2 Scheiben und Träger

2 Scheiben und Träger

2.5 Scheibenelemente –

Last-Verformungsverhalten

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Allgemeines

Versuch VN2 V = 360 kN a_r  30°

Versuch VN2 V = 545 kN a_r  17…25°

Versuch VN2 V = 548 kN (Bruch)

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Allgemeines

Versuch MVN1 V = 210 kN a_r  35…55°

Versuch MVN1 V = 510 kN a_r  25°

Versuch MVN1 V = 540 kN (Bruch)

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Stahlbetonscheiben-Element unter monotoner Laststeigerung 1. Ungerissenes Verhalten: etwa wie homogene Betonscheibe

(Abweichung: Schwinden etc.)

2. Erstrissbildung ca. senkrecht zur Hauptzugspannungsrichtung 3. Rissbildung  Umlagerung der inneren Kräfte  Änderung der

Hauptspannungsrichtungen bereits unmittelbar nach der Rissbildung 4. Gerissen-elastisches Verhalten Hauptspannungsrichtungen ± konstant

solange beide Bewehrungen elastisch bleiben 5. Fliessen einer Bewehrung

Abfall der Steifigkeit  weitere Umlagerung der inneren Kräfte

 neue Risse (näher zur Richtung der nicht fliessenden Bewehrung) 6. Versagen durch Bruch des Betons oder Fliessen der anderen

Bewehrung (ev. reisst Bewehrung oder Rissverzahnung versagt)

Ohne Verbund z-Bew.

fliesst

Betonbruch

6

00 _xz[‰] 20

6

0 1 a 2

Betonbruch z-Bewehrung fliesst

Mit Verbund

[MPa]^xz



[MPa]^xz



Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Versuchsanlagen für homogen beanspruchte Elemente

Shear Panel Tester Shell Element Tester Large Universal Shell Element Tester University of Toronto 1979 University of Toronto 1984 / 2009 ETH Zürich 2017

Shear Panel Tester, University of Toronto (1979)

In-plane loading (3 stress resultants) Applied in-plane loads

perpendicular and parallel to element edge

 principal direction of applied loads variable

 reinforcing bars parallel to element edges Element size 890·890·70 mm

Shell Element Tester, University of Toronto (1984 / 2009)

General loading (8 stress resultants) Applied loads in-plane and out-of-plane, perpendicular to element edge

 principal direction of applied loads constant

 reinforcing bars at angle to element edges Element size 1’524·1’524·350 mm

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

General loading (8 stress resultants)

Applied loads in-plane and out-of-plane of general direction, i.e.

perpendicular and parallel to element edge

 principal direction of applied loads variable

 reinforcing bars parallel to element edges Element size 2’000·2’000·350 mm

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

100 Pressen je 1’400 kN

Load introduction

20 yokes, 20 blocks bolted to yokes reinforcing bars with threaded ends and bar couplers (e.g. Bartec )

0.4 m 0.4 m cos

0.4 m sin

z n

of if or ir

n

of if or ir

tn

v P

P P P P

n

P P P P

n



  

  a

   

  a

   

   

1.5 0.5

0.4 m cos

1.5 0.5

0.4 m sin

or of ir if

n

or of ir if

tn

P P e P P e

m

P P e P P e

m

    

  a

     

  a

Normalkraft vertikal +22/-30 MN

Normalkraft horizontal +22/-30 MN

SCHUB

± 11 MN (1’100 t)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

Large Universal Shell Element Tester LUSET, ETH Zürich (2017)

80 in-plane actuators

(1.60/1.17 MN @ 280 bar) 20 out-of-plane actuators (1.27/0.95 MN @ 280 bar) 20 servo-hydraulic control channels @ 1 kHz

Funding: ETH, Industry

Design and site supervision:

IBK/ETH, Chair of Concrete Structures (Kaufmann, Beck, Karagiannis et al.)

