KIT WS 2016/17
Moderne Theoretische Physik II
V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. M. Rauch
Ubungsblatt 10 ¨
Abgabe: Fr, 13.01.17 Besprechung: Di, 17.01.17
Aufgabe 29: Helium-Atom (6+5+1=12 Punkte)
Betrachten Sie ein Helium-Atom, gegeben durch H = ~p21
2m + ~p22
2m − 2e2
4π0r1 − 2e2 4π0r2
| {z }
H0
+ e2 4π0r12
| {z }
V
,
wobei r1,2 =|~x1,2| und r12=|~x1−~x2|.
Betrachtet man nur H0, so ist die L¨osung das Produkt zweier Wasserstoffwellenfunktionen ψ mit Z = 2. Da die Elektronen Fermionen sind, m¨ussen wir aber noch passend symme- trisieren, um eine total antisymmetrische Wellenfunktion zu erhalten, sodass sich
ϕ(~x1, ~x2) = 1
√2
ψ100(~x1)ψnlm(~x2)±ψ100(~x2)ψnlm(~x1) f¨ur
(s= 0 s= 1
ergibt, wenn ein Elektron im Grundzustand und das andere in einem angeregten Zustand ist.
Nun f¨ugen wir V als St¨orung zu H0 hinzu und beschr¨anken uns auf den Fall n= 2, l = 1.
(a) Berechnen Sie das “Coulomb-Integral“
I = Z
d3x1d3x2|ψ100(~x1)|2|ψ21m(~x2)|2 e2 4π0r12 . (b) Berechnen Sie das “Austauschintegral”
J = Z
d3x1d3x2ψ100(~x1)ψ21m(~x2) e2
4π0r12ψ100∗ (~x2)ψ21m∗ (~x1).
(c) Benutzen Sie die beiden Integrale und dr¨ucken damit die Gesamtenergie des (1s)(2p)- Zustands f¨ur beide Spinkonfigurationen in erster Ordnung St¨orungstheorie durch die Feinstrukturkonstante α, den Bohrradiusa0 sowie~caus.
Hinweis:
Verwenden Sie f¨ur die beiden Integrale die Identit¨aten 1
r12 = 1
|~x1−~x2| = 1
pr21+r22 −2r1r2cosγ =
∞
X
l=0
r<l
rl+1> Pl(cosγ), wobei (r< = min(r1, r2), r>= max(r1, r2)), sowie
Pl(cosγ) = 4π 2l+ 1
l
X
m=−l
Ylm∗(Ω1)Ylm(Ω2)
und die Orthogonalit¨atsrelationen der Kugelfl¨achenfunktionen. Setzen Sie, um letztere aus- nutzen zu k¨onnen, die explizite Form der Kugelfl¨achenfunktionen in den Wellenfunktionen zun¨achst noch nicht ein.
N¨utzliche Integrale:
Z
dx xe−ax=−e−ax
a2 (ax+ 1),
Z ∞
0
dx xne−ax= n!
an+1 f¨ur a >0, ganzzahliges n >0, Z
dx x2e−ax=−e−ax
a3 (a2x2+ 2ax+ 2).
Aufgabe 30: Propagator des harmonischen Oszillators (1+4+2+1=8 Punkte) Wir untersuchen den Propagator hqf, T|qi,0i eines eindimensionalen Systems.
(a) Zeigen Sie aufgrund der Vollst¨andigkeit der Energieeigenzust¨ande |ni zur Energie En des Systems, dass
hqf, T|qi,0i=X
n
ϕn(qf)ϕ∗n(qi)e−iEnT~ , (1) wobeiϕn(q) =hq|ni.
(b) Der Propagator des harmonischen Oszillators kann aus der Pfadintegraldarstellung berechnet werden und lautet
hqf, T|qi,0i=h mω 2πi~sinωT
i12 exp
imω 2~sinωT
(qf2+qi2) cosωT −2qiqf
. (2) Bestimmen Sie hieraus die Grundzustandswellenfunktionϕ0(q). Betrachten Sie dazu imagin¨are Zeiten T =−it, t→+∞und vergleichen Sie Gl. (1) und (2).
(c) Bestimmen Sie die Wellenfunktion ϕ1(q) des ersten angeregten Zustands.
(d) Zeigen Sie aus Gl. (1) und (2), dass die Energieniveaus En=~ω(n+ 12) lauten.
Frohe Festtage und einen guten Rutsch ins Neue Jahr!
