten)

Damit wäre der Nachweis des Verformungsvermögens erbracht. Aber: Ist die Annahme von L_pl, _smu in Ordnung?

,

0.003 mrad

2 1.10 0.0023 14.3 2.2 m 31.4 mrad

x 0.181 m

OK

cu smy

puc pl

puc B req

L x d^

    

Q           

 Q  Q 

,

0.0225 mrad

2 1.10 0.0023 22.2 2.2 m 48.8 mrad

0.919 m

x 0.0325 mrad

2 1.10 0.0023 33.1 2.2 m 72.7 mrad

0.919 m

OK

smu smy

pus pl

pus B req

L d^ x d^

       

 

       

Q               

 Q  Q 

B500B B500C)

( )

( 22.5‰

0.5 32.5‰

smu ud

 

     

 

B500

( )

(B 0C) B 50

Ergänzungen – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen Q_pu«genauere Untersuchung» – Grundlagen

s sr

A 

d h







x

Rissquerschnitt

d(_s = f_sd)

Betonstahl mit Verfestigung

(Vernachlässigung hier nicht sinnvoll:

Lokalisierung der plast.

Verformungen in einem Riss,

praktisch kein Rotationsvermögen)

Zuggurtmodell inkl. Bereich plastischer Beanspruchung benötigt (siehe nächste Folie resp. gerissenes Scheibenmodell)

tk sk

f

f

Zuggurtmodell – Last – Rissbildung (SBI)

Betonspannung in Mitte des Elements mit Länge 𝑠_𝑟0 ist 𝜎_𝑐 = 𝑓_𝑐𝑡𝑚, d.h. dort könnte sich ein weiterer Riss bilden.

Somit ist der minimale Rissabstand:

𝑠_{𝑟,𝑚𝑖𝑛} = 𝑠_𝑟0/2 Allgemein mit Parameter l:

𝑠_𝑟 = λ ∙ 𝑠_𝑟0 1

2 < λ < 1

 theoretische Grenzen der Rissabstände bei abgeschlossenem Rissbild!

NB: Bei Rissbildung stellt sich unter Last (theoretisch) schlagartig das abgeschlossene Rissbild ein.

Betrachtung eines Zuggurtes (Brutto-QS A_c), bewehrt mit Stab mit Durchmesser Ø ([1], Seite 3.5f)

4τ_𝑏0

∅

∅ 4τ_𝑏0ρ/(1 − ρ)

𝑠_𝑟0/2 𝑠_𝑟0/2 𝑛 ∙ 𝑓_𝑐𝑡𝑚 𝑓_𝑐𝑡𝑚

N_r N_r

σ_𝑐

σ_𝑠

σ_𝑠𝑟0

maximaler Rissabstand 𝑠_𝑟0

z x

σ_𝑐

σ_𝑠

𝑠_𝑟/2 𝑠_𝑟/2

λ ∙ 𝑓_𝑐𝑡𝑚

Zuggurtmodell – Last – Zugversteifung (SBI)

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung N>N

([1], Seite 3.5f )

σ_𝑐

N > N_r N > N_r

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant. Stahlspannungen steigen weiter.

Mittlere Betondehnung 𝜀_𝑐𝑚 = ⁰

𝑠𝑟𝜀_𝑐𝑑𝑥 𝑠_𝑟 = ⁰

𝑠𝑟𝜎𝑐 𝐸𝑐𝑑𝑥

𝑠_𝑟 = ^{𝜆𝑓𝑐𝑡𝑚}

2𝐸_𝑐

Verschiebung 𝑢_𝑐 𝑥 =

0 𝑥

𝜀_𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =

0

𝑥𝜎_𝑐 𝑥 𝐸_𝑐 𝑑𝑥 𝑢_𝑐𝑟 = 𝑢_𝑐 𝑥 = 𝑠_𝑟

2 𝑢_𝑐𝑟

+

−

−𝑢_𝑐𝑟 𝑢_𝑐

z x

𝑠_𝑟/2 𝑠_𝑟/2

Zuggurtmodell – Last – Zugversteifung (SBI)

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung N>N_r ([1], Seite 3.5f )

λ σ_𝑠𝑟0

N > N_r N > N_r

4τ_𝑏0

∅ σ_𝑠𝑟

σ_𝑠

𝑢_𝑠𝑟

+

−

−𝑢_𝑠𝑟

𝑢_𝑠

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant.