Erection started in May 2016

(opening in floor slab), first

test on concrete specimen

completed on 8 June 2017

Kräfte-Gleichgewicht [kN/m]

Gleichgewicht in äquivalenten Spannungen [MPa]

(mit ρ

_𝑥

σ

_𝑠𝑥

, ρ

_𝑧

σ

_𝑠𝑧

= Spannungen in der Bewehrung, ρ

_𝑥

= 𝑎

_𝑠𝑥

ℎ, ρ

_𝑧

= 𝑎

_𝑠𝑧

ℎ)

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Äussere Lasten sind im Gleichgewicht mit Stahlbeton = Beton + Bewehrungsstahl

zs

xs sx sx

xz

xc xc

zc xc

xzc x

sz sz s

z

c x

z xz

n

n a

n n n

n n a

n

n

n

n n

   

  

  



 

xc zc x

z x

z sz

sx

zc

x

xz

 

 









  





  σ

_𝑥

= 𝑛

_𝑥

ℎ

τ

_𝑧𝑥

= 𝑛

_𝑧𝑥

ℎ

τ

_𝑥𝑧

= τ

_𝑧𝑥

σ

_𝑧

= 𝑛

_𝑧

ℎ

𝑎

_𝑠𝑥

𝑎

_𝑠𝑧

Orthogonale Bewehrung (Dübelwirkung wird vernachlässigt)

Z

_c

Kräfte-Gleichgewicht [kN/m]

Gleichgewicht in äquivalenten Spannungen [MPa]

(mit ρ

_𝑥

σ

_𝑠𝑥

, ρ

_𝑧

σ

_𝑠𝑧

= Spannungen in der Bewehrung, ρ

_𝑥

= 𝑎

_𝑠𝑥

ℎ, ρ

_𝑧

= 𝑎

_𝑠𝑧

ℎ)

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Äussere Lasten sind im Gleichgewicht mit Stahlbeton = Beton + Bewehrungsstahl

z sz

 

xs sx

xc xc

zc xc

xzc xzc

zs sz sz

z

s x

xz

n n

x

n

n a

n n

n a

n n

n n

   

 

 



  

τ

σ

Aufgebrachte Spannungen Beton-

Spannungen

3 1







^

x sx

 

X

Q

_c

Z X

_c

 

2 2

3 1

2 2

3 1

1 3

cos sin

sin cos

sin cos

x sx z

c c

x z xz

c c z

c c

s

 

 

 

   

 

 

  





  

   



 









Kräfte-Gleichgewicht [kN/m]

Gleichgewicht in äquivalenten Spannungen [MPa]

(mit ρ

_𝑥

σ

_𝑠𝑥

, ρ

_𝑧

σ

_𝑠𝑧

= Spannungen in der Bewehrung, ρ

_𝑥

= 𝑎

_𝑠𝑥

ℎ, ρ

_𝑧

= 𝑎

_𝑠𝑧

ℎ)

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Äussere Lasten sind im Gleichgewicht mit Stahlbeton = Beton + Bewehrungsstahl

xs sx

xc xc

zc xc

xzc xzc

zs sz sz

z

s x

xz

n n

x

n

n a

n n

n a

n n

n n

   

 

 



  

 

2 2

3 1

2 2

3 1

1 3

cos sin

sin cos

sin cos

x sx z

c c

x z xz

c c z

c c

s

 

 

 

   

 

 

  





  

   



 









Z

_c

z sz

 

τ

3 1  0 σ







^

x sx

 

X

_c

X

Q

_c

Z

^{c1 } 0 (einachsiger Druck im Beton,

d.h. spannungsfreie Risse mit variabler Richtung) Aufgebrachte

Spannungen Beton-

Spannungen

Scheibenelemente – Last-Verformungsverhalten

Verträglichkeit – Mohrscher Verzerrungskreis

ε

Z X

1 3

γ/2



_e



_e

2 3

Q

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

 

 

3 3

cot tan

x z

e e

e  e  

e  e 

Verzerrungen in gerissenen Scheibenelementen

Totale Verzerrungen {e}= Verzerrungen im Beton zwischen Rissen {e}^(c) + mittlere rissbedingte Verzerrungen {e}^(r)

τ

3 1 σ







^

X

_c

Q

_c

ε

Verzerrungen im Beton zwischen zwei Rissen {e}^(c): _e^(c)  _

(überall gleich, aber _ ist leicht variabel

zwischen zwei Rissen)

Betonspannungen:

γ/2

Beton- Spannungen

Q

^(c)

1

^(c)

3

^(c)



_e^(c)

 

_

Z

^(c)

X

^(c)

ε

Verzerrungen im Beton zwischen zwei Rissen {e}^(c): _e^(c)  _

(überall gleich, aber _ ist leicht variabel

zwischen zwei Rissen)

Betonverzerrungen {e}

^(c)

γ/2

zwischen zwei Rissen (lokale Variation über u):

Q

^(c)

1

^(c)

3

^(c)



_e^(c)

 

_

Verzerrungen in gerissenen Scheibenelementen

Totale Verzerrungen {e}= Verzerrungen im Beton zwischen Rissen {e}^(c) + mittlere rissbedingte Verzerrungen {e}^(r)

