2 Scheiben und Träger

(1)

1

2 Scheiben und Träger

12.10.2016 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

2.2 Bruchmechanismen

(2)

2 Die in diesem Kapitel bisher behandelten Spannungsfelder (beziehungsweise Fachwerkmodelle = diskontinuierliche Spannungsfelder) stellen eine direkte Anwendung des unteren (statischen) Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie dar. Sie führen deshalb zu einer sicheren Bemessung beziehungsweise zu einer auf der sicheren Seite liegenden Abschätzung der Traglast bestehender Tragwerke. Nicht selten jedoch ist das Entwickeln von Spannungsfeldern, welche die Beurteilung des Tragwiderstandes bestehender Tragwerke oder die Überprüfung von mit Finite Element Programmen durchgeführten Bemessungen ermöglichen sollen, eher beschwerlich. In solchen Fällen bietet sich die Betrachtung von Bruchmechanismen an, also eine Anwendung des oberen (oder kinematischen) Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie. Mit Hilfe geeignet gewählter Bruchmechanismen können Bewehrungsgehalte, Betonabmessungen und wichtige konstruktive Details selbst in komplizierten Fällen mit relativ geringem rechnerischem Aufwand überprüft werden. Bruchmechanismen können auch verwendet werden, um die Tragsicherheitsreserven einer anhand eines Spannungsfelds durchgeführten Bemessung abzuschätzen.

Bei der Anwendung des oberen Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie wird für einen gewählten Bruchmechanismus die Arbeit der äusseren Kräfte W mit der entlang der Gleitlinien (auch Bruchlinien genannt) dissipierten ArbeitDverglichen. Letztere setzt sich zusammen aus Anteilen infolge Fliessen der Bewehrung und Anteilen infolge plastischer Verzerrungen im Beton; die Dissipation in der fliessenden Bewehrung lässt sich sehr einfach berechnen, während die Dissipation im Beton einer etwas eingehenderen theoretischen Betrachtung bedarf. Der massgebende Mechanismus ist derjenige, welche das tiefste VerhältnisD/Wbeziehungsweise den tiefsten oberen Grenzwert für die Traglast ergibt.

Bruchmechanismen für Scheiben und Träger (oberer Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie)

• Anwendung in der Praxis vor allem für die Beurteilung der Tragsicherheit bestehender Bauwerkeund die Überprüfung von (zum Beispiel) mit FE-Berechnungen ermittelten Bewehrungslayouts.

• Die Entwicklung eines statisch zulässigen Spannungszustandes ist in solchen Fällen aufwändig (Fliessbedingungen durch bestehende Konstruktion und Bewehrung gegeben). Mit Bruchmechanismen können wichtige Details und Abmessungen dagegen selbst in komplizierten Fällen mit relativ geringem rechnerischem Aufwand überprüft werden.

Vorgehen

• Annahme kinematisch verträglicher Bruchmechanismen

• Berechnung der zugehörigen Arbeit Wder äusseren Kräfte sowie der Dissipationsarbeit D (Dissipation in beim Kollaps fliessender Bewehrung und im Beton entlang Diskontinuitäten)

• Ermittlung der Kollapslast aus der Bedingung W(Q) D oQ_u≤ Qfür jeden Mechanismus

• Massgebend ist der Mechanismus mit dem tiefsten Verhältnis D/W(= kleinste Kollapslast)

• Dissipation in fliessender Bewehrung kann sehr einfach berechnet werden; Dissipation im Beton (Diskontinuitäten) ist etwas aufwendiger zu ermitteln (siehe nächste Folie)

(3)

Die bei der Anwendung des oberen Grenzwertsatzes der Plastizitätstheorie untersuchten Bruch- mechanismen entsprechen nicht direkt tatsächlich auftretenden Versagensmechanismen. Vielmehr handelt es sich um abstrahierte Bruchmechanismen, welche die Voraussetzungen der Traglastverfahren der Plastizitätstheorie erfüllen.

Dennoch stimmen die massgebenden Bruchmechanismen (welche den tiefsten oberen Grenzwert nach Plastizitätstheorie ergeben) in vielen Fällen gut mit in Versuchen beobachteten Versagensmechanismen überein (Abbildung: Beispiele grossmassstäblicher Versuche an der ETH Zürich, durchgeführt zur Validierung konsistenter mechanischer Modelle). Dies zeigt, dass die Voraussetzungen der Traglastverfahren das wirkliche Verhalten gut erfassen.

