2.4 Scheibenelemente – Fliessbedingungen

(1)

1 In diesem Kapitel werden Fliessbedingungen für Scheibenelemente untersucht.

Im ersten Teil werden – als Wiederholung von Stahlbeton I – die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt und die Fliessbedingungen für orthogonal bewehrte Scheibenelemente hergeleitet.

Anschliessend werden Fliessbedingungen für schiefe Bewehrung untersucht. Zum Schluss werden die Fliessbedingungen für orthogonal bewehrte Scheibenelemente – welche eine konstante Betondruck- festigkeit voraussetzen–um den Einfluss einer vom Verzerrungszustand abhängigen Betondruckfestigkeit erweitert.

Wie bereits in der Vorlesung Stahlbeton I werden meist Scheiben in der Ebene (x,z) betrachtet, da dies der Situation eines Trägerstegs entspricht (Längsachse des Trägers in x-Richtung). Somit werden Spannungen { V_x, V_z, W_xz } resp. Membrankräfte { n_x, n_z, n_xz } h·{ V_x, V_z, W_xz } untersucht (h = Scheibendicke). Selbstverständlich können die Gleichgewichts- und Transformationsformeln auch für Scheiben in der Ebene (x,y) analog formuliert werden (Spannungen {V_x,V_y,W_xy} und Membrankräfte {n_x, n_y,n_xy} h·{V_x,V_y,W_xy}).

2 Scheiben und Träger

28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

2.4 Scheibenelemente – Fliessbedingungen

(2)

2 Wiederholung aus Stahlbeton I:

- Gleichgewichtsbedingungen für Scheiben

- Formulierung in {V} oder in Membrankräften {n} mit {n} h· {V} (mit der Scheibendicke h(oft auch mit toder b_wbezeichnet))

Scheiben – Gleichgewicht

Gleichgewichtsbedingungen

Gleichgewicht in Richtungen x, z:

resp. in Membrankräften

(ߪ, ɒkonstant über Scheibendicke h):

mit (MomentenbedingungM_y= 0):

resp.

Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positiver Achsenrichtung Positive Membrankräfte entsprechen positiven Spannungen Indizes: 1-Richtung, 2-Normalenrichtung

zx xz

W W

0 0

x xz

x

zx z

z

x z q

x z q wV wW

w w

wW wV

w w

0 0

x xz

x

zx z

z

x x z z xz xz

n n

x z h q

n n

x z h q

n h n h n h

w w

w w w w

V V W

zx xz

n n

(W W_zx _{zx x}, dx dz) (V V_x _{x x},dx dz)

(W W_xz _{xz z},dz dx) (V V_z _{z z},dz dx)

xdz V

zxdz W

xzdx W V^zdx

dx dz ^x

q dxdz

q dxdzz

x

z

(3)

Wiederholung aus Stahlbeton I:

- Spannungstransformation und Darstellung im Mohrschen Kreis

- Hauptrichtungen und Hauptspannungen (Richtungen mit W_tn 0, maximale / minimale Werte der Normalspannung)

- Vorzeichenkonvention im Mohrschen Kreis abweichend von üblicher Konvention

3

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

2 2

cos sin 2 sin cos

sin cos 2 sin cos

( )sin cos (cos sin )

n x z xz

t x z xz

nt z x xz

V V M V M W M M V V M V M W M M W V V M M W M M

zsin V M

M x

zxcos

W M

xcos

V M

t

n

Wtn 1 z

zcos

V M

xzcos

W M

Vt

1

Wnt W_zxVsin_xsinMnM x

t z Vn

xzsin

W M

W

T

3

2M 2M1

1 X

V

Z M M1 Q(Pol)

N V W ( )

(4)

Wiederholung aus Stahlbeton I

4

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis

cos 2 sin 2

2 2

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x z x z

n xz

x z x z

t xz

x z

tn xz

V V V V

V M W M

V V V V

V M W M

W V V M W M

2 2

cos 2M cos M sin M sin 2M 2sin cosM M

2 2

1 sin M cos M W

T

3

2M 2M1

1 X

V

Z M M1 Q(Pol)

N V W ( )

zsin V M

M x

zxcos

W M

xcos

V M

t

n

Wtn 1 z

zcos

V M

xzcos

W M

Vt

1

t z Vn

xzsin

W M

(5)

Wiederholung aus Stahlbeton I

5

Scheiben – Spannungstransformation

Spannungstransformation: Mohrscher Kreis W

T

3

2M 2M1

1 X

V

Z M M1 Q(Pol)

N V W ( )

Mittelpunkt / Radius Mohrscher Kreis cos 2 sin 2

2 2

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x z x z

n xz

x z x z

t xz

x z

tn xz

V V V V

V M W M

V V V V

V M W M

W V V M W M

1 1

2 2

1,3

2

0 1tan

2 4

2 2

xz

nt tn

x z

x z xz

x z

§ W ·

W W o M ¨©V V ¸¹ V V W V V V r

zsin V M

M x

zxcos

W M

xcos

V M

t

n

Wtn 1 z

zcos

V M

xzcos

W M

Vt

1

t z Vn

xzsin

W M

(6)

Wiederholung aus Stahlbeton I: Kräfte in orthogonal bewehrten Stahlbetonscheiben - Die Beanspruchung muss der Summe der Kräfte in Beton und Bewehrung entsprechen

- Koordinatenachsen im Stahlbeton stets so gewählt, dass sie mit den Bewehrungsrichtungen zusammenfallen (meist x-Achse in Richtung der stärkeren Bewehrung). Bei schiefer Bewehrung fällt diex-Achse mit einer Bewehrungsrichtung zusammen.

- Orthogonale Bewehrung in Richtung der Koordinatenachsen x und z gibt keinen Beitrag zu n_xz, d.h.

n_xzs 0.

- Anstatt in Kräften kann die Formulierung in äquivalenten Spannungen erfolgen (Betonspannungen und mit dem jeweiligen geometrischen Bewehrungsgehalt multiplizierte Spannungen in der Bewehrung, was den durch die Scheibendicke dividierten Membrankräften entspricht).

Ergänzende Bemerkung:

- Bei der Untersuchung äquivalenter Spannungen müsste, streng genommen, auch bei den Betonspannungen ein Korrekturterm eingeführt werden (analog zum Faktor [1U] bei Normalkraft), da nicht die ganze Scheibendicke zur Verfügung steht. Für Membrannormalkräfte in x- und z-Richtung wäre dies (1 U_x) und (1 U_z). Da in der Regel ein gegenüber den Bewehrungsrichtungen geneigtes Druckfeld resultiert (Betondruck als Querdruck über Bewehrung übertragbar), wird auf diesen Korrekturterm verzichtet. Man erkennt jedoch, dass das Betondruckfeld durch die Bewehrung gestört wird.

6

D ^x

3 1

c3

V n_x

n_zx n_xz n_z

D ^x

1 3

3

Vc

1

h

V_x

W_zx W_xz V_z z

z

Scheiben – Gleichgewicht

Gleichgewicht («Stahlbeton= Beton + Bewehrung») Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

• Beton homogen und isotrop, nimmt Druckspannungen ≤ fcin beliebige Richtung auf aber keine Zugspannungen

• Bewehrung nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf, bis maximal zum Betrag f_sund ist so verteilt und verankert, dass mit äquivalenten Spannungen gerechnet werden kann

• Starrer Verbund zwischen Beton und Bewehrung In Membrankräften:

In äquivalenten Spannungen:

(Bewehrungsgehalte U_x a_sx/h, U_z a_sz/h)

xs sx sx

zs sz s

xc xc

zc

x x z z

z x

xc xzc

x z

xz xz

zs x

z zc

x

n n a

n n

n

n n

n h n h n h

a n

V V W V V

xc zc x

x sx z z

sz x

z c xz

V V V

W U V

W

V U V

(7)

Wiederholung aus Stahlbeton I: Kräfte in orthogonal bewehrten Stahlbetonscheiben

- Verhalten auch bei «isotroper Bewehrung» (gleiche Bewehrung in beide Richtungen) nicht isotrop!

- «Schub» auf die Richtung der (x-) Bewehrung bezogen!

7

Spannungen im Beton

U_xV_sx

U_zV_sz D

äussere Beanspruchung

D D_F

D_F W

1 V

D ^x

3 1

c3

V V_x W_zx W_xz V_z

Scheibenelemente – Gleichgewicht

x, z: Richtungen der Bewehrung, Verhalten nicht isotrop (auch nicht für a_sx= a_sz)!

2 3

3

cos sin

sin cos

x sx x sx

z sz z sz

c c c xc

zc x

xz zc

z x

U V U V

V D

V

W

V V

V D

W D

3 Gleichgewicht («Stahlbeton= Beton + Bewehrung») Orthogonal bewehrtes Element (Bewehrungsrichtungen x, z):

Darstellung mit Mohrschen Kreisen (bei orthogonaler Bewehrung einfach, daW_xzs 0):

D: Hauptdruckrichtung im Beton

(8)

Fliessbedingungen für isotrope Materialien (Stahl: Tresca, von Mises) können nicht auf Stahlbeton angewendet werden, auch nicht für die Bemessung der Bewehrung und selbst dann nicht, wenn diese «isotrop» (gleicher Bewehrungsgehalt in beide Richtungen) ist. Die Anwendung kann auf der sicheren oder unsicheren Seite liegen.

Ein offensichtlicher Unterschied besteht beispielsweise im Zug-/Druckwiderstand: Eine Beanspruchung in eine Bewehrungsrichtung beeinflusst den Widerstand der Bewehrung in der anderen Bewehrungsrichtung nicht; nach Tresca / von Mises wird der Druckwiderstand in eine Richtung dagegen durch eine senkrecht dazu wirkende Zugbeanspruchung reduziert (und umgekehrt). Andererseits hat ein Material mit Fliessbedingungen nach Tresca / von Mises einen Schubwiderstand, eine orthogonale (isotrope) Bewehrung dagegen nicht.

Tresca

- Hauptspannungsebene: Sechseck

- Raum: zwei elliptische Kegel und verbindender elliptischer Zylinder v. Mises

- Hauptspannungsebene: dem Tresca-Sechseck umschriebene Ellipse - Raum: Der Fliessbedingung von Tresca umschriebenes Ellipsoid

Scheibenelemente– Fliessbedingungen

Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für ebenen Spannungszustand (für Stahlbeton nicht geeignet, auch nicht bei «isotroper Bewehrung»!)

1 3 1 3

( , , ) _s 0

Max V V V V f

2 2 3 2 2 0

x x z z xzfs

V V V V W

Tresca von Mises

x

V3

V1

Vx

Wxz

Wzx

Vz

z

fs

f_s

fs

V1

fs f_s

s 2 f

Wxz

Tresca ^s f

fs

Vx

Vz

V3

(9)

9 Wiederholung aus Stahlbeton I–Biegung und Normalkraft (resp. Baustatik)

- Interaktionsdiagramme von Stahlbetonträgern unter Biegung und Normalkraft können, für ideal plastisches Verhalten, durch eine grafische Linearkombination der aplastischen Bereiche von Beton und Bewehrung ermittelt werden.

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt –starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung (1) Beton allein

o Aplastischer Bereich Y_c< 0, begrenzt durch Fliessgrenze

Y_c= 0 (besteht aus zwei Parabeln) o Plastische Verzerrungsinkremente sind

orthogonal zur Fliessgrenze, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz, allgemein

)

2 , 2 2

2 2 0

2

m c

c c yc c

c

m c

c c yc c

c c

c yc c

c

m c c c

c c

N

h h

N bf M N

bf

h h N

N bf M N

bf N

Y M N h

bf

N Y N

h

bf Y

§ ·

§ H ·

¨© F ¸¹ ¨© ¸¹

§ ·

§ H ·

¨© F¸¹ ¨© ¸¹

§ ·

r ¨ ¸

© ¹

H w w

r

F w

m m m

m ,,,

F^m

m m m

m ,,,

F^m

m

Druckzone oben:

Druckzone unten:

Fliessfunktion:

Fliessgesetz:

Myc

w

N gradY H

1h/2 O E

Eco f fc

A D B

C Vc

Hc

As

b

h

As

xN y z

Hm 2 _c

h N

bf FF

fc

c 2 bh f

c 0 Y

c 0 F Y

Hm_m

bhfc

2 _c 8

bh f

2 c 8

bh f

N M

(10)

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt –starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, A_s A’_s (2) Bewehrung allein

o Aplastischer Bereich Y_s< 0 ist bei zwei Bewehrungslagen ein Parallelogramm(bei symmetrischer Bewehrung A_s= A’_s Rhombus), das durch die den beiden Bewehrungslagen entsprechenden Vektoren aufgespannt wird

o Kombination der beiden Bewehrungslagen grafisch durch geometrische Linearkombination (siehe Kombination von Beton und Bewehrung)

o Eckpunkte: beide Bewehrungen fliessen, Seiten: eine Bewehrung fliesst

o Plastische Verzerrungsinkremente sindorthogonal zur Fliessgrenze Y_s= 0, nach aussen gerichtet (Fliessgesetz) h/2

1

, 2

s s s s

A f A f h½

® ¾

¯ ¿

, 2

s s s s

A f A f h½

c c

® ¾

¯ ¿

s s

A f h

2A f_s _s 2A f_s _s

s s

A f h

C O

fy

F I G

H Hs

D

Eso f B A

Vs

fy

J

E

M As

b

h

As

xN y z

Hm 2 _c

h N

bf FF

c 0

Y F

HmFF Hm

M

N

c 0 Y fc

(11)

Einschub aus SBI – Interaktionsdiagramme (M, N)

Rechteckquerschnitt –starr-ideal plastisch, ohne Überdeckung, A_s A’_s (3) Stahlbeton =Beton+Bewehrung

o Fliessfigur des Stahlbetons durch geometrische Linearkombination der Fliessgrenzen Y_c= 0 und Y_s= 0 o Vorgehen: Fliessgrenze (Y_c= 0) rein translatorisch mit ihrem

Ursprung entlang Fliessgrenze (Y_s= 0) bewegen (oder umgekehrt Y_s= 0 entlang Y_c= 0)

o Resultierender Bereich Y< 0 entspricht dem aplastischen Bereich des Stahlbetonquerschnitts, mindestens schwach konvex, Fliessgesetz (Orthogonalität der plastischen

Verzerrungsinkremente bezüglich Fliessgrenze) gilt weiterhin o Entlang gerader Stücke der Fliessgrenze bleibt eine Bewehrung

elastisch (starr)

o Vorgehen auf beliebige Bauteile und Beanspruchungen übertragbar

1h/2 1h/2

F HFFm

Dm

C Y 0

M

N C

O A

H G

F E

(12)

Wiederholung aus Stahlbeton I–Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente:

- Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente können analog wie Interaktions- diagramme für Biegung und Normalkraft durch eine grafische Linearkombination der aplastischen Bereiche von Beton und Bewehrung ermittelt werden

- Aplastischer Bereich der orthogonalen Bewehrung: Rechteck in Ebenen_xz W_xz 0 - Aplastischer Bereich des Betons: Zwei elliptischen Kegel (vorneV_c1 0, hintenV_c3 -f_c)

12

sz sz

a fc

sz sz

a f nxs

nzs sx sx

a f a f_sx _sxc nxzs

s s s

fc f

d V d ^{h f}^c ²

2

xzc c xc c zc

n hf n hf n

2

xzc xc zc

n n n

nxzc

hfc

nxc

hfc

nzc

c c 0

d V df

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben («Stahlbeton= Beton + Bewehrung»):

Scheibendicke h

Beton und Stahl ideal plastisch, starrer Verbund Bezeichnungen f_cundf_y(Zug) resp. f_y’ (Druck) bei Bemessungersetzen durch f_c k_cf_cdund f_y -f_y’ f_sd

Fliessbedingung Bewehrung: Fliessbedingung Beton:

(nimmt nur Kräfte in Stabrichtung auf) (homogen, isotrop, mit f_ct= 0) n_x

n_zx n_xz n_z

D ^xc

xc z

xs sx s

zs sz sz x

z c

x xz

c c

x

xz

n n

a n

n n

a

n

n V

x V

3 1

3

Vc

(13)

13 Wiederholung aus Stahlbeton I–Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente

const nxz

nz

nx

nxz

sz sz

a fc

sz sz

a f nxs

nzs sx sx

a f a f_sx _sxc nxzs

s s s

fc f

d V d ^{h f}^c ²

nxzc

hfc

nxc

hfc

nzc

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung für orthogonal bewehrte Scheiben Geometr. Linearkombination Beton + Bewehrung

n_x

n_zx n_xz n_z

D ^xc

xc z

xs sx s

zs sz sz x

z c

x xz

c c

x

xz

n n

a n

n n

a

n

n V

x V

3 1

3

Vc

Vorgehen:

Fliessgrenze Yc= 0 rein translatorisch mit ihrem Ursprung entlang der Fliessgrenze Y_s= 0 bewegen (oder umgekehrt Ys= 0 entlang Yc= 0)

(14)

Wiederholung aus Stahlbeton I–Fliessbedingungen orthogonal bewehrter Scheibenelemente

14 1

2 5 4

7

const nxz

nz

nxz

nx

nz

nx

nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton

Linearkombination der Fliessbedingungen, d.h. verschieben der Fliessbedingung des Betons (Ursprung) entlang der Fliessbedingung der Bewehrung

«Stahlbeton = Stahl + Beton»

2 1

2 2

2 3

2 2 4

2 5

2 6

7

( )( ) 0

2 0

( )( ) 0

xz sx sx x sz sz z

xz c sz sz z sz sz z

xz sx sx x c sx sx x

xz c

xz sx sx x c sx sx x

xz c sz sz z sz sz z

x

Y n a f n a f n

Y n hf a f n a f n

Y n a f n hf a f n

Y n h f

Y n a f n hf a f n

Y n hf a f n a f n

Y n

c c

2_z(hf_ca f_sx _sxcn_x)(hf_ca f_sz _szcn_z) 0

NB: Bewehrungsflächen je Längeneinheit in x- und z-Richtung asx Asx sx asz Asz sz

(15)

15 1

2 5 4

7

const nxz

nz

nxz

nx

nz

nx

nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Fliessbedingung / Fliessregimes Stahlbeton Y₁: Beide Bewehrungen fliessen auf Zug

(V_sx f_sx, V_sz f_sz, 0 ≥ V_c3≥ -fc)

Y₂: z-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht (V_sz f_sz, V_c3 -f_c, -f’_sx≤ V_sx≤ f_sx) Y₃: x-Bewehrung fliesst auf Zug, Beton bricht

(V_sx f_sx, V_c3 -f_c, -f’_sz≤ V_sz≤ f_sz) Y₄: Beton bricht

(V_c3 -f_c,-f’_sx≤ V_sx≤ f_sx, -f’_sz≤ V_sz≤ f_sz) Y₅: x-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht

(V_sx -f’_sx, V_c3 -f_c,-f’_sz≤ V_sz≤ f_sz)

Y₆: z-Bewehrung fliesst auf Druck, Beton bricht (V_sz -f’_sz,V_c3 -f_c,-f’sx≤ V_sx≤ fsx)

Y₇: Beide Bewehrungen fliessen auf Druck, Beton bricht (V_sx -f’_sx, V_sz -f’_sz,V_c3 -f_c)

(mittlere Betonhauptspannung ebenfalls negativ)

NB: Bruchart: sehr duktil / duktil (ausser bei sehr flachen Druckfeldneigungen) / spröd

(16)

16 D

3 1 X

Z Q

H J 2

2 2D Jxz

2

z x

H H_z Verzerrungsinkremente und Hauptdruckrichtung

Verzerrungsinkremente sind proportional zu den Komponenten der äusseren Normalen auf die Fliessfläche (Gradient) im jeweiligen Punkt der Fliessfigur (N≥ 0: beliebiger Faktor):

