AbgabebisDonnerstag,27.Juni2019,12.00UhrimPostfachIhrerTutorin/IhresTutors(V3-128)ErreichbarePunktzahl:20 BlattVIIIvom21.Juni2019 Übungsaufgabenzu Geometrie(Gym/Ge)

Abgab e bis Do nner stag, 27. J u ni 2019, 12.00 Uhr im P ost fa c h Ihre r T u torin/Ihres T utors (V3-128)

Erreichbare Punktzahl: 20

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2018 Universität Bielefeld

Übungsaufgaben zu Geometrie (Gym/Ge) Blatt VIII vom 21. Juni 2019

Aufgabe VIII.1 (5 Punkte)

Wiederholen Sie die Erläuterung aus der Vorlesung, wie man zwei Punkte in einer projekti- ven Ebene miteinander multipliziert. Beziehen Sie sich bei Ihrer Konstruktionsbeschreibung auf die folgende Grafik.

In den folgenden Aufgaben dürfen Sie alle Sätze und Methoden aus der Euklidischen bzw.

der Schulgeometrie verwenden.

Aufgabe VIII.2 (5 Punkte)

Betrachtet werde ein Dreieck ABC und ein beliebiger Punkