KIT WS 2016/17
Moderne Theoretische Physik II
V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, ¨U: Dr. M. Rauch
Ubungsblatt 1 ¨
Besprechung: Di, 25.10.16
Webseite zur Vorlesung: https://www.itp.kit.edu/~rauch/TheoE/
Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator mit dem Hamilton-Operator H = 1
2mp2+mω2
2 x2 mit [x, p] =i~.
Zum ¨Ubergang in die Energiedarstellung definiert man zweckm¨aßig die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a†, a als
a= 1
√ 2~
√
mωx+ i
√mωp
, a† = 1
√ 2~
√
mωx− i
√mωp
.
(a) Berechnen Sie den Kommutator [a, a†].
(b) Dr¨ucken SieH, x und p durch a, a† und N =a†a aus.
(c) Angewandt auf Energiezust¨ande|niwirkena†,aals Erzeugungs- und Vernichtungs- operatoren, weil a†|ni=c0|n+ 1i und a|ni=c|n−1i. Bestimmen Sie die beiden Konstanten cund c0.
(d) Berechnen Sie schließlich die Matrixelemente vonxund pin der Energiedarstellung, also xmn =hm|x|ni und pmn=hm|p|ni.
Aufgabe 2: Anharmonischer Oszillator
Nun f¨ugen wir zum harmonischen Oszillator aus Aufgabe 1 einen weiteren, zeitunabh¨angi- gen Term hinzu,
Ha=c·~ω·
r2mω
~
!3
·x3 der als kleine St¨orung gegen¨uber H angenommen werden soll.
Berechnen Sie die erste nichtverschwindende Korrektur zu den Energieeigenwerten.
K¨onnen Sie cso w¨ahlen, dass Ha tats¨achlich stets eine kleine Korrektur ist?
Aufgabe 3: Evolution des harmonischen Oszillators im Schr¨odinger-Bild
Der eindimensionale Oszillator aus Aufgabe 1 sei zur Zeitt = 0 durch den Zustand
|ϕ(0)i= 1
√2(|0i+|1i)
in der Energiedarstellung gegeben. Berechnen Sie unter Zuhilfenahme Ihrer Ergebnisse aus Aufgabe 1
hHi,hxi,hpi, x2
, p2
,(∆x)2,(∆p)2
zu beliebigen Zeitent >0 und ¨uberpr¨ufen Sie schließlich die Unsch¨arferelation.
Aufgabe 4: Rechnen mit Vektoren im Hilbertraum
Die Vektoren |v1i, |v2i bilden ein vollst¨andiges Orthonormalsystem in einem zweidimen- sionalem Hilbertraum H. Darin sind ebenfalls die Vektoren
|ϕi= (3−i)|v1i+ (1 + 2i)|v2i , |χi= (1 +i)|v1i+ (1−i)|v2i gegeben.
(a) Berechnen Sie das Skalarprodukthχ|ϕi.
(b) Bestimmen Sie die Komponenten von |ϕi und |χi bez¨uglich der orthonormierten Vektoren
|u1i= 1
√2|v1i+ i
√2|v2i , |u2i= −i
√2|v1i − 1
√2|v2i .
(c) Gegeben sei ein linearer Operator A auf dem gleichen Hilbertraum. Zeigen Sie am obigen Beispiel explizit, dass die Spur unabh¨angig von der gew¨ahlten Basis ist, also dass
TrA = X
i=1,2
hvi|A|vii= X
i=1,2
hui|A|uii .
(d) ProjektorenPi auf Unterr¨aume Hi haben die EigenschaftenPi2 =Pi und P
iPi = 1 (Vollst¨andigkeit), falls dieHiden gesamten RaumHaufspannen. Betrachten Sie nun die Projektoren Pu =|u1i hu1|und Pv =|v1i hv1|. Bestimmen Sie die Komponenten von Pu bez¨uglich |vii und die von Pv bez¨uglich |uii. Schreiben Sie schließlichPu in der Basis |vii.
(e) Zeigen Sie die Eigenschaft der Spur eines Operators aus Teil (c) nun allgemein in einem Hilbertraum beliebiger Dimension.
