Grundlagen der theoretischen Informatik

Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik

Dennis Peuter 18. Mai 2017

Übung zur Vorlesung

Grundlagen der theoretischen Informatik

Aufgabenblatt 5

Aufgabe 5.1

Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: In den Übungsblättern gibt es keine Punkte. In der Klausur würde nun so etwas stehen:

Für die Aufgabe gibt es insgesamt 6 Punkte. Für jedes falsche Kreuz werden 2 Punkte abge- zogen. Dabei werden jedoch nie weniger als 0 Punkte für diese Aufgabe vergeben.

wahr falsch Die Grammatik, deren Regelmenge als einzige RegelS →εenthält, erzeugt

dieselbe Sprache wie die Grammatik mit leerer Regelmenge.

Um zu beweisen, dass eine Sprache L nicht regulär ist, genügt es, eine

kontextfreie Grammatik fürL anzugeben.

Um zu beweisen, dass eine SpracheLnicht regulär ist, genügt es, zu zeigen,

dass das L₃-Pumping-Lemma fürL nicht gilt.

Aufgabe 5.2

Zeigen oder widerlegen Sie:

a) Zu jedem determinierten endlichen Automaten A gibt es einen determinierten endlichen Automaten A⁰, mitL(A) =L(A⁰) undA⁰ hat nur einen nalen Zustand.

b) Zu jedem indeterminierten endlichen AutomatenAgibt es einen indeterminierten endlichen Automaten A⁰, mitL(A) =L(A⁰) undA⁰ hat nur einen nalen Zustand.

Aufgabe 5.3

Gegeben sei die Grammatik G= ({S, A},{a, b}, R, S) mit R ={S →ε|aS|bA,

A→aS}

Grundlagen der theoretischen Informatik SS2017 Blatt 5

a) Geben Sie einen indeterminierten endlichen Automaten mit ε-Kanten an, der L(G) akzep- tiert. Verwenden Sie dafür die im Beweis für den Satz von Kleene vorgestellte Konstruktion.

b) Wandeln Sie den indeterminierten endlichen Automaten mit ε-Kanten aus Aufgabenteil a) in einen indeterminierten endlichen Automaten ohneε-Kanten um.

c) Wandeln Sie den indeterminierten endlichen Automaten aus Aufgabenteil b) in einen deter- minierten endlichen Automaten um.

Aufgabe 5.4

Zeigen oder widerlegen Sie: Die folgenden Sprachen über dem AlphabetΣ ={a, b, c, d, e}sind regulär.

Hinweis: Falls die Sprache regulär ist, geben sie eine rechtslineare Grammatik, einen regulären Ausdruck oder einen endlichen Automaten an. Ein Beweis, dass dieser der gegebenen Sprache entspricht, ist nicht erforderlich. Falls die Sprache nicht regulär ist, zeigen Sie dies mithilfe des Pumping-Lemmas fürL₃ (Variante Ihrer Wahl).

a) L₁ ={wuw^R|w∈ {a, b, c}⁺∧u∈ {a, b, c}^∗} b) L2 ={wuw^R|w∈ {a, b}⁺∧u∈ {c, d, e}^∗} c) L3 ={a^mbⁿ|m≥n≥0}

d) L4 = n

aⁿ²|n∈N0

o

Aufgabe 5.5

Gegeben sei der folgende determinierte endliche Automat A= ({S, A, F},{0,1}, δ, S,{F}):

S A F

1

0

1 0

0

1

Geben Sie einen determinierten endlichen Automaten A_¬ an, mitL(A_¬) =L(A).

Aufgabe 5.6

Geben Sie einenε-NDEA an, der die von dem regulären Ausdrucka+c(ba)^? erzeugte Sprache akzeptiert. Gehen Sie dabei wie im Beweis des Hauptsatzes von Kleene vor.

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