Grundlagen der theoretischen Informatik

Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik

M.Ed. Dennis Peuter 12. Juli 2018

Übung zur Vorlesung

Grundlagen der theoretischen Informatik

Aufgabenblatt 12 Lösungen

Aufgabe 12.1

Sei M = (K,Σ,∆, s) eine indeterminierte Turingmaschine (NTM). Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

M hält bei Eingabe von w gdw. es unter den möglichen Rechnungen von M genau eine Rechnung gibt, so dass M eine Haltekonguration erreicht.

richtig falsch Mhängt bei Eingabe vonwgdw. es unter den möglichen Rechnungen von

M mindestens eine Rechnung gibt, so dass eine Konguration erreicht wird, für die es keine Nachfolgekonguration (deniert durch∆) gibt.

richtig falsch M akzeptiert ein Wort w gdw. es mindestens eine Rechnung gibt, so

dass von der Startkongurations,#w#eine Haltekonguration erreichbar ist.

richtig falsch Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Eine Sprache L heiÿt akzeptierbar gdw. es eine indeterminierte 5-Band TuringmaschineMgibt, dieL akzeptiert.

richtig falsch Jede Sprache, die von einer indeterminierten Turing-Maschine akzeptiert

wird, wird auch von einer Standard-DTM akzeptiert.

richtig falsch

SeiM= (K,Σ, δ, s)eine DTM. Es gilt: Σ⊆Σ∞. richtig falsch

SeiL eine entscheidbare Sprache. Es gibt eine DTM M, die L aufzählt. richtig falsch

Jede rekursiv aufzählbare Sprache ist auch entscheidbar. richtig falsch

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Aufgabe 12.2

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Sein∈N eine natürliche Zahl. Es gibt eine DTMM mitˆg(M)> n. richtig falsch

Seiw ein Gödelwort. w beschreibt genau eine Turingmaschine. richtig falsch

SeienL1,L2 Sprachen,L16=L2 undL1L2. Dann gilt stets: L26L1. richtig falsch

L₀ ist abgeschlossen gegen Komplementbildung. richtig falsch

L₀ ist abgeschlossen gegen Durchschnitt. richtig

falsch

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Aufgabe 12.3

Entscheiden Sie für jedes der folgenden Probleme, ob Sie entscheidbar sind oder nicht. Begrün- den Sie Ihre Antwort.

Hinweis: M_n bezeichnet die Turingmaschine mit Gödelnummer n. Die Unentscheidbarkeit der Halteprobleme dürfen Sie verwenden.

a) P₁ :={n∈N|M_n hält nicht bei leerer Eingabe}, Lösung:

Das Komplement einer entscheidbaren Sprache ist entscheidbar. SeiP₁ entscheidbar, dann wäre auchH₀ entscheidbar. Widerspruch.

b) P₂ := {(n, w) ∈ N×Σ^∗ | M_n erreicht bei Eingabe von w (abgesehen von s,#w#) eine weitere Konguration, in der der Schreib-/Lesekopf auf einem#steht}

Lösung:

Das Problem ist entscheidbar. Sei M := Mn = (K,Σ, δ, s). Wir beobachten: Wenn M nach der Anfangskonguration nie mehr ein Blank betritt, kann der Kopf das Eingabewort auch nie verlassen, da jenseits davon nur Blanks stehen. Daher können wir die Anzahl der möglichen Kongurationen vonM nach oben abschätzen: Istwdie Eingabe, so gibt es nur m:= (|K|+ 1)· |w| · |Σ|^|w|Kongurationen, dieM annehmen kann, ohne das Eingabewort zu verlassen.

Wir konstruieren eine TMM⁰, die das Problem entscheidet: M⁰ simuliertM, zählt nebenbei aber jeden Schritt mit. Nach jedem Schritt prüftM⁰, obM auf einem Blank steht. Wenn ja, dann hält M⁰ mit Ausgabe Y . Erreicht der Zähler irgendwann den Wertm+ 1(dabei istm =f(|w|) für eine TM-berechenbare Funktion f ), so muss eine Konguration in der bisherigen Rechnung vonM doppelt vorgekommen sein. Daher ist M in einer Schleife und wird nie halten. M⁰ bricht die Simulation von M ab und gibtN aus. Damit entscheidetM⁰ das Problem.

Aufgabe 12.4

Seien L₁, L₂, L₃ Sprachen, wobei L₂ rekursiv aufzählbar und L₃ entscheidbar ist. Beweisen oder widerlegen Sie:

1. Falls L₁ ⊆L₃, istL₁ entscheidbar.

2. Falls L₃ ⊆L₁, istL₁ entscheidbar.

3. Falls L1 ⊆L2, istL1 rekursiv aufzählbar.

4. Falls L2 ⊆L1, istL1 rekursiv aufzählbar.

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Lösung:

Wir widerlegen alle Aufgabenteile. Wir wählen L₁ = H, das Komplement des speziellen Hal- teproblems. H ist nicht rekursiv aufzählbar und nicht entscheidbar. Für die Aufgabenteile 1) und 3) sei L2 = L3 = Σ^∗, für 2) und 4) sei L2 =L3 = ∅. Beide Mengen sind entscheidbar (und damit rekursiv aufzählbar).

Aufgabe 12.5

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

IstLin P und LNP-hart, dann ist P =N P. richtig

falsch

Jedes NP-vollständige Problem ist auch NP-hart. richtig falsch

Jedes NP-harte Problem ist auch NP-vollständig. richtig falsch

Jedes Problem aus P liegt auch in NP. richtig

falsch

Jedes NP-harte Problem liegt auch in NP. richtig

falsch

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