2 Scheiben und Träger

(1)

2 Scheiben und Träger

2.1 Spannungsfelder

(2)

Spannungsfelder

Fachwerkmodelle und Spannungsfelder: Historische Entwicklung

• Ursprünglich wurde primär der globale Kraftfluss verfolgt, die Ausdehnung der Druckstreben war dabei sekundär. Solche Anwendungen haben sich bis heute gehalten (“Stabwerkmodelle”, z. B. Schlaich et al., 1984 resp. 1987)

• Seit etwa 1975 werden Fachwerkmodelle in Verbindung mit der Annahme einer endlichen Betondruckfestigkeit f

_c

angewendet; die Abmessungen der Druckstreben und Knoten ergeben sich aus der Annahme von f

_c

.

• Die resultierenden Fachwerkmodelle sind statisch zulässige (diskontinuierliche) Spannungsfelder im Rahmen der statischen Methode der Plastizitätstheorie und beruhen somit auf einer klaren theoretischen Grundlage.

• An verschiedenen Hochschulen sind computergestützte Methoden für die Entwicklung von Spannungsfeldern in Entwicklung, den Weg in die Praxis haben sie aber bisher (leider) kaum gefunden

30.11.2018 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 2

(3)

Spannungsfelder

• Die Anwendung von Spannungsfeldern basiert auf der Plastizitätstheorie.

• Die ETH Zürich spielte bei deren Entwicklung eine zentrale Rolle – namentlich die Professoren Bruno Thürlimann und Peter Marti.

• International ist dies als «Zürcher Schule» bekannt. Sie basiert auf konsistenten mechanischen Modellen und deren Überprüfung mit Grossversuchen.

Last kleinster oberer Grenzwert 0

Möglicher Bereich der Traglast

grösster unterer Grenzwert

 0 

 0 0

 

( ) 0  



m



_j

(S) 0 



i



k





n

z

(4)

Spannungsfelder

M. Ritter, «Vorlesung Massivbau» (ca. 1940) P. Lardy, «Vorlesung Massivbau» (1951) E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau» (1908)

Frühe Fachwerkmodelle (anschaulich)

Elastische Bemessung mit Hauptzugspannungen (semi-empirisch)

E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau» (1922) E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau» (1908)

K. W. Ritter, «Die Bauweise Hennebique» (1899)

(5)

Spannungsfelder

Frühe Fachwerkmodelle (anschaulich)

heutige Fachwerkmodelle / Spannungsfelder: Plastizitätstheorie = konsistente Grundlage

E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau» (1922) E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau» (1908)

K. W. Ritter, «Die Bauweise Hennebique» (1899)

(6)

Arthur Rohn 1878-1956 Prof.1908-26/48 (Ritter – Beton Karner – Stahl) Emil Mörsch

1872-1950 Prof. 1904-1908 (A. Rohn) Karl Wilhelm Ritter

1847-1906 Prof. 1882-1904 ( Mörsch) Karl Culmann

1821-1881 Prof. 1855-1881 ( Ritter)

Pierre Lardy 1903-1958 Prof. 1946-1958 ( Thürlimann)

Max Ritter 1884-1946 Prof. 1927-1946 ( Lardy)

Peter Marti 1949

Prof. 1990-2014 ( Kaufmann) Christian Menn

1927-2018 Prof. 1971-1992 ( Vogel)

Bruno Thürlimann 1923-2008

Prof. 1960-1990 ( Marti)

Hugo Bachmann 1935

Prof. 1969-2000 ( Stojadinovic)

Betonbau an der ETH – ehemalige Professoren

Führende Rolle bei der Anwendung der Plastizitätstheorie im Stahlbetonbau

(7)

Stoffel / Marti (1995)

Sigrist / Marti (1992)

Kaufmann / Marti (1995) Bachmann / Thürlimann

(1965)

Maier / Thürlimann (1985)

Plastische Bemessungsverfahren

(8)

Spannungsfelder

Grundsätze bei der Entwicklung von Spannungsfeldern

Bei der Bemessung gibt es in der Regel mehrere mögliche Lösungen für die gleiche Problemstellung. Der Ingenieur wählt das am besten geeignete Spannungsfeld und konstruiert die Bewehrung entsprechend .

Die Beachtung folgender Grundsätze führen in der Regel zu einer wirtschaftlichen Bemessung (Forderung nach Steifigkeit folgt zudem aus dem Prinzip vom Minimum der Komplementärenergie):

• Einfachheit (in der Regel orthogonale Bewehrung)

• Steifigkeit (z. B. kurze Zugstreben)

• Effizienz (Mindestbewehrung ausnützen)

Sehr zu empfehlen ist die massstäbliche Zeichnung der Modelle.