3

Stoffel / Marti (1995)

Sigrist / Marti (1992)

Kaufmann / Marti (1995) Bachmann / Thürlimann

(1965)

Maier / Thürlimann (1985)

(4)

4 Die Dissipation in der Bewehrung (schlaffe Bewehrung und Vorspannung) kann – unter der Annahme, dass diese nur Kräfte in ihrer Richtung übernimmt – sehr einfach aus dem Produkt A_s·f_s·'L_s («Fliesszugkraft·Verlängerung») ermittelt werden. Da nicht Verschiebungen, sondern plastische Verschiebungsinkremente (unter konstanter Kraft) betrachtet werden, ist – im Gegensatz zur linear elastischen Formänderungsenergie–kein Faktor ½ einzusetzen.

Die Ermittlung der Dissipation im Beton wird auf dieser und den folgenden Seiten anhand einer Gleitlinie (Diskontinuität im Verschiebungsfeld) ermittelt, wobei angenommen wird, dass der Beton neben den Gleitlinien starr bleibt. Ähnliche Überlegungen sind für kontinuierliche (stetige) Verschiebungsfelder (Fliesszonen) möglich, was jedoch die Berechnungen meist kompliziert macht und selten erforderlich ist.

Bei der Untersuchung der Dissipation in einer Gleitlinie wird vorausgesetzt, dass die Gleitlinie starr bleibt (keine Dehnung in Richtung der Gleitlinie) und dass die Verzerrungen über die Dickedder Gleitlinie linear verteilt sind. Die beiden Seiten der Gleitlinie werden um den Sprungvektor G, im Winkel D zur Gleitlinie, relativ zueinander verschoben (bleiben aber parallel zueinander).

Damit resultiert ein homogener, von den Koordinaten n und t unabhängiger Verzerrungszustand (resp.

eine Zone homogener plastischer Deformation) in der Gleitlinie der Dicke d, wobei die Dehnungen proportional zu sinDsind, die Schiebungen proportional zu cosD. Für eine senkrechte Öffnung (D S/2) resultiert somit eine einachsige Dehnung senkrecht zur Gleitlinie, für ein reines Gleiten (D 0) eine reine Schiebung bezüglich der Gleitlinienrichtung.

Der Verzerrungszustand kann wie üblich in einem Mohrschen Kreis dargestellt werden.

G

(plastischeVerzerrungsinkremente, Superskript «(p)» weggelassen)

• Diskontinuität (Gleitlinie) in Punkt P (Achsen (n,t) normal/senkrecht zur Gleitlinie)

• Sprungvektor (in Ebene (n,t), in WinkelD)

• Verschiebungen variieren linear über Dicke d:

• Plastische Verzerrungsinkremente:

(Verzerrungszustand ist homogen, unabhängig von n und t)

,

,t t,

sin cos

sin 0

cos

n t

n n n t t,t

tn n n

n n

u u

d d

u d u

u u d

D D

H D H

J D

n D

u^{n n}_,_,

^s

d D

tn u^n,ttⁿ^t ^t,^t^t^,nⁿⁿ

G G

G G GGGGGGGGGGG

T3 Tt

2 y{

x P II 1

n d

I P' t{

z 4 2

S D 3

n sin H _n_n dG D

tn cos J _tn d D

d G D

D

D) Dt

D3 4 2 S D

1 H N

Z

Gd T{I D Q

T3

II X 4 2 S D 3

J2

D3 4 2 S D

Gleitlinien und Dissipation in Beton

(5)

5 Lässt man die Dicke d der Gleitlinie gegen Null streben, resultiert in der Gleitlinie ein ebener Verzerrungszustand (da die Hauptverzerrungen in der Ebene der Gleitlinie unendlich gross werden, die Dehnung senkrecht zu dieser Ebene jedoch einen endlichen Wert haben).