Z

^(c)

X

^(c)

Verzerrungen in gerissenen Scheibenelementen

Totale Verzerrungen {e}= Verzerrungen im Beton zwischen Rissen {e}^(c) + mittlere rissbedingte Verzerrungen {e}^(r)

ε

Verzerrungen infolge Risskinematik {e}^(r):

_e^(r)  _r

(ausser für a_r p/2)

Q

^(r)

Z

^(r)

X

^(r)

1

^(r)

3

^(r)



_e^(r)

N

a

_r



_e^(r)



_r

d

_t

d

d

_n

a

_r

Risskinematik (Schar paralleler Risse):

s

_r

Rissabstand



_r

Rissneigung

n, t Koordinaten senkrecht und parallel zum Riss

|d|/ s

_r

γ/2

T

d

_t

d

d

_n

a

_r

ε

Verzerrungen infolge Risskinematik {e}^(r):

_e^(r)  _r

(ausser für a_r p/2)

Beitrag zu totalen Verzerrungen:

• {e}

^(c)

(Mittelwert über s

_r

)

• {e}

^(r)

(verschmiert über s

_r

)

Verzerrungen im Beton zwischen zwei Rissen {e}^(c): _e^(c)  _ (lokale Variation von _

vernachlässigt)

Z

^(c)

X

^(c)

Z

^(r)

X

^(r)

γ/2

Verzerrungen in gerissenen Scheibenelementen

Totale Verzerrungen {e}= Verzerrungen im Beton zwischen Rissen {e}^(c) + mittlere rissbedingte Verzerrungen {e}^(r)

1

Totale Verzerrungen {e}:

{e} {e}^(c) + {e}^(r)

_e _e^(c)  _e^(r)

_e^(c)  _e^(r) falls _r _ und a_r p/2

lokale Variation vernachlässigt)

d

_t

d

d

_n

a

_r

ε

Z X

3

γ/2



_e



_e



_e^(r)



_e^(c)

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Verzerrungen in gerissenen Scheibenelementen

Totale Verzerrungen {e}= Verzerrungen im Beton zwischen Rissen {e}^(c) + Verzerrungen infolge Risskinematik {e}^(r)

Beitrag zu totalen Verzerrungen:

• {e}

^(c)

(Mittelwert über s

_r

)

• {e}

^(r)

(verschmiert über s

_r

)

Druckfeldmodelle

Klassisches Druckfeldmodell mit f

_ct

 0 – spannungsfreie Risse mit variabler Rissrichtung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

τ

σ

e_x, e_z

_sx, _sz

e₃

_c3

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Z_c

z sz

 

σ

Aufgebrachte Spannungen Beton-

Spannungen

3 1 0

 ^

x sx

 

X_c X

Q_c Z

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

c c

x s x

z x

x sz

z c

z





 

 

 

 



 

 

 

 









2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Druckfeldmodelle

Klassisches Druckfeldmodell mit f

_ct

 0 – spannungsfreie Risse mit variabler Rissrichtung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

τ

σ

e_x, e_z

_sx, _sz

e₃

_c3

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

cracks aligned with _ and opening at a_r p/2





_e

 

_

Z_c

z sz

 

σ

Aufgebrachte Spannungen Beton-

Spannungen

3 1 0

 ^

x sx

 

X_c X

Q_c Z

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

c c

x s x

z x

x sz

z c

z





 

 

 

 



 

 

 

 









2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Eindeutige Lösung: 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (3 nicht-kollineare als primäre Unbekannte

bspw. e

_z

, e

_z

und e

₃

)

Gerissen elastisches Verhalten (n = E

_s

/E

_c

): analytische Lösung für Hauptrichtung  [Baumann 1972]:

Vorhersage des Last-Verformungs-Verhaltens:

• Traglast wird überschätzt (Betondruckversagen)

• Steifigkeit wird unterschätzt

Vorhersage des Last-Verformungs-Verhaltens:

• Traglast wird überschätzt (Betondruckversagen)

 Compression Softening!

• Steifigkeit wird unterschätzt

 Zugversteifung!