Neigungαder Hauptdruckrichtung 3 bez. x-Achse folgt mit Mohrschem Kreis aus plastischen Dehnungsinkrementen (Hauptverzerrungsrichtung = Hauptdruckspannungsrichtung Beton):

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

, ,

x z xz

Y Y Y

n n n

w w w

H N H N J N

w w w

x n

2 2

2

cos(2 ) 1 cos (2 ) sin (2 )

cot 2 cot cot(2 )

sin(2 ) sin (2 )

z x

xz

H H D D D

D D D

J_xz_xz mit D D ₁ ²

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

2 7

: cot ( ) ( )

:cot ( ) ( )

:cot 1

:cot ( ) ( )

:cot (

sx sx x sz sz z

c sz sz z sz sz z

sx sx x c sx sx x

c sz sz z sz sz z

Y a f n a f n

Y hf a f n a f n

Y a f n hf a f n

Y

Y a f n hf a f n

Y hf a f n a f n

Y hf

D

c c

D

c c

D

D _ca f_sx _sxc n_x) (hf_ca f_sz _szc n_z)

2

cot ^z ^x ^z ^x 1

xz xz

§ ·

··2

§§ 1

(17)

17 Wiederholung aus Stahlbeton I: Bemessung orthogonal bewehrter Scheibenelemente in Regime 1

D D

const nxz

hfc

sz sz z

a f n nxz

cotD 0.5 cotD 2.0

hfc a f_sx _sxn_x nxz

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Bemessung der Bewehrung

Bemessungspraxis: in der Regel Regime 1 (duktile Bruchart; Fliessen der beiden Bewehrungen vor Betonbruch, Beton bleibt intakt).

Fliessbedingung für Regime 1 in Parameterform (odirekte Bemessung):

Bedingung, damit Fliessregime 1 massgebend wird (kein Betonbruch):

NB:

oGrösse von fcsiehe Stahlbeton III. Näherung gemäss SIA 262 : fc= k_cf_cd(mit kc= 0.55) oNeigung des Betondruckfelds im Regime 1 folgt aus:

oWert k cotDtheoretisch frei wählbar, in Bemessungsnormen oft Bedingung 0.5 ൑ ݇ ൑2

oVerwendung von k 1, d.h. D 45°: «linearisierte Fliessbedingungen», in vielen FE-Programmen implementiert. Sichere Bemessung, aber nur eine von vielen Möglichkeiten (bei separater Grenzwertbildung für n_x, n_y,n_xyu.U. stark auf sicherer Seite)

2

1 _xz ( _sx _sx _x)( _sz _sz _z) 0

Y n a f n a f n cot

k D ^sx ^sx ^x ₁^xz

sz sz z xz

a f n k n a f n k n

t t

c sx sx sz sz x z

hf ta f a f n n

cot2D (a f_sx _sxn_x) (a f_sz _szn_z)

(18)

18 Wiederholung aus Stahlbeton I: Bemessung orthogonal bewehrter Scheibenelemente in Regime 2

Scheibenelemente – Fliessbedingungen

Stegdruckbruch (Regime 2)

Ist die Bedingung nicht eingehalten,

liegt eine Bruchart vor, bei welcher der Beton auf Druck versagt.

Praktisch relevant ist insbesondere bei Trägern das Regime 2, welches

in Fällen mit vorliegt.

oBruchart: Fliessen der z-Bewehrung mit gleichzeitigem Betondruckbruch heisst Stegdruckbruch(«web crushing») oSchubwiderstand des Scheibenelements lässt sich als

Viertelkreisbogen darstellen

oBegrenzungen für cotDentsprechen im Diagramm Geraden

NB: Darstellung rechts = Projektion der Fliessfigur in die Ebene (n_z, n_xz), um Betrag aszf_yzverschoben

(n_x= verallgemeinerte Reaktion)

D D

c sx sx sz sz x z

hf ta f a f n n

sx sx x sz sz z

a f n !a f n

Regime 2 Regime 4

c 2 hf

nxz

sz sz z

a f n

c 2 hf cotD 0.5 cotD 2.0

nz

nxz

nx

Projizierter Schnitt