• Hauptverzerrungen und Hauptrichtung folgen aus dem Mohrschen Kreis

• Für den Grenzwert do0 werden H₁und H₃unendlich gross (H₁o∞, H₃o-∞), H₂ist dagegen endlich, somit herrscht für d o0 (wegen H₂/H₁o0, H₂/H₃o0) ein ebener Verzerrungszustand(für endliche ddagegen ein ebener

Spannungszustand)

• Die Richtung 2 ist eine Hauptrichtung, somit Betrachtung in Ebene (n, t) ausreichend

1

3

1 3

3

1 sin 2

1 sin 2 1 sin 1 sin

2 4

t

d

H D

D D D S

1 1

1 ¹

3

1 D

3 D

3 1

D s G

G GGGGGGGGGGG

T3 Tt

2 y{

x P II 1

n d

I P' t{

z 4 2

S D 3

D D Dt

D3 4 2 S D

1 H N

Z

Gd T{I D Q

T3

II X 4 2 S D 3

J 2

D3 4 2 S D

(6)

6 Die Konstruktion des Mohrschen Kreises der Verzerrungen in der Gleitlinie wird dadurch erleichtert, dass die Gleitlinienrichtung ungedehnt bleibt. Die Richtung der Gleitlinie (I) ist somit eine sogenannte

«charakteristische Richtung». Die zweite charakteristische Richtung (II) steht senkrecht zum Verschiebungsvektor.

Aus dem Mohrschen Kreis ist direkt ersichtlich, dass die Hauptverzerrungsrichtungen in den Winkelhalbierenden der charakteristischen Richtungen (I) und (II) liegen.

• Hauptrichtungen 1 und 3 halbieren die Winkel zwischen der Parallelen zur Gleitlinie (I) = t und der Normalen zur Verschiebungsrichtung (II)

• In den sogenannten charakteristischen Richtungen (I,II)treten reine Schiebungen auf

• Dissipation pro Volumeneinheit allgemein:

• Für jede beliebige Fliessbedingung folgt der zu den Verzerrungsinkrementen (Richtung:

-(1 sinD) / (1 sinD) gehörige Spannungszustand aus der Theorie des plastischen Potentials (plastischen Verzerrungsinkremente senkrecht zur Fliessbedingung!)

1

3

1 3

3

1 sin 2

1 sin 2 1 sin 1 sin

2 4

t

d

H D

D D D S

1 1

1 ¹

3

1 D

3 D

3 1

D s G

G

dD V H T3

2 y{

x P d

P'

z 4 2

S D

I t{

II

n 3

1 Tt

D Dt

D3 4 2 S D

1 H N

Z

Gd T{I D Q

II X 4 2 S D 3

J2 II

T I{ T3

4 2 S D

D3

D) D)

(7)

7 Für die Bruchbedingung von Coulomb muss (ausser in der Spitze bei W 0) bei verträglichen Mechanismen (nur solche kommen für eine vollständige Lösung in Frage) die Neigung D des Sprung- vektors zur Gleitlinie dem ReibungswinkelMentsprechen,D M. Für die modifizierte Bruchbedingung von Coulomb ebenfalls (ausser im Bereich des «Tension Cutoff»).

ebener Spannungszustand ebener Verzerrungszustand Gleitlinien und Dissipation in Beton

Für die Bruchbedingung von Coulomb kVV₃ fcbetragen die plastischen Verzerrungsinkremente:

Bruchlinie:

՜ für verträgliche Mechanismen mussD Msein

1 sin 1 sin 2 cos 1 sin

c

k f c

M

1 3 1 3

1

1 3

1 3 3

1 sin 2 cos 1 sin 2 cos

1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

1 sin 1 1 sin

(siehe oben)

c c

Y

Y Y

MV V M o MV V M

M M M M

H

w M w M

H N H N

wV M wV 11 H¹¹¹ M

3 3 1 1

1 3

1 sin 1 sin H D

H D

1 D

3 3 1

D D

(8)

8 Die Dissipation pro Einheitsfläche einer Gleitlinie, welche eine Einheitsverschiebung (Relativverschiebung des Betrags 1) im WinkelDzu ihrer Richtung erfährt, beträgt somit allgemein:

Die Dissipation in einer Gleitlinie resultiert durch Multiplikation von dDmit der Fläche der Gleitlinie (d.h.

«Gleitlinienlänge·Scheibendicke =l·b_w»).

Ergänzende Bemerkung:

- Ist dDfür eine Einheitsverschiebung berechnet, ist die Dissipation in der Gleitlinie noch mit dem Betrag der Relativverschiebung zu multiplizieren.