   

2 2

tan

_x

1

_z

tan

_x ^z

cot

_z

1

_x

cot

_z ^x

xz xz

n  n 

          

 

_c3

Druckfeldmodelle

Druckfeldmodelle: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

τ

σ

e_x, e_z

_sx, _sz

e₃ ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

Compression Softening

MCFT:

Zugversteifung als Materialeigenschaft des Betons

Z_c

z sz

  3

 ^

x sx

 

X_c X

Q_c Z

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

c c

x s x

z x

x sz

z c

z





 

 

 

 



 

 

 

 









1

1

ce c

f f

a b

 

  e

e₁

_c3, _c1

_c1  _c1(e₁)

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Aufgebrachte Spannungen Beton-

Spannungen

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

 

2 2

3 1

2 2

3 1

1 3

cos sin

sin cos

sin cos

x sx z

c c

x z xz

c c z

c c

s

 

 

 

   

 

 

  





  

   



 









_c3

Druckfeldmodelle

Druckfeldmodelle: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

τ

σ

e_x, e_z

_sx, _sz

e₃ ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e

Q Z_c

z sz

 

σ

3 1 0

 ^

x sx

 

X_c X

Q_c Z

1

1

ce c

f f

a b

 

  e

e₁

_c3, _c1

_c1  _c1(e₁)

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Aufgebrachte Spannungen Beton-

Spannungen

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

 

2 3

2

1 3

2 1

3

2

1

s cos

sin

sin c in

s s o

o c

x s c

c c

z sz x c

c

c x

z xz













 

 

  





 

 

 



 

  













Berücksichtigung der Zugversteifung über «mittlere»

Zugspannungen im Beton (MCFT, Vecchio&Collins, 1986) führt insgesamt zu guten Resultaten, ist aber nicht ganz konsistent:

• Überschätzung der Traglast  Überprüfung «Schub am Riss» (inkompatibel mit Grundannahme 

_e

 

_

)

• ∄ Schnitt mit Gleichgewicht mit «mittleren» Spannungen

• Zugversteifung  Betoneigenschaft  isotrop (Haupteinfluss: 

_x

, 

_z

 orthotrop)

• Keine Informationen zu Spannungen am Riss, Rissäbständen etc.

Compression Softening

MCFT:

Zugversteifung als Materialeigenschaft des Betons

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Annahme spannungsfreier Risse mit variabler Rissrichtung

 Spannungsfeld mit einachsigen Druck (parallel zur Rissrichtung) im Beton an Rissen

Gleichgewicht am Riss

 Identische Gleichungen wie beim klassischen Druckfeldmodell mit f_ct= 0

Behandlung der Bewehrung als Zuggurte

 Zugversteifung erhöht Steifigkeit, nicht die Traglast

 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für Spannungen am Riss

_sxr, _szrbezüglich der mittleren Dehnungen e_x, e_z

_sz

_c3

_c1

_c3r

cot_r

cot

_sxr

_sx

D_cz l_z·f_ct

D_cx l ·f

_szr

l·f_ct

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

z sz

r r

r r

x z x

x

c sx

z

c c r





 

 

 



 

 

 



 











   

sx sx

sz sz

r x

z r

r r

  

   e e

e_x, e_z

_sxr, _szr

nackter Stahl Zuggurt

σ_𝑥 = 𝑛_𝑥 ℎ τ_𝑧𝑥 =𝑛_𝑧𝑥 ℎ

τ_𝑥𝑧 = τ_𝑧𝑥 σ_𝑧 = 𝑛_𝑧 ℎ

σ_𝑥 τ_𝑧𝑥

τ_𝑥𝑧 σ_𝑧

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Annahme spannungsfreier Risse mit variabler Rissrichtung

 Spannungsfeld mit einachsigen Druck (parallel zur Rissrichtung) im Beton an Rissen

Gleichgewicht am Riss

 Identische Gleichungen wie beim klassischen Druckfeldmodell mit f_ct= 0

Behandlung der Bewehrung als Zuggurte

 Zugversteifung erhöht Steifigkeit, nicht die Traglast

 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen für Spannungen am Riss

_sxr, _szrbezüglich der mittleren Dehnungen e_x, e_z

Bestimmung der Spannungen im Beton sowie Rissabstände

 Spannungen im Beton = Superposition des Druckfelds und der Spannungen, welche über Verbund auf den Beton übetragen werden

 Bedingung für diagonale Rissabstände: Hauptzugspannung zwischen zwei Rissen darf f_ctnicht überschreiten.

 Rissabstände in Richtung der Bewehrung folgen aus diagonalen Rissabständen werden:

 s  s /sin , s  s /cos

_sz

_c3

_c1

_c3r

cot_r

cot

_sxr

_sx

D_cz l_z·f_ct

D

_szr

l·f_ct σ_𝑥

τ_𝑧𝑥

τ_𝑥𝑧 σ_𝑧

τ

σ

e_x, e_z

e₃

1

1

ce c

f f

a b

 

  e

Z_cr

σ

3_r 1 0

 ^

X_cr X

Q_cr Z

Beton- spannungen am Riss

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

z sz

r r

r r

x z x

x

c sx

z

c c r





 

 

 



 

 

 



 











_sxr, _szr

z szr

 

x sxr

  _c3r

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Gerissenes Scheibenmodell: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

Compression Softening

CMM:

Zugversteifung basierend auf Zuggurtmodell

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Aufgebrachte Spannungen

τ

σ

e_x, e_z

e₃

1

1

ce c

f f

a b

 

  e

Z_cr

σ

Aufgebrachte Spannungen

3_r 1 0

 ^

X_cr X

Q_cr Z

Beton- spannungen am Riss

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

z sz

r r

r r

x z x

x

c sx

z

c c r





 

 

 



 

 

 



 











_sxr, _szr

z szr

 

x sxr

  _c3r

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

Compression Softening

CMM:

Zugversteifung basierend auf Zuggurtmodell

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Berücksichtigung der Zugversteifung über modifizierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung der Bewehrung

(CMM, Kaufmann&Marti 1998):

 Gleichgewicht formuliert in Spannungen am Riss «r», konsistent mit Grundannahme

 Direkte Aussage zu maximalen Spannungen am Riss, Rissabständen etc.

 Direkter Bezug zu Traglastverfahren

 Gute Vorhersage des Last-Verformungs-Verhaltens

Gerissenes Scheibenmodell: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

τ

σ

e_x, e_z

e₃ Z_cr

σ

Aufgebrachte Spannungen

3_r 1 0

 ^

X_cr X

Q_cr Z

Beton- spannungen am Riss

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

z sz

r r

r r

x z x

x

c sx

z

c c r





 

 

 



 

 

 



 











_sxr, _szr

z szr

 

x sxr

 

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

Compression Softening

CMM:

Zugversteifung basierend auf Zuggurtmodell

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Erforderliche Spannungs-Dehnungs- Beziehung für Spannungen am Riss als Funktion der mittleren Dehnungen

 Zuggurtmodell

Berücksichtigung der Zugversteifung über modifizierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung der Bewehrung

(CMM, Kaufmann&Marti 1998):

 Gleichgewicht formuliert in Spannungen am Riss «r», konsistent mit Grundannahme

 Direkte Aussage zu maximalen Spannungen am Riss, Rissabständen etc.