In jedem Fall sollte eine ausreichende Mindestbewehrung angeordnet werden (r = 0.1…0.3%, je nach Anwendung).

Besondere Beachtung ist der Wahl der effektiven Betondruckfestigkeit zu schenken, da diese die Fachwerkgeometrie massgeblich beeinflusst und sich Beton ja eigentlich keineswegs ideal plastisch verhält (siehe separates Kapitel).

(9)

t n

Spannungszustand + Spannungszustand -

t



 nt





n



 t





nt



 n





Spannungsfelder

Spannungsdiskontinuitätslinien

Unterer Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie: Gleichgewicht muss erfüllt sein

 Normalspannungen parallel zur Diskontinuitätslinie dürfen einen Sprung aufweisen (𝜎

_𝑡⁻

≠ 𝜎

_𝑡⁺

ist zulässig)

 Normalspannungen senkrecht zur Diskontinuitätslinie und Schubspannungen müssen kontinuierlich verlaufen ( 𝜎

_𝑛⁻

= 𝜎

_𝑛⁺

und 𝜏

_𝑛𝑡⁻

= 𝜏

_𝑛𝑡⁺

müssen erfüllt sein)

(10)

,

w c

s sy

w c

c t w c

b Q

b f c d A f

b df

F F db f



   

  

d h

b

w

2 h  c

c

F

c

F

t

Q a

Q

a b 

A

B _C

H

D

G F E

b

Spannungsfelder

Einfaches Modell (Strebe und Knoten)

Gleichgewicht:

c w c s sy t

F  b cf  A f  F

( )

w c

Qa b cf h c  

2

2 4

_{w c}

h h Qa

c    b f

c

s w

sy

A b c f

 f

 

s w

A b d r 

( f

_sy

f

_c

)

  r

 

2

1 2 2

1 2 3

2 4 3

w c

b f h

Q a

b f h

Q a

    

         

 

    

 

(11)

Spannungsfelder

Fächer- und Bogentragwirkung / verteilte Belastung (siehe auch [5], p. 58ff)

*

( ) min)

U      d 

Bild zeigt 4 mögliche Modelle für die gleiche Problemstellung. Einstellung von Fächer- oder Bogenwirkung ist

u.a. abhängig von:

- Schlankheit der Scheibe - Bewehrungsgehalt

- Belastungsgeschichte

Die Strebengeometrie und die Abmessungen der Lager sind in allen Beispielen so gewählt, dass im

Knotenbereich ABC ein biaxialer Druckspannungszustand



_c1

= 

_c3

= -f

_c

herrscht

 Punkte A bis E sind in den vier Modellen identisch, unt. GW der Traglast ebenfalls.

NB: Elastisch stellt sich das steifste Modell ein (Minimum der Komplementärenergie, d.h.

B

D A

C

E

B

D

A

C

E

B

D

A

C

E

B

D

A

C

E

G G

(12)

Da die Punkte A…E in allen vier Modellen identisch sind, kann die Geometrie an einem beliebigen davon ermittelt werden, oder auch an einem noch einfacheren Modell:

Lösung der quadratischen Gleichung, die aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:

Alternativ kann eine Beziehung für den erforderlichen mechanischen Bewehrungsgehalt zur Aufnahme einer Belastung q formuliert werden (siehe [4]).

Spannungsfelder

 ¹ ² 

s y

w c

A f

b d f h d

r    r   

Geometrischer/ mechanischer Bewehrungsgehalt:

Gleichgewicht:

 ¹ ² 

²

¹

w c

2

w c

qa q

db f d

b f

 

      

 

 

2 2

2

2 2

1 2

8 2

1 1 für 2 3 1 1 für 2 3

2 1 2 2

w c w c

b f h b f h

q q

a a

      

 

                

2 a 2

a ^{qa b f}  _{w c} 

h z d

b

w

F

t

F

c

d

 2 hd

d

A

B C

D E

2 a 2

a

qa



wc



qa b f qa

f

c

(13)

Spannungsfelder

Der genaue Verlauf der Fächerberandungen wird in der Praxis selten benötigt. Bei Bedarf kann, mit Hilfe einer

Gleichgewichtsbedingung an einem differentiellen Fächerelement, eine Differentialgleichung für diese Kurven formuliert werden.

Für den Verlauf der unteren Fächerberandung AC folgt daraus:

Die obere Fächerberandung DF ist ebenfalls eine quadratische Parabel.

