Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 15 9. 2.2001
Losungsvorshlage
1. Darstellungen der Æ-Funktion (6Punkte)
(a)
lim
!0 1
2 Z
1
1
dt(t t
0
+)(+t
0
t)(at+b)
=lim
!0 1
2 Z
d(a+at
0
+b) =lim
!0 1
2 h
a
2
2
+(at
0 +b)
i
=
=lim
!0 1
2 2(at
0
+b)=at
0 +b
(b)
lim
!0 1
Z
1
1 dt
(at+b)
2
+(t t
0 )
2
=lim
!0
Z
1
1 d
a +(at
0 +b)
2
+ 2
=lim
!0 lim
T!1
a
2 ln(
2
+ 2
)+ at
0 +b
artan
T
= T
=lim
!0 at
0 +b
lim
T!1
2artan T
=lim
!0 (at
0
+b)=at
0 +b
x x
2. Fouriertransformation(5Punkte)
Dieinverse Fouriertransformationistdurh
~
f()= Z
1
1 dt
2 e
it
f(t)
~
f()=0
(b)
~
f()= Z
1
0 dt
2 e
(+i)t
= 1
2 1
+i
()
~
f()= Z
t
0
t
0 dt
2 e
it
= 1
2i e
it0
e it0
= sint
0
(d)
~
f()=lim
!0 Z
0
1 dt
2 e
( i)t
+ Z
1
0 dt
2 e
(+i)t
= 1
2 lim
!0
1
i
+ 1
+i
= 1
lim
!0
2
+ 2
Æ()
(vgl. Aufg. 1b). Dies isttatsahlih dieLosung, denn
Z
1
1 de
it
~
f()= Z
1
1 de
it
Æ()=e 0
=1:
3. ErzwungeneShwingung mitReibung (9Punkte)
(a)
0=x+2x_ +! 2
x f(t)
= Z
1
1 d
d 2
dt 2
e it
~
x ()+2 d
dt e
it
~
x ()+! 2
e it
~
x() e it
~
f()
= Z
1
1 de
it
( 2
+2i+! 2
)~x()
~
f()
Die KlammeristalsodieFouriertransformierteder Null;nahAufg.2aistdas die
Null selbst:
( 2
+2i+! 2
)~x()
~
f()=0
also
~ x ()=
~
f()
2 2
~
f()=q sint
0
! x ()~ =q
sint
0
(!
2
2
+2i)
! x(t)= q
Z
1
1 d
e it
sint
0
(!
2
2
+2i)
= q
2i Z
1
1 d
e i(t+t
0 )
e i(t t
0 )
(!
2
2
+2i)
() Mit den angegebenen Ersetzungen lautet dieLosung
x(t)= q
2i!
2 Z
1
1 dz
e iz(+
0 )
e iz(
0 )
z(1 z 2
+2iz)
; =!t:
Bei z = 0 hat diese Funktion keinen Pol, weil lim
z!0 sinaz
z
endlih ist. Die beiden
Poleliegen bei
z 2
2iz 1=0; also z
1;2
=i p
1 2
;
also oberhalbder reellen Ahse. (NahVoraussetzung gilt<1.)
(d) Wenn man den Integrationsweg in der komplexen z-Ebene unterhalb der reellen
Ahse shlieenkann,werden keine Poleeingeshlossen, und das Integral istNull.
Das geht nur, falls
+
0
<0 und
0
<0;
also x(t) = 0 fur <
0
bzw. t < t
0
. Dann geht namlih fur Imz ! 1 der
Exponentialfaktor
e iz(
0 )
!0;
so da das Integral
uber einen groen Halbkreis vershwindet. Dies entspriht
einer beliebigen Anfangsbedingung bei t = 1: Wegen der Dampfung ist die
Shwingung beiendlihen Zeitenin jedem Fallausgestorben. Durh dieAnregung
beit = t
0
entsteht eine gedampfte Shwingung um x
0
=q=!
2
,die bei t=t
0 als
Shwingung um x =0erneut angeregt wird und dann furt!+1 ausklingt.