 Direkter Bezug zu Traglastverfahren

 Gute Vorhersage des Last-Verformungs-Verhaltens

Gerissenes Scheibenmodell: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

Zuggurtmodell – Last – Risselement bei Rissbildung N = N

_r

𝑠𝑟=𝜆𝑠𝑟0

𝜆𝑛𝑓_𝑐𝑡𝑚 𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚

σ_𝑐 𝑢_𝑐 𝜏_𝑏 σ_𝑠 𝑢_𝑠

𝑤_𝑟 𝜏_𝑏0

𝑥

𝑢_𝑠 =

0 𝑥

𝜀_𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑢_𝑐 =

𝑥

𝜀_𝑐 𝑥 𝑑𝑥

4τ_𝑏0 Ø

-4τ_𝑏0 ^ρ

1−ρ

Ø

-4τ_𝑏(𝛿) ^ρ

1−ρ

Ø

4τ_𝑏 𝛿 𝜏_𝑏 Ø

𝜏_𝑏 𝛿

σ_𝑠𝑟0 σ_𝑠𝑟0 0

𝑁 = 𝑁_𝑠𝑟 = 𝑁_𝑟 𝛿 = 𝑢_𝑠 − 𝑢_𝑐

𝜎_𝑐 = −

𝑥 Ø𝜋𝜏_𝑏0

𝐴_𝑐 1 − 𝑑𝑥 𝜎_𝑠 =

0

𝑥4𝜏_𝑏0

∅ 𝑑𝑥

σ_𝑠 linear 𝑢_𝑠 quadratisch σ_𝑐 linear 𝑢_𝑐 quadratisch τ_𝑏 constant δ quadratisch

① Bewehrung beginnt zu fliessen

③ Bewehrung fliesst über ganzes Risselement

Zuggurtmodell – Last – Risselement bei weiterer Laststeigerung N

_y

 N  N

_u

𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚/2

σ_𝑐 𝜏_𝑏

𝜏_𝑏0 𝑥

4τ_𝑏0 Ø

-4τ_𝑏0 ^ρ

1−ρ

Ø

0 σ_𝑠

𝜆𝑛𝑓_𝑐𝑡𝑚 𝑓_𝑠𝑦 𝑓_𝑠𝑢

𝑁_𝑠𝑦 ≤ 𝑁 = 𝑁_𝑠𝑟 ≤ 𝑁_𝑠𝑢

4τ_𝑏1 Ø 𝜆𝑓_𝑐𝑡𝑚

σ_𝑠𝑟0 𝑠_𝑟

= 𝜆𝑠_𝑟0

②

…

bleibt jedoch teilweise elastisch zwischen den Rissen

①

② ③

Zuggurtmodell – Lösung für bilinearer Bewehrungsstahl

0 b r

sr s m

E  s

  e 



 

²

0 1 0

0 1 2

1 0

1

2

b r b r b s s r

sy s m b b

b sh sh

sr sy

b s

b sh

s s E E s

f E

E E

f E

E

 

   e       

  

  

  

 

sy b1 r

sr sy sh m

s

f s

f E

E

  

   e   

 

0 1

2

sr b r sr ctm

m

s s s s

s f

E E E E

    

e     l

 

 

² ₀

 

_{0 0}

1 1 1

4 1

sr sy sh b sr sy b b r

m sy

sh b r s b s b s

f E f s

E s E E E

     

      

    

e e

  



^{sr sy}



_{b1 r}

m sy

f s

E E

  

e  e  



sr  fsy



2 _b1 _r

sy sr sy

f    f  s 

 

2 _b1 _r

sy sr su

f s f

   

  

 

 

 Bewehrung über ganzes Risselement elastisch

 Bewehrung fliesst in Rissnähe, elastisch zwischen den Rissen

 Bewehrung fliesst über ganzes Risselement



⁰



0 0

–

= 1

2

b r ctm

s s

s f

E E

De

  

De  l

 

"nackter Stahl "

1 1

1

– "

= ^{b r}

sh

s E

De De 



"nackter Stahl

τ

σ

e_x, e_z

e₃

1

1

ce c

f f

a b

 

  e

Z_cr

σ

3_r 1 0

 ^

X_cr X

Q_cr Z

Beton- spannungen am Riss

2 3

2 3

3

cos sin

sin cos

z sz

r r

r r

x z x

x

c sx

z

c c r





 

 

 



 

 

 



 











_sxr, _szr

z szr

 

x sxr

  _c3r

ε

Z X

3 1

γ/2

_e

_e Q

2 3

3

cot

^z

x e

e  e

  e  e

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

Gerissenes Scheibenmodell: Berücksichtigung von Compression Softening und Zugversteifung

Gleichgewicht Verträglichkeit Materialeigenschaften

Compression Softening

CMM:

Zugversteifung basierend auf Zuggurtmodell

Risse parallel zu _

und Öffnung bei a_r p/2





_e

 

_

Aufgebrachte Spannungen

diagonale Rissabstände?

Gerissenes Scheibenmodell (vereinfacht: 

_r

variabel)

σ

r σ

 X_cr

Q_cr am Riss

Z_cr

zwischen zwei Rissen

       

^{2 2}

1 cot tan cot tan

2 2 2 2

ct xz xz ct

c x z r r r r x z xz ct

f f

   f

  l l           l l   

Bestimmung der maximalen diagonalen Rissabstände

Exakte Lösung

 quadratische Gleichung für maximalen diagonalen Rissabstand s_r0

 

 

0

0

0

0

0

0 0

0 0

1 2

1 2

sin cos

sin cos

ct x x rx

b x

ct z z rz

b z

r rx r rz r

r r

cx rx r

x

ct rx rx r

cz rz r

z

ct rz rz r

s f

s f

s s s

s s

s s

f s s

s s

f s s

 

  

 

  

   

l 

l  D  

 l  D  

 Maximale Rissabstände für einachsigen Zug in

Bewehrungsrichtung: s_rx0, s_rz0 (gemäss Zuggurtmodell)

Geometrische Beziehung zwischen s_rx, s_rz und diagonalen Rissabständen s_r

Parameter für Rissabstand l  0.5…1:

(l  1.0: max. Rissabstand s_r  s_r0 l  0.5: min. Rissabstand s_r  s_r0 /2)

Hauptspannung _c1 zwischen zwei Rissen:

D_cx  l_x·f_ct

D_cz  l_z·f_ct τ

 f_ct