 

²

2 1 / 2

f

c

q

z x

qd 

 



x

z

h d

b

w

F

t

F

c

d

 2 hd

d

A

B C

D E

a



wc



qa b f

G

qa

F

q

(14)

Spannungsfelder

Gleichgewicht:

' ; '

' ( ')

c c

f dxf dx q dx

dx q dzf dz f z z

 

    konst. (affin)

f

c

f

c

z

x

x dz dx

' x q

f

c

' dx

'

dz f

_c

q

 d

2 h   d

 d

1 2

h d

d

  

   

 

 

2 2

' 1 2

' 1 1

1 1

2 2

c

dz x x

dx d

dx f

d z dx q

dx d d

 

   

 

 

 

 

 

     

   

   

2 2

0

0 1

2 1 2 1

( 0) 0

2 2

c

c x

dz f

f q

z q x x

dx

d qd

z x



 

              

          

(15)

Spannungsfelder

Bemerkungen zur direkten Abstützung

Die in den Beispielen gezeigten Spannungsfelder sind gegenüber der Wirklichkeit stark idealisiert:

• Das Zugband wirkt wie eine Bewehrung ohne Verbund, jedoch mit einer Endverankerung. Verbundkräfte führen in

Wirklichkeit zu sukzessiver Rissbildung, und erst mit zunehmender Belastung stellt sich eine die Streben-Zugbandwirkung ein.

• Falls keine Mindestbewehrung angeordnet wird besteht die Gefahr, dass ein diagonaler Riss weit in die Druckzone vordringt und die Struktur versagt, bevor die angestrebte Tragwirkung erreicht wird. Dies ist mit einem Sprödbruch verbunden (Massstabseffekt!).

Eine Verbesserung ergibt sich durch Vorspannung des Zugbandes, womit die Streben-Zugbandwirkung erzwungen wird.

Eine Lastabtragung durch direkte Abstützung auf die Lager (ohne Vorspannung) ist ohnehin nur bei gedrungenen Scheiben sinnvoll; bei schlankeren Scheiben werden die Knotenabmessungen sehr gross, und die Verankerung der Bewehrung wird problematisch, da die gesamte Biegezugkraft hinter dem Auflager verankert werden muss!

Durch die Anordnung einer vertikalen Bewehrung (respektive die Ausnutzung der vertikalen Mindestbewehrung, die immer anzuordnen ist) kann diesen Problemen begegnet werden.

Mögliche Modelle siehe ab Folie 28.

(16)

Spannungsfelder

G.N.J. Kani (“The Riddle of Shear Failure and its Solution”, 1964): Resultate Versuche ohne Bügel

«Kani-Schubtal»

100% = Biegewiderstand erreicht

 Modell «direkter Abstützung» ok

P

P a

a

CR FL[%]

M M

100

80

60 40

Fachwerkmodell

[nach Sherwood 2008]

Versagensarten für 0.5 < a/d < 2.0

Druckstrebe 1,2 Verankerung 3 Biegebruch 4 Auflagerversagen 5

Diagonale Schubrisse für a/d > 2.5

1 2

Versagensarten für 1.5 < a/d < 2.5

Verankerung 1 Biegedruckzone 2 2 41

3 5 4

Erster Biegeriss Geneigter Biege-

Schubriss Zweitriss 1.0

a/d (a: «Schubspannweite»)

^2.0 ^3.0 ^4.0 ^5.0

^6.0

a d d

(17)

CR FL[%]

M M

100 80

60 40

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 ^{a d}

Spannungsfelder

Versuch PLS 4000, University of Toronto (2015)

12.00

(Phase 1 ohne Schubbewehrung, Phase 2 externe Bügel) 7.00

(mit Schubbewehrung)

b_w = 0.25 h= 4.00

d= 3.84

a/d = 3.125 a/d = 1.823

(18)

Spannungsfelder

Phase 1 – Biegerisse / Biegeschubrisse

(19)

Spannungsfelder

(20)

Phase 1 – Wiederbelastung (keine Laststeigerung)

Spannungsfelder

(21)

Verstärkung mit externen Bügeln

Spannungsfelder

(22)

Phase 2 – Maximallast (P = 2162 kN)

Spannungsfelder

(23)

Fc

E D F

Q

A B C

Q

Ft

(c)

Fc

E D F

Q

A B C

Q

Ft

(a)

Fc

E D F

Q

A B C

Q

Ft

(b)

Fc

E D F

Q

A B C

Q

Ft

(d)

(f)

(b) (d) Ft

(a) x

(c)

Ft

x (e)

Spannungsfelder

Lastaufhängung

Durch eine Lastaufhängung kann die vertikale

Mindestbewehrung (Bügel) aktiviert werden, und es ist nur ein Teil der Biegezugkraft hinter dem Auflager zu

verankern.

In allen 4 Modellen sind die Lager- und Lasteinleitplatten (B-C, E-F) identisch, somit auch der untere Grenzwert der Traglast.

Die Spannungsfelder (rechts) lassen sich aus den einfachen Strebenmodellen (links) ableiten.

Es kann die gesamte Last aufgehängt werden (obere Modelle) oder nur ein Teil davon (untere Modelle).