Stahlspannungen steigen weiter.

Mittlere Stahldehnung 𝜀_𝑠𝑚 = ⁰

𝑠_𝑟𝜎_𝑠 𝐸_𝑠 𝑑𝑥

𝑠_𝑟 = 𝜎_𝑠𝑟

𝐸_𝑠 − 4𝜏_𝑏0

∅ 𝑠_𝑟

4𝐸_𝑠 = 𝜎_𝑠𝑟

𝐸_𝑠 −𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚 1 − 𝜌 2𝜌𝐸_𝑠 Verschiebung

𝑢_𝑠 𝑥 =

0 𝑥

𝜀_𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =

0

𝑥𝜎_𝑠 𝑥 𝐸_𝑠 𝑑𝑥 𝑢_𝑠𝑟 = 𝑢_𝑠 𝑥 = 𝑠_𝑟

2 λ 𝑛 𝑓_𝑐𝑡𝑚

z x

bei Rissbildung (N=N_r) nach Rissbildung (N>N_r) 2τ_𝑏0

∅ 𝑠_𝑟 𝐸_𝑠 =

λ𝑓_𝑐𝑡𝑚 𝐸_𝑠

1−𝜌 ρ

Betonspannungen bleiben nach Rissbildung konstant.

Stahlspannungen steigen weiter.

Stahldehnung am Riss Mittlere Betondehnung 𝜀_𝑠𝑟 = 𝜎_𝑠𝑟 𝐸_𝑠 𝜀_𝑐𝑚 = 𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚 2𝐸_𝑐

Mittlere Stahldehnung 𝜀_𝑠𝑚 = 𝜎_𝑠𝑟

𝐸_𝑠 −𝜏_𝑏0

∅ 𝑠_𝑟

𝐸_𝑠 = 𝜎_𝑠𝑟

𝐸_𝑠 −𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚 1 − ρ 2𝜌𝐸_𝑠

Rissbreiten: Differenz der mittleren Stahl- und Beton- Dehnungen, multipliziert mit s_r (l = 0.5...1):

𝑤_𝑟 = 𝑠_𝑟 𝜎_𝑠𝑟

𝐸_𝑠 − 𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚 1 − 𝜌

2𝜌𝐸_𝑠 −𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚

2𝐸_𝑐 = 𝜆𝑠_𝑟0 2𝜎_𝑠𝑟 − 𝜆𝜎_𝑠𝑟0 2𝐸_𝑠

mit 𝜎_𝑠𝑟 = 𝑁 𝐴_𝑠 𝑠_𝑟0

2𝐸_𝑠 𝜎_𝑠𝑟 −𝜎_𝑠𝑟0

4 ≤ 𝑤_𝑟 ≤ 𝑠_𝑟0

𝐸_𝑠 𝜎_𝑠𝑟 −𝜎_𝑠𝑟0 2

ε

Zuggurtmodell – Last – Zugversteifung

Steigerung der Normalkraft nach der Rissbildung N>N_r ([1], Seite 3.5f )

N-- und σ_sr--Diagramme: Reduktion der Dehnung des nackten Stahls um 

( bleibt bis Fliessbeginn konstant).

NB: gute Näherung für w_r (kleine r)

∅ 4ρ 2𝐸_𝑠

𝑁

𝐴_𝑠 −𝑓_𝑐𝑡𝑚

4ρ ≤ 𝑤_𝑟 ≤ ∅ 4ρ 𝐸_𝑠

𝑁

𝐴_𝑠 −𝑓_𝑐𝑡𝑚 2ρ N



N_r

f_ctm/E_c

1

E_sA_s

Zuggurtmodell – Last – Duktilität (SBI)

Verhalten nach Überschreiten der Fliessgrenze

𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚

𝜆 σ_𝑠𝑟0

𝜎

𝜎_𝑠𝑟 > 𝑓_𝑠𝑑 → 𝜏_𝑏1 = 𝜏_𝑏1 2

4τ_𝑏0

∅

∅ 4τ_𝑏0ρ/(1 − ρ)

𝑠_𝑟/2 𝑠_𝑟/2

𝑛𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚

N z N

x

𝑓_𝑠𝑑

4τ_𝑏1

∅ σ_{𝑠,𝑚𝑖𝑛} = 𝑓_𝑠𝑑−^{2τ𝑏0𝑠𝑟𝑚}

∅

σ_𝑐

fs _s

0 2

b fctm

 

1

b fctm

 

Regimes:

σ_𝑠𝑟 > 𝑓_𝑠𝑑,σ_{𝑠𝑚𝑖𝑛} < 𝑓_𝑠𝑑 σ_𝑠𝑟 > 𝑓_𝑠𝑑,σ_{𝑠𝑚𝑖𝑛} ≥ 𝑓_𝑠𝑑 σ_𝑠𝑟 = 𝑓_𝑡 (Bruch durch

Reissen Bewehrung)

σ_𝑠𝑟 = 𝑓_𝑠𝑑

Bewehrung in Rissnähe plastifiziert, dazwischen elastisch (N.B: bei kleiner Verfestigung Bruch in diesem Regime) Beziehung für 𝜀_𝑠𝑚 kompliziert (aber geschlossen lösbar)

Bewehrung fliesst im ganzen Risselement.

𝜀_𝑠𝑚 analog wie im elastischen Bereich (τ_𝑏1 statt τ_𝑏0, mit τ_𝑏1 = τ_𝑏0/2):

𝜀_𝑠𝑚 =𝑓_𝑠𝑑

𝐸_𝑠 +𝜎_𝑠𝑟 − 𝑓_𝑠𝑑 𝐸_𝑠ℎ nackter Stahl

−𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚 1 − 𝜌 4𝜌𝐸_𝑠ℎ

"Δ𝜀₁"=Δ𝜀1 2

𝐸_𝑠 𝐸_𝑠ℎ

ft

fs

sy

uk

Zuggurtmodell – Last – Duktilität (SBI)

Stoffbeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell mit bilinearer Kennlinie des Bewehrungsstahls):

<

1( )

b s fs

  

0( )

b s fs

  

b

1( _s f_s) d  

typischer Spannungspfad

fs

d

s

N N

srm

s

ft

fs

Es

Esh

1

1

s

su

sy ^b

0

b 1

b

s

sr _smin

s

m

sr

c

fct

 l

Zuggurtmodell – Last – Duktilität (SBI)

Last-Verformungsverhalten mit Berücksichtigung des Verbunds bei hoher Beanspruchung

 Kein Einfluss auf Zugwiderstand

 Steiferes Verhalten als nackter Stahl

Verhältnis mittlere Dehnungen zu maximaler Dehnung in den Rissen mit Berücksichtigung des Verbunds

 Starker Abfall nach Fliessbeginn

 Einfluss auf Duktilität beachten!

Gebrauchsverhalten (bisher betrachtet)

Fliessbeginn ft

sr

l 1 00

su

r 1% 2% 4%

m sr





1

00

su

sr

m

r 1%

2%

4%

l 1

500 MPa 625 MPa 200 GPa

0.05 16 mm

30 MPa

s su

s su

c

f f E

f







 

 



Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen Q_pu«genauere Untersuchung» – Grundlagen Stoffbeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell)

1. Bewehrung über ganzes Risselement elastisch, :

2. Bewehrung fliesst in Rissnähe, :

3. Bewehrung fliesst über ganzes Risselement, :

0 0

0 0

– , = )

sr b r b r

sm

s s s

s s

E E E

  

    

 (nackte Bewehrung 

sr  fs



2 _b1 _r

s sr s

f  ^ f  s ^

 

 

1 1 1

4 1

sr s sh b sr s b b r

sm sy

sh b r s b s b s

f E f s

E s E E E

    

 

  

     

      

2 _b1 _r

s sr t

f  s  f

   

  

 

 

1 1

– , = )

sr s b r b r

sm sy

sh sh sh

f s s

E E E

   

      

 (nackte Bewehrung  _<

smin

Elastische Biegesteifigkeit – Zugversteifung (SBI)

[1], Seite 2.16f

𝑠_𝑟/2 𝑠_𝑟/2 λ ∙ 𝑓_𝑐𝑡

σ_𝑠𝑟

Setzt man die Stahlspannung am Riss

beim Erreichen von M_r gleich der Spannung

beim Reissen eines Zuggurtelements, resultiert der äquivalente Bewehrungsgehalt r_t:

1

( )

1 r ^{t r}  _II ^s  

ct

M d x E f EI n

0

(  )

 _sr M d^r _IIx E^s EI

0

1 1

sr ct

t

f  n 

  r    d

x

h

σ_𝑐

σ_𝑠

(1 ) l   r

r

ct t

t

f n l  fct

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen «genauere Untersuchung» – Beispiel Zweifeldträger

NB: Zum Vergleich

→ Bewehrungsgehalt Zuggurt:

1 2.2%

( )

1

t

r s

II ct

M d x E

f EI n

r   

  

4240 1.75%

1.2 0.20

r  

0 

1 1

1 292 mm ...1

4 2

250 mm

rm

t rm

s s

 

  

 r   l  

  (Bügelabstand)

0

1 1

1 365 mm ...1

4 2

srm r  l  

• C30/37:

f_cd = 20 MPa, f_ctm = 2.9 MPa

•

Äquivalenter Bewehrungsgehalt

0.60

0.2

0.2 0.8

' 2

4240 mm As 

1.2

sm

' d x

x

1.1 m, ' 1848 kN 1848 181 mm 0.85 0.6 20

919 mm

s sd

d A f

x

d x





 

  

 

 

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen «genauere Untersuchung» – Beispiel Zweifeldträger

Zuggurtmodell

0 1

26 mm 250 mm 205 GPa

2.9 MPa

2 5.8 MPa 1 2.9 MPa

rm s ctm

b ctm

b ctm

s E

f

f f

 







  

  

(Bügelabstand)

1 0

0

nackter Stahl

1

0.27‰

,

2 56 MPa

1

56 2

3

MPa

sr s

sr b r sr

sm

s s s

sr s smin s

b r

smin sr sr s

sr s

s sr s

smin s sm

s s

f

s

E E E

f f

s f

f

f f

f E E

 

 

  

     



    

        



    

       

...;Übergang zu Regime 3 bei

B500B reisst im Regime 2

3 1

1

nackter Stahl

b r

h sh

s E

 

 



«teilweise plastifiziert»

«voll plastifiziert»

«elastisch»

! 1

3 2

B500C B500B

3 2 0 3‰

‰ (B5

(B5 00C) 00B)

1

29

s b r

sr sd sh m

s

MPa

f s

f E

E

  

      

 

 

 

 

42‰

2.43 0.27 2.16‰

25.9‰ ( 3 mit 556 MPa) 65 23

2.16‰

17.7‰ (Regime 2 mit 3 )

sm sr s

sm smin s sr

sm sr t

sm sr

smu

s

s

sr t

mu

f f f f

f

     

     

     

   

 

   

B50

, erreicht Regime 0C :

n B

i 500B :

cht

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen «genauere Untersuchung» – Beispiel Zweifeldträger

s 2.4

s

f E 

0

0 ^{b r} 0.27‰

s

s E

   

 1

s 500 f 

Esh

1

1.15 575 575 500

65 2.4 1.2 GPa

t s

sh

f f

E

 

 



 B500C

1

1 ^{b r} 23.2‰

sh

s E

   



t 575 f 

smu 41

  3

2

10 20 30 _ud (B500C)65_sm[‰]

[ ]

sr MPa



B500C

40 50

min 500

sr fs

  

556 25.9

sr sm

 

 

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen «genauere Untersuchung» – Beispiel Zweifeldträger

s 2.4

s

f E 

0

0 ^{r b} 0.27‰

s

s E

   

 1

s 500 f 

sm[‰]

 (B500B) 45

ud 

Esh

1

B500B

1.08 540 540 500

0.95 GPa 45 2.4

t s

sh

f f

E

 

  



[ ]

sr MPa



B500B

60 70

Bruch in Regime 2!

540 17.7

t smu

f 

 

10 20 30

Träger – Verformungsvermögen

Rotationsvermögen «genauere Untersuchung» – Beispiel Zweifeldträger

s 2.4

s

f E  1

s 500 f 

Esh

1 f_t 575

smu 42

  3

2

10 20 30 _ud (B500C)65_sm[‰]

(B500B) 45

ud 

Esh

1

B500B

t 540 f 

[ ]

sr MPa



t 575 f 

B500B B500C

540 17.5

t smu

f 

  556 25.9

sr sm

 

 