(1 sin ) 2

f

c

dD D G

cos dD c D G

G G

(1 sin ) 2

fc

dD D G

• Für eine allgemeine Mohrsche Hüllkurve beträgt die Dissipation pro Einheitsfläche der Diskontinuität, bezogen auf eine Einheitsverschiebung dD c·cosD

• Für die quadratische Fliessbedingung folgt dD f_c·(1sinD)/2

• Für D S/2 resultiert keine Dissipation im Beton: sogenannter Kollapsriss cos

c D D

c

^{1 sin} ²

fc D

D

D) D

(9)

Die Abbildung zeigt die Ermittlung des oberen Grenzwerts der Traglast für eine Scheibe ohne Bügelbewehrung unter Einzellast (unten). Das Fachwerkmodell (oben) ist dargestellt, um den Bezug herzustellen.

Der kleinste obere Grenzwert fällt mit dem unteren aus dem Fachwerkmodell zusammen, es handelt sich somit um eine vollständige Lösung. Diese resultiert für eine Verschiebung, welche senkrecht zur Linie CD erfolgt, womit–wie für eine vollständige Lösung erforderlich–die Richtung der kleinsten Hauptverzerrung (in der Winkelhalbierenden zwischen der Richtung der Gleitlinie und der Normalen zum Verschiebungs- vektor) mit der Hauptdruckspannungsrichtung (Neigung der Druckstrebe) zusammenfällt, d.h. die Richtung der Druckstrebe halbiert den Winkel zwischen den Linien BF (Gleitlinie) und CD.

9

NB: Z> 2/3 o Verschiebung vertikal, keine Dissipation in Längsbewehrung D

D Fachwerkmodell (direkte Abstützung) und

Translationsmechanismus:

Arbeit der äusseren Kräfte:

Dissipationsarbeit:

Gleichsetzen W D(mit h/d 1 Z/2):

Minimieren nachDliefert die Traglast (Z< 2/3):

oidentisch wie unterer Grenzwert, siehe Fachwerkmodell, d.h. vollständige Lösung

Beton Längsbewehrung

cos 2

W ' D E SE Q

^{1 sin} ^sin ²

sin 2

w c

b h f

D D b d f

' ' Z D E S

E

1 sin

2 sin 2

sin 1 2

2 cos 2

w c

Q b hf

D D E S Z

E Z

D E S

i

E

2

1 2

w c

b f h

Q a

Z Z Z

Scheibe ohne Vertikalbewehrung unter Einzellast

D II

I 3

(10)

10 Die Abbildung zeigt zwei weitere Bruchmechanismen für eine Scheibe ohne Bügelbewehrung unter Einzellast, welche den gleichen Wert der Traglast liefern wie der auf der vorhergehenden Seite dargestellte Translationsmechanismus.

Beim in der oberen Abbildung dargestellten Rotationsmechanismus handelt es sich um einen sogenannten Kollapsrissmechanismus, bei welchem sich die Gleitlinie DH senkrecht öffnet (Verschiebungsrichtung D S/2), so dass in dieser (= Kollapsriss) keine Dissipation in der Gleitlinie resultiert. Dissipation im Beton resultiert bei diesem Mechanismus dagegen in der Druckzone, welche gestaucht wird (Gleitlinie mit Verschiebungsrichtung (D S/2)).

Beim in der unteren Abbildung dargestellten Rotationsmechanismus ist die Gleitlinie für den massgebenden Mechanismus eine Hyperbel ([·] const.). Dies, da bei der vollständigen Lösung die Richtung der kleinsten Hauptverzerrung (also die Winkelhalbierende zwischen der Richtung der Gleitlinie und der Normalen zum Verschiebungsvektor) in jedem Punkt der Gleitlinie mit der Hauptdruckspannungsrichtung zusammenfallen muss. Daraus kann die Richtung der Gleitlinie in jedem Punkt aus der Beziehung d[/d] -[/]bestimmt werden, mit der Lösung[·]= const.

D D

Scheibe ohne Vertikalbewehrung unter Einzellast Biegemechanismus

o Kollapsriss D-H(Verschiebung senkrecht zur Gleitlinie, D S/2, keine Dissipation im Beton)

o Traglast ist unabhängig von der Neigung des Kollapsrisses und identisch mit derjenigen des Translationsmechanismus und des Fachwerkmodells (vollständige Lösung)

o Bestätigt, dass Längsbewehrung (ohne Bügel) nicht abgestuft werden kann

Rotationsmechanismus

o Gleitlinie: Hyperbel im Koordinatensystem ([,])

o Degeneriert für grossen Abstand O o∞ zu Translationsmechanismus, gleiche Traglast

D D

II I 3

(11)

11 Die Abbildung zeigt zwei mögliche Kollapsrissmechanismen (Bruchmechanismen ohne Dissipation in den Gleitlinien, da sich diese senkrecht öffnen) für Scheiben mit Längs- und Bügelbewehrung. Diese werden massgebend, wenn ein Träger «unterbewehrt» ist, d.h. das Versagen tritt nicht durch Bruch des (Steg-) betons ein.