Der Verlauf der Kraft im Zuggurt (unterste Reihe) und die hinter dem Auflager zu verankernde Kraft resultieren eindeutig aus dem jeweiligen Spannungsfeld.

(24)

Spannungsfelder

Fc

E D F

Q

A B

Q

Ft

(c)

Fc

E D F

Q

A

B C

Q

Ft

(a)

Fc

E D F

Q

A

B C

Q

Ft

(b)

Fc

E D F

Q

A B

Q

Ft

(d)

(f)

(b) (d) Ft

(a) x

(c)

Ft

x (e)

Lastaufhängung

(a,b): Ganze Last Q aufgehängt

- mehr Bügel, dafür weniger Längszugkraft zu verankern

- grösserer Hebelarm, somit kleinere F_cund F_tin Mitte als in Modellen (c, d)

(c,d): Teil der Last Qaufgehängt

- Weniger Bügel, dafür mehr Längszugkraft zu verankern

- kleinerer Hebelarm (*), somit grössere F_cund F_t in Mitte als in Modellen (a, b)

(*) da Knoten ABC höher ist

Gurtkraftverlauf F_t

- (a,c) abgetreppt, (b,d) stetig - F_ta  F_tb< F_tc F_td auch in Mitte - F_t in allen Fällen kleiner als

bei direkter Abstützung

Fächerberandungen und Verlauf von F_t hyperbolisch

ca

d

h  d ca

ca

d

h  d ca ^d

bw

d

bw

Punkte A, D / Werte d,  , F_c, F_t verschieden

G H

I

J

G

H

C^I J

K G

H G K

CI

(25)

Bügelbewehrung

Spannungsfelder

Lastaufhängung (Detail Modell b)

Quadratische Parabeln siehe direkte Abstützung

Fächerberandung und Verlauf von F

_t

hyperbolisch

Q a

,1

F

c

₁

c

2 ,2

F

c



w c



b Q b f 

c

a

F

t

1 2

(

_a

)

h  c   c c a f

sw y

b e

,

F

t a

Q

,

F

t a

Q

(26)

Spannungsfelder

Lastaufhängung

Weitere mögliche Spannungsfelder (konzentrierte Bügelbewehrung, gemischtes Spannungsfeld für direkte Abstützung und Lastaufhängung)

(27)

Spannungsfelder

Knotenbereiche

(a) Allgemeiner Knoten: Streben mit _A _B  _C (Kräfte im Gleichgewicht!)

 Druckspannung im Knoten

₂ < min(_A, _B, _C), ausser Knotenberandung steht ^ auf entspr. Strebe

 Verbindungslinie der Pole der Mohrschen Kreise der

Spannungszustände auf beiden Seiten einer Diskontinuitätslinie // Spannungsdiskontinuitätslinie

(c) Knoten mit _A _B _C (praxisrelevant)

 Knotenberandung ^ zu Streben, Knotengeometrie affin zum Polygon der Strebenkräfte (Gleichgewicht)

 “hydrostatischer” Spannungszustand ₁  ₂  f_c (streng genommen nicht hydrostatisch, da ₃ = 0)

QC

SC

Q

2 C

A B

QA

QB

O

SA

(b)

A ₁ B C A

FC

FA

FB

B

B B

F  b

A

A A

F  b

C

C C

F  b (a)

(d) (c)

A B C

S =S =S =Q QA

QB

O -f_c

QC

B c B

F  f b

A c A

F  f b

C c C

F  f b B

C A

FC

FA

FB

bB

bA b^C

fc

fcf^c fc

fc

SB

bC

C

B

bB

2

1 bA

(28)

FA

FB

FC

(f)

FA

FB

FC

B

A C

fc

Spannungsfelder

Knotenbereiche

(e) Ersatz einer Strebe (C) durch stat. äquivalente Streben (D, E)

 Nur der Verlauf der Knotenberandung innerhalb

ersetzter Strebe ändert, übrige Knotenpunkte bleiben erhalten

 Nützlich bei Betrachtung von fächerartigen

Spannungsfeldern (Knotenabmessungen anhand der Resultierenden = am einfachen Fachwerkmodell festlegen/überprüfen, genauer Verlauf Berandung unwichtig)

(f) Behandlung von Zugkräften

 Verankerung hinter Knoten, Behandlung wie Druckkraft (konstruktive Lösung: nächste Folie)

(c)

B c B

F  f b

A c A

F  f b

C c C

F  f b B

C

A

FC

FA

FB

bB

bA b^C

fc

fcf^c fc

fc

(e)

FA

B

C A

FD

FA

FB

fc

FE F^D FB

FE

fc

D fc

fc

(29)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

• Sorgfältige konstruktive Durchbildung wichtig!

• Ankerplatten sind unüblich, zur Verankerung grosser Zugkräfte manchmal aber unabdingbar

• Alternative 1: Steckbügel resp. “Haarnadeln” anzuordnen, siehe Bilder unten. Lokales Spannungsfeld  Überdeckungsbeton nur durch Zugfestigkeit Beton aktivierbar

• Alternative 2: Bewehrungsstäbe mit Verankerungsköpfen (d  3Ø), experimentell verifizierte Verankerung auf sehr kurzer Länge (< 10Ø)  Achtung, Spreizkräfte beachten!

• Alternative 3: Spannungsfelder mit kontinuierlichem Aufbau der Zugkraft durch Verbundschubspannungen. Benötigt aber

grössere Knotenabmessungen.

(30)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

• Sorgfältige konstruktive Durchbildung wichtig!

• Einfachste Lösung: Knoten mit _h _v

(oft als «hydrostatisch» bezeichnet, jedoch ist ₁ 0)

• Ankerplatten sind unüblich, zur Verankerung grosser Zugkräfte manchmal aber unabdingbar

• Alternative (i): Steckbügel resp. “Haarnadeln” anzuordnen, siehe Bilder unten. Lokales Spannungsfeld  Überdeckungsbeton nur durch Zugfestigkeit Beton aktivierbar

• Alternative (ii): Bewehrungsstäbe mit Verankerungsköpfen

(Tellerdurchmesser  3Ø), experimentell verifizierte Verankerung auf sehr kurzer Länge (< 10Ø)  Achtung, Spreizkräfte beachten!

(i)

(ii) Grundriss Längsschnitt

3



c

F

inf

F

inf

F

inf

R

d

b

a

h

a



(31)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

• Streng genommen sind Betonzugspannungen erforderlich, insbesondere um den Überdeckungsbeton zu aktivieren

(i) Grundriss Längsschnitt

F

inf

h

a

F

inf 3



c

R

d

b

a

^

(32)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

• Lösung (iii): Aufgebogene Bewehrung kann aktiviert werden, wenn genügend Überstand vorhanden ist, um diese hinter dem Auflager zu verankern

(«Druckbanane» im Beton mit Ablenkkraft U)

§

Längsschnitt Kräfte auf Bewehrung Kräfte auf Beton

(iii)

F

inf

h

a

3



c

R

d

b

a



bd

l

b

    

bd

l

b

   

F

inf

F

inf

U

(33)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

• Alternative (iv): Spannungsfelder mit

kontinuierlichem Aufbau der Zugkraft durch Verbundschubspannungen.

• Benötigt grössere Knotenabmessungen (Verankerungslänge = Knotenbreite, trotz günstigem Querdruck lang)

(iv)

Kräfte auf Bewehrung Kräfte auf Beton Längsschnitt

F

inf 3



c

R

d

b

a



3



c

R

d

F

inf bd

l

b

    

bd

l

b

   

(34)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

Nachteile der Lösungen (i)-(iii) = «hydrostatischer» Knoten

• Erfordern eine relativ grosse Höhe des Auflagerknotens, was zu Lasten der statischen Höhe geht

• Berücksichtigen nicht, dass im Knoten eine höhere Druckfestigkeit angesetzt werden darf als in der Druckstrebe (unterschiedliche Werte von k_c)

Nachteile der Lösung (vi) = Verankerung über Verbundspannungen

• Erfordert eine grosse, oft unmögliche Breite des Auflagerknotens (=Lagerplatte)

 Lösung (v) (siehe u.a. kanadische Norm CSA)

• «freie» Wahl der Knotenhöhe und –breite, Knoten mit _h≠ _v

• Druckspannung in Strebe < Druckspannungen im Knoten

(v)

F

inf

h

a

3



c

R

d

b

a



a

cos h  

a

sin

b  

(35)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

Lösung (v) (siehe u.a. kanadische Norm CSA): Spannungen

(v)

Z

_n

X

_n

= Q

_n

3

_s

Q

_s

S

_n

S: Druckstrebe

N: Knoten (_v,_h = wie Knotenberandungen) Vertikale Knotenberandung

Horizontale Knotenberandung

F

inf

h

a

3



c

R

d

b

a



a

cos h  

a

sin b  

/ ( )

v

R

d

b b

a w

   

inf

/ ( )

h

F h b

a w

   

d c3

a a w

R

( b sin h cos ) b sin

  

        b

w

 

b

w

 

(36)

Spannungsfelder

Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)

Lösung (v) (siehe u.a. kanadische Norm CSA): Spannungen (Varianten mit nochmals kleinerer Knotenhöhe)

Z

_n

X

_n

= Q

_n

3

_s

Q

_s

S

_n

(v)

F

inf

h

a

3



c

R

d

b

a



a

cos h  

a

sin b  

b

w

 

b

w

 