Obere Grenzwerte für die Traglast können in Abhängigkeit der Neigung E der Kollapsrisse ermittelt werden. Bei vollständigen Lösungen stimmt der optimale Winkel E mit der Neigung des entsprechenden parallelen Druckbandes im Spannungsfeld überein. Die massgebenden Mechanismen ergeben sich allgemein, wenn die Kollapsrisse derart gewählt werden, dass ihre Enden bei einem Bügel resp. einer Abstufung der Bügelbewehrung oder aber an Stellen, wo die Längsbewehrung abgestuft ist, zu liegen kommen.

Herkömmliche Biegebruchmechanismen (die bei Biegenachweisen an einem Querschnitt üblicherweise betrachtet werden) sind nichts anderes als Kollapsrissmechanismen mit vertikaler Gleitlinie.

Kollapsrissmechanismen in Scheiben mit horizontaler und vertikaler Bewehrung Rotationsmechanismus (Biegeschubbruch)

o Kollapsriss (Verschiebung senkrecht zur Gleitlinie,D S/2, keine Dissipation im Beton)

o Dissipation in Längsbewehrung und Bügelbewehrung (Relativverschiebung in Bewehrungsrichtung · Fliesszugkraft) o Vollständige Lösungen: E Druckfeldneigung

o Massgebende Mechanismen: Kollapsrisse unmittelbar neben Bügeln, Abstufungen der Längsbewehrung oder Querschnittssprüngen o Senkrechter Kollapsriss: «Biegemechanismus»

Translationsmechanismus

o Selten massgebend, möglich bei Zugnormalkraft (N leistet Arbeit)

z

V '

E

V z

N ^A

B ' D

(12)

12 Für grosse Längsbewehrungsgehalte tritt der Bruch durch Stegdruckbruchversagen ein, das heisst durch Versagen des Betons auf Druck bei gleichzeitigem Fliessen der Bügelbewehrung, ohne dass die Längsbewehrung ihre Fliessgrenze erreicht. Entsprechende Bruchmechanismen sind oben dargestellt.

Da die Längsbewehrung nicht fliesst, erfolgt die Bruchverschiebung in vertikaler Richtung, und es resultieren die oben angegebenen oberen Grenzwerte für die Traglast in Abhängigkeit der Neigungβ.

In Versuchen wird meist ein Stegdruckbruch mit Bruchzone (untere Abbildung) beobachtet. Dieser liefert den gleichen oberen Grenzwert wie der oben dargestellte Mechanismus.

Stegdruckbruchmechanismen Stegdruckbruch mit diskreter Bruchlinie

o bei grossen Längsbewehrungsgehalten massgebend

(Bruchverschiebung vertikal, d.h. keine Dissipation in Längsbewehrung) o Beton versagt auf Druck, Bügelbewehrung fliesst, Längsbewehrung

bleibt elastisch

o Obere Grenzwerte für die Traglast in Abhängigkeit der Neigung β der Bruchlinie:

W nominelle Schubspannung

Z_v mechanischer Bügelbewehrungsgehalt

Stegdruckbruch mit Bruchzone

o In Schubversuchen oft beobachtet, kann als Serie von Bruchlinieninterpretiert werden (gleiche Traglast)

o Berücksichtigung der Dissipation in den Flanschen (plast. Gelenke) möglich; bei diskreter Gleitlinie wäre Abscheren nötig.

1 cos

1 cot

sin 2

1 cos 2 sin cot

w c

w c v

v

c w c

f

V b z b zf

V f b zf

E

Z E

E

W E Z E

E

min!