S: Druckstrebe

N: Knoten (_v,_h = wie Knotenberandungen) Vertikale Knotenberandung

Horizontale Knotenberandung



_v

  R

_d

/ ( b b

_a



_w

)

inf

/ ( )

h

F h b

a w

   

d c3

a a w

R

( b sin h cos ) b sin

  

       

(37)

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)

Träger mit Belastung, erwartetes Rissbild

 Idealisierung als ebenes Element

 Ober-/Untergurt auf Schwerpunktsachsen reduziert: “Stringer”

 Steg als ebene Scheibe modelliert

Mögliches Fachwerkmodell

 Obergurt und Diagonalen (Beton) = Druckkräfte

 Untergurt (Längsbewehrung) und Pfosten (Bügel) = Zugkräfte

 verteilte Belastung auf statisch äquivalente Einzellasten in den Knoten des Obergurts reduziert

 korrekte Fachwerkgeometrie: Knoten so, dass zur Belastung statisch äquivalente Knotenkräfte angesetzt werden können

(daher erste Druckdiagonale steiler!)

 Fachwerkmodelle können bei Bedarf zu Spannungsfeldern verfeinert werden

q= 200 kN/m

(Kräfte in kN, Abmessungen in mm)

5 200 

200 700 200 100

8000

200 kN m

(38)

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)

Verschiedene mögliche Fachwerkmodelle

 Unterschiedliche Neigungen der Betondruckdiagonalen

 Flachere Druckdiagonalen:

- mehr Längsbewehrung, dafür - weniger Bügelbewehrung

 Einfluss der Betondruckdiagonalenneigung auf gesamtes Bewehrungsvolumen gering

NB:

 Nachrechnung bestehender Brücken, die nach früheren Normen (schiefe Hauptzugspannungen) bemessen wurden: Tragsicherheitsnachweis oft nur mit sehr flachen Neigungen möglich

 Sehr flache Neigungen führen zu grossen vertikalen Verzerrungen im Steg  Betondruckfestigkeit beeinträchtigt, Bügel können frühzeitig reissen

 SIA 262:

1

1 0.65

1, 2 55 kc

  



(39)

640

320 320

1408

1600

1600 1600

160

800 1600 1200 400

1000

800

800 800 800 400 400

1600

1000 1600



Knick

600

V = 0

A B C D E F

G H I J

K M L

A B C D E F

640 1408 1600 1600

F_inf

640

Knick

F_sup

1408

M L K J I G

1600 H

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)

Fachwerkmodell und entsprechendes Spannungsfeld

 Gestrichelte Linien = Wirkungslinien der Spannungsresultierenden der einzelnen Elemente des Spannungsfelds = Fachwerkstäbe

 Spannungsresultierende des Spannungsfelds

= Beträge der Fachwerk-Stabkräfte

 Zug- und Druckstringer AF und GM, Fächer CEGI, im Auflagerpunkt A zentrierter Fächer AKM, paralleles Druckband ACIK, vertikale Zugbänder CEIK und ACKM

 Ermittlung der Gurtkräfte = Stringerkräfte: Gleichgewicht der entlang der Gurtachsen wirkenden Belastung und der in den einzelnen Elementen auftretenden Kräfte

 Verlauf entlang Fächerrändern CE, GI und KM parabolisch, entlang Druckbandrändern AC und IK linear (siehe Beispiel 2)

 Vertikale Zugbänder CEIK und ACKM: gleichmässig verteilte Kräfte (100 kNm^-1 resp.

300 kNm^-1)

 Gurtkräfte aus Spannungsfeld und Fachwerkmodell in Schnitten CK und EI identisch (Abstufung Bügelkräfte = Diskontinuitätslinien der vertikalen Zugbänder)

[ kN ]

(40)

640

320 320

1408

1600

1600 1600

160

800 1600 1200 400

1000

800

800 800 800 400 400

1600

1000 1600



Knick

600

V = 0

A B C D E F

G H I J

K M L

A B C D E F

640 1408 1600 1600

F_inf

640

Knick

F_sup

1408

M L K J I G

1600 H

640

320 320

1408

1600

1600 1600

160

800 1600 1200 400

1000

800

800 800 800 400 400

1600

1000 1600



Knick

600

V = 0

A B C D E F

G H I J

K M L

A B C D E F

640 1408 1600 1600

F_inf

640

Knick

F_sup

1408

M L K J I G

1600 H

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)

Ausbreitung der Druckstringerkraft in den Oberflansch

 Einfaches 45º-Fachwerkmodell (kann zu Spannungsfeld verfeinert werden)

 Eingeleitete Längskraft = Gradient Längskraftverlauf im Druckstringer =

Horizontalkomponente der Druckkräfte in Fächern und parallelem Druckband entlang GM

 Eingeleitete Längskraft stützt sich über geneigte Druckstreben auf in den Schwerpunktsachsen der Oberflanschhälften angeordneten Druckstringer ab

 Es resultieren Querzugkräfte  entsprechende Verbügelung der Flanschplatte

 Berücksichtigung der Stegbreite = 200 mm im Fachwerkmodell = Einsparung Flanschbügelbewehrung

Ausbreitung der Zugstringerkraft in den Unterflansch

 Untersuchung analog (Ausbreitung auf im Flansch verteilte Längsbewehrungsstäbe, Verbügelung)

 Ausbreitung bei Auflager A erfordert Lagerüberstand (in der Grössenordnung der halben Flanschbreite mit aktivierter Zugbewehrung)

 Ohne Lagerüberstand ist die beim Auflager erforderliche Zugbewehrung (640 kN) unmittelbar unter dem Steg zu verankern.

[ kN/m ] [ kN ]

Obergurt (Druckflansch) Untergurt (Zugflansch)

Überstand!

Lagerachse A Achse L

(41)

Spannungsfelder – Schubanschluss

Beispiel – Grundriss des Plattenbalkens

 

yd xyd

tan

f

n  n    dx

nxyd dx

 

tan

xyd qd

cd f

f n dx

f c

 

 

  

    

1 

xyd cd

n dx f c

 nxyd dx

dx ^dx ^f^cd ^cⁿ^tan^xyd

 

^f

 

 

      1

_f

   

tan tan

xyd

qd xyd f

cd f

f n n

f c

 

 

    

    

 

1

1 Allgemein:

f_cd

[ kN/m ]

(42)

Spannungsfelder – Schubanschluss

30.11.2018 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton I 43

Beispiel – Grundriss des Plattenbalkens

… und zugehöriges Fachwerkmodell

f

_cd

[ kN/m ]

(43)

0.9 z  m

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)

(44)

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)

Konstruktion und Elemente des Spannungsfelds

 Querkraftnullpunkte 4 m ab Auflager A, Auflager B, Balkenende C

 Unterteilung der resultierenden Abschnitte in gleiche Unterabschnitte  Neigung der parallelen Druckbänder (Druckfelder) von tan

^-1

(0.9/1.0)  42.0°, tan

^-1

(0.9/1.2)  36.9° und tan

^-1

(0.9/0.9)  45.0°

 zentrierte Fächer (Trajektorien schneiden sich in einem Punkt) bei konzentrierten Lasten

 Zug- und Druckstringer, vertikale Zugbänder (Bügelbewehrung)

(45)

sup

[kN]

F

Spannungsfeld Fachwerkmodell

[kN m]

f

w

Spannungsfelder

Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)

Bestimmung der Kräfte im Spannungsfeld

 Belastung q_infunterhalb Obergurt ist durch vertikale Bewehrung zusätzlich aufzuhängen, Df_w = q_inf

 Gurtkräfte gemäss Spannungsfeld und Fachwerkmodell stimmen an Stellen überein (Punkte mit Zahlenwerten), wo die vertikalen, abschnittsweise gleichmässig verteilten Bügelkräfte abgestuft sind.

w cot

f z  

 Bügelkräfte f_w(pro Einheitslänge) folgen direkt aus diagonalen Schnitten entlang Grenzen der Parallelfelder resp. Fächer;

sie sind entlang dieser Grenzen konstant

 Bügelkräfte sind abschnittsweise

konstant; da die Belastung oben angreift ist das Produkt

dem Querkraftdiagramm einbeschrieben (sogenannter «staggering effect»)

(46)

sup

[kN]

F

inf

[kN]

F

Spannungsfeld Fachwerkmodell

Spannungsfelder

 Für konstante Belastung qsind die Gurtkräfte F_sup, F_inf entlang paralleler Druckbänder linear (f_w und cot konstant), entlang zentrierter Fächer parabolisch (f_w konstant, cot linear)

 Betondruckspannungen sind in parallelen Druckbändern konstant (entlang Trajektorien und über Breite des Druckbandes), entlang der (geraden) Trajektorien der Fächer variieren sie hyperbolisch.