Beton Bügel

E

V z

A B

' 1

d 0 d

§ ·

¨ E ¸

© ¹

cosE Z1 2 _v W f_c Z_v 1 Z_v

z

V

E

'

E

v a fsw s b fw c

Z

(13)

13 Die NeigungEist geometrisch begrenzt. Damit resultiert für kleine Bügelbewehrungsgehalte ein minimaler oberer Grenzwert der Traglast, auch im Falle fehlender Bügelbewehrung. Dieser kann in Beziehung gebracht werden zu der für eine Scheibe ohne Bügelbewehrung geltenden Gleichung (siehe vorne), indem diese um den Beitrag der Bügel erweitert wird.

Die für Stegdruckbruchversagen gefundenen Lösungen sind in der rechten Abbildung dargestellt. Wie man sieht, kann mit einer Vergrösserung des mechanischen Bügelbewehrungsgehalts über Z_v = 0.5 hinaus der Tragwiderstand nicht weiter erhöht werden.

Stegdruckbruchmechanismen

Einschränkung für die der Neigung E

o Neigung der Gleitlinie ist geometrisch begrenzt durch die Beziehung

o Bei kleinen Bügelbewehrungsgehalten massgebend, mit kleinstem oberem Grenzwert der Traglast:

2 2

1 1 2

net net net

v c

a a a

f h h h

ª º

W « » Z

« »

¬ ¼

fc

W

0.5

0 0.5 Z^v

¹

v v

fc

W Z Z

¹

2

v v

fc

W Z Z

E S

2 2

1 1 2

net net net

v c

a a a

f h h h

ª º

W « » Z

« »

¬ ¼

Beton Bügel

tanE th a_net

E

V h

'

V

E

anet a_net

V V

(14)

14 Bei der praktischen Anwendung von Bruchmechanismen ist es meist ausreichend, wenn man sich auf die Untersuchung weniger Mechanismen beschränkt. Die potentiell massgebenden Mechanismen können mit etwas Erfahrung (und Ingenieurverstand) relativ gut identifiziert werden.

Eine analytische Formulierung der Traglast gelingt bei wirklichen Tragwerken selten, da die Bewehrung (Längsbewehrung, Bügelbewehrung) abgestuft ist und auch die Geometrie Diskontinuitäten aufweist. Oft werden Mechanismen massgebend, welche von einer Abstufung resp. Diskontinuität ausgehen; eine Minimierung der Traglast in Bereichen mit stetig verlaufender (konstanter) Geometrie und Bewehrung kann numerisch erfolgen.

Praktische Anwendung

o Kombination mit Spannungsfeldern zur Eingabelung der Traglast o Analytische Formulierung der Bruchlast, resp. deren Minimierung,

gelingt in praktischen Fällen nur selten

o Stattdessen numerische Minimierung oder Näherung (Minima sind in der Regel flach)

o Bei der Überprüfung bestehender Bauwerke sind soweit bekannt die effektiven Bewehrungslagen zu berücksichtigen odiskrete Gleitlinien zwischen Bügelenden betrachten

qsup

1 V d

n s z x

qinf

Rotationsmechanismus Translationsmechanismus

2.0 1.0 D W

n Bügelabstände

[aus Marti und Stoffel 1999]

(15)

15 In der Abbildung (aus Marti und Stoffel, 1999) sind mögliche Bruchmechanismen für einen einfachen Balken mit parabolischem Spannglied aufgezeichnet.

Ein reiner Biegemechanismus (b) erzeugt Dissipation einzig in der die Gleitlinie kreuzenden Biegebewehrung sowie in der Betondruckzone des plastischen Gelenkes (die Vertikalkomponente der Kabelkraft und der Beton unterhalb der Biegedruckzone liefern keine Anteile). Die Dissipation kann direkt durch Multiplikation des Biegewiderstands im Schnitt der Gleitlinie mit der Gelenkrotation, welche sich aus der Geometrie des Mechanismus ergibt, ermittelt werden. Auch bei einem Biegeschubbruch (c) wird im Stegbeton keine Energie dissipiert. Dagegen liefert neben der Längsbewehrung im Untergurt und der Vorspannbewehrung auch die Bügelbewehrung einen Anteil an die Gesamtdissipation. Ein solcher Mechanismus kann massgebend werden, wenn Längs- und/oder Vorspannbewehrung in unmittelbarer Nähe der Gleitlinie stark abgestuft werden und der so erlittene Dissipationsverlust gegenüber einem einfachen Biegemechanismus nicht durch den Gewinn an Dissipation in der Bügelbewehrung kompensiert wird. Im Gegensatz dazu bewirkt der Stegdruckbruchmechanismus (d) Dissipationsanteile im Stegbeton und der Bügelbewehrung. Zusätzlich wird durch die Vorspannbewehrung im Steg sowie in der unteren Gurtbewehrung (da sich der Untergurt, wenn der Obergurt nicht gestaucht wird, verlängern muss) Energie dissipiert.

Mit Ausnahme eines reinen Biegemechanismus liegen Anfangs- und Endpunkte der Gleitlinien der Mechanismen nicht am gleichen Ort x, so dass eine Beschränkung auf einen variablen Lageparameter nicht in der Lage ist, diese Mechanismen vollständig zu beschreiben. Stattdessen ist jeweils ein Fixpunkt der Gleitlinie zu wählen und der Endpunkt der Gleitlinie zu variieren, bis die FunktionD(x)/W(x) minimal wird. Mögliche Fixpunkte (welche massgebende Mechanismen liefern können), sind beispielsweise Abstufungen des Längs- oder Bügelbewehrungsgehalts oder auch zunehmende Stegbreiten.

Bruchmechanismen für Einfeldträger

Statisches System (a)

Biegemechanismus (b)

Biegeschubbruchmechanismus (c)

Stegdruckbruchmechanismus (d)

x 1

z

x 1

z

l x z

z

x z

1

(16)

16 In der Abbildung (aus Marti und Stoffel, 1999) sind mögliche Bruchmechanismen für vorgespannte Zweifeld- oder Randfeldträger von Durchlaufträgern zusammengefasst.

Während für den reinen Biegemechanismus (b) der massgebende Biegemechanismus durch einen einzigen Lageparameter charakterisiert werden kann, sind für die Mechanismen (c) und (d) frei wählbare Fixpunkte in die Berechnung miteinzubeziehen. Die Kriterien für die Wahl dieser Fixpunkte sind grund- sätzlich dieselben, wie sie auf der vorhergehenden Seite für den einfachen Balken erwähnt worden sind.

Falls die Vorspannbewehrung im Stützenbereich abgestuft wird, kann auch ein Verankerungspunkt der Vorspannung einen Fixpunkt darstellen. Der Tiefpunkt der Spanngliedachse fällt nur in Ausnahmefällen mit einem Fixpunkt zusammen.

Beim Stegdruckbruchmechanismus (d) liegt, wie bereits beim Einfeldträger, das Rotationszentrum im Schnittpunkt der Auflagerachse und des Obergurts (so dass der Druckgurt in der Gleitlinie nicht gestaucht wird, was eine sehr grosse Dissipation ergäbe).

Bruchmechanismen für Randfelder

Statisches System (a)

Kombinierter Biege-/Biegeschubbruchmechanismus (c)

Stegdruckbruchmechanismus (d)

x 1

z x z

l

z x

x z

1

(17)

17 In der Abbildung (aus Marti und Stoffel, 1999) sind die möglichen Bruchmechanismen für vorgespannte Durchlaufträger dargestellt, welche unter der Voraussetzung, dass alle plastischen Gelenke innerhalb der Spannweite liegen, auftreten können. Insbesondere wenn die Obergurtbewehrung seitlich der Auflager stark abgestuft wird, besteht die Gefahr, dass sich Biegemechanismen nicht direkt über den Stützen sondern seitlich der Stützen in den anschliessenden Feldern, d.h. am Ort der Bewehrungsabstufungen einstellen, was zusätzlich zu beachten ist.

Abbildung (e) zeigt einen kombinierten Stegdruckbruch-Biegemechanismus, dessen Rotationszentrum über dem linken Auflager (an der Trägerunterkante) liegt, da die Lager als unverschieblich vorausgesetzt wurden (alternativ könnte ein Abscheren des Lagers berücksichtigt werden, mit entsprechender Dis- sipation). Anders als bei den Stegdruckbruchmechanismen für Einfeld- und Zweifeldträger (jeweils Ab- bildung (d) auf vorhergehenden Seiten), bei welchen das Rotationszentrum auf der Höhe des Obergurts lag, resultiert daher in der Gleitlinie des Biegeschubbruchs Dissipation im Obergurt, und die Horizontal- komponente der Vorspannkraft leistet in dieser Gleitlinie einen negativen Anteil an die Dissipation (da Kraft und Verschiebung unterschiedliches Vorzeichen haben).