2

3 2

( )(1 cot )

sin

w w

c

w w

q f q f

b b

   

  



( )cot inf cot

sup

w w

dF dF

q f f

dx     dx  

3 sin

c b dxw

 



Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)

Bestimmung der Kräfte im Spannungsfeld

 Verlauf der Gurtkräfte F_sup, F_infund der Betondruckspannungen (Gurtränder):

(47)

2.5 2.5 2.5

600

1.5 z

1.25 2.5 2.5 1.25

600

600 500 600

1000 600

500

1500 500

2500 3000

600 600

600

500 2500

3000 1500

3000 600

600

 ^kN

Vd

^kNm

Md

4500 600

2.5 2.5 2.5

160

1.5 z

1.25 2.5 2.5 1.25

400 667 800

1333 12001000

667 2000

3000

400 800

2000

3000 667

3000 1200

1200

400 400

400

4500 1200

 ^kN

Vd

^kNm

Md

Spannungsfelder

Beispiel 3: Kragarm mit Einzellast und verteilter Belastung

(48)

Spannungsfelder

Beispiel 3: Kragarm mit Einzellast und verteilter Belastung

2.5 2.5 2.5

600

1.5 z

600

^{kN m}

fw

sup kN F

3000 2500

1500

500 parabolisch

linear kein Knick

 

sup kN m

dF dx 400

240

2.5 2.5 2.5

160

1.5 z

1200

sup kN F 3000

2000

667 parabolis ch

linear Knick

 

sup kN m

dF dx

800 533

267

Knick 480 320

160 fwq^{kN m}

linear

(49)

Spannungsfelder

Beispiel 3: Kragarm mit Einzellast und verteilter Belastung

^{kN m}

fw

320

2.5 2.5 2.5

600

1.5 z

600

^{kN m}

fw

inf kN F 240

3000 2500

1500

500 parabolisch linear

kein Knick

 

inf kN m

dF dx 400

2.5 2.5 2.5

160

1.5 z

1200

inf kN F

3000 2000

667 linear

 

inf kN m

dF dx 533 267

Knick 160

linear

(50)

Spannungsfelder

Vergleich verschiedener Fächer (u.a. bei Auflagern) (siehe [4] p. 70 ff)

 Betondruckspannung in der Spitze der (Punkt-)zentrierten Fächer wäre unendlich gross

 (e) Ungünstig: Allgemeine zentrierte Fächer.

Druckspannungen am unteren Ende der flachsten

Trajektorie sind bei starken Neigungswechseln wesentlich grösser als in angrenzenden parallelen Druckbändern, da an gleicher Stelle zugleich flachste Neigung, d.h.

(1+ cot

²

) maximal, und grösste Bügelkraft f

_w

N.B. In den angrenzenden Parallelfeldern gilt (für q = 0):

d.h. im flacheren Parallelfeld sind die Spannungen grösser.

F

sup

q x

Fachwerk- modell Spannungs-

feld

F

sup

z

F

inf

f

wr

f

wl

a b

(e)

2 3

3

(1 cot )

cot

(tan cot )

sin cos

w c

w

c

w w

f b f V

z

V V

b z b z

 

 

 

      

 

(51)

Spannungsfelder

Druckspannungen im allgemeinen (zentrierten) Fächer Numerisches Beispiel

 Betondruckspannungen variieren bei markanten Wechseln von  sehr stark (in angrenzenden Parallelfeldern ca. 5 MPa resp. 10 MPa, im ungünstigsten Punkt B aber 16 MPa!

 Unterschied zu Knoten bei Auflager: kein

Querdruck (vertikal) durch Auflagerkraft und keine Querbehinderung (horizontal) durch Lagerplatte resp. Fächer der angrenzenden Spannweite

 viel ungünstiger

 Starke Wechsel der Neigungen sind sehr ungünstig und zu vermeiden!

[aus Marti und Stoffel 1999]

,

f

w r

c b

a

x

,l

f

w

( , ) x z



q

r

z

3

[MPa]



c

b

w

(52)

Spannungsfelder

Vergleich verschiedener Fächer (u.a. bei Auflagern) (siehe [4] p. 70 ff)

 (f) Übliche Lösung:

Nicht-zentrierte Fächer mit Knotenbereich, siehe Spannungsfelder

für Scheiben mit Rechteckquerschnitt (im Knoten -

_c3

 f

_c

 Abmessungen der Lagerplatte entsprechend festlegen)

 (g) Weniger geeignet: Nicht-zentrierte Fächer ohne Knotenbereich (braucht bei gleichem f

_c

grössere Länge,

Verbund muss überprüft werden)

 Gurtkraftverlauf F

_sup

im Fächerbereich kann konservativ am zentrierten Fächer überprüft werden, sofern die Höhe des Knotenbereichs gemäss (f) im Flansch liegt (Kontrolle mit F

_inf

aus zentriertem Fächer). Andernfalls ist der Hebelarm der inneren Kräfte (iterativ) zu reduzieren.

x F

sup

z F

inf

 F

sup

Zentrierter Fächer (O)

Nicht-zentrierter Fächer mit Knoten

f

w

(f)

O

0

b a

x

z F

inf



F

sup Zentrierter Fächer (O)

Nicht-zentrierter Fächer ohne Knoten

f

w

O

0

b a

F

sup

q q

e

(g)