Die Fixpunkte der Mechanismen (c), (d) und (e) werden wie bei den Mechanismen für einfache Balken und Randfeld- oder Zweifeldträger nach den vorher erwähnten Überlegungen gewählt.

Bruchmechanismen für Innenfelder von Durchlaufträgern Statisches System (a)

Kombinierter Biege-/Biegeschubbruchmechanismus (c)

Kombinierter Stegdruckbruch-Biegemechanismus (e)

Translatorischer Stegdruckbruchmechanismus (d)

l

z z

x

x z

1

x z

1

z 1

x

1

z

(18)

In der Abbildung (aus Marti und Stoffel, 1999) ist ein praktisches Beispiel der Anwendung von Bruch- mechanismen dargestellt (N12, Pont sur la Veveyse de Châtel).

Bei dieser Brücke (neun Spannweiten à 29.5 m, Querschnitt bestehend aus 6 vorfabrizierten, 1.6 m hohen I-Trägern mit 0.18 m breiten Stegen, verbunden über eine 0.22 m dicke Ortbeton-Fahrbahnplatte) konnte die Schubtragsicherheit gemäss der Norm SIA 162 [19] insbesondere bei den Übergängen zwischen den unterschiedlichen Bügelbewehrungsquerschnitten nicht nachgewiesen werden. Mit verfeinerten Analysen (diskontinuierliche Spannungsfelder, Bruchmechanismen) wurde daher die Tragsicherheit näher überprüft.

18

Massgebender Mechanismus

Q q G

Bruchmechanismen bei Brücken mit mehreren Längsträgern Anstatt eines «globalen» Versagens aller Längsträger kann – insbesondere, da die Achslasten nur an einer Stelle, d.h. über einem Träger anzuordnen sind –auch ein «lokales» Versagen massgebend werden, bei welchem einzelne Längsträger starr bleiben.

Es sind diverse Kombinationen möglich, siehe Abbildung. Dabei ist die Dissipation in der Fahrbahnplatte (siehe Bruchmechanismen von Platten) zu berücksichtigen.

Im Beispiel lieferte tatsächlich ein solcher «lokaler» Mechanismus den untersten oberen Grenzwert für die Traglast (leicht ungünstiger als ein globaler Biegemechanismus).

(19)

19 Die Abbildung zeigt den Querschnitt des Lehnenviadukts Neuenhof, welcher im Jahr 2001 abgebrochen wurde.

An einem ausgebauten Träger führte Prof. Vogel (Mitarbeiter R. Bargähr) im Rahmen des Projekts

«ZEBRA» (Zustandserfassung vonBrücken bei deren Abbruch) an der ETH Zürich Belastungsversuche durch.

Lehnenviadukt Neuenhof

Aus: Vogel, T., Bargähr, R. (2006), Zustandserfassung von Brücken bei deren Abbruch (ZEBRA), Bundesamt für Strassen, Bern

(20)

20 Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines einzelnen Längsträgers des Lehnenviadukts Neuenhof.

• Bauherr: Tiefbauamt des Kantons Aargau

• Baujahr: 1972

• Abbruch: August 2001 (Teilabbruch)

• Abbruchgrund: Neue Linienführung

• Bauwerksart: (Im Spannbett vorfabrizierte) Einfeldträger aus Spannbeton, aufgelöster Querschnitt

• Sieben Felder à elf Träger (Höhe 1.75m) mit einer Spannweite von jeweils ca. 25 m

• Bewehrung: aus 74 im Spannbett vorgespannten Vorspanndrähten Ø 7 mm aufgebaut.

0.223 0.115 0.223

0.6

0.12 0.08 1.25 1.75 0.06 0.14 0.10

(21)

21

• Ein vorfabrizierter Träger wurde als Ganzes auf den Freiluft-Belastungsstand der ETH Hönggerberg transportiert und im Rahmen einer Diplomarbeit bei Prof. Vogel bis zum Bruch belastet.

• Mit Hilfe des oberen Grenzwertes der Plastizitätstheorie wurde mit den an Proben ermittelten mittleren Materialeigenschaften in einer Nachrechnung der massgebende Biegeschubmechanismusbestimmt:

Abweichung von lediglich 5.4%.

Aus: Vogel, T., Bargähr, R. (2006), Zustandserfassung von Brücken bei deren Abbruch (ZEBRA), Bundesamt für Strassen, Bern

(22)

22

2 Scheiben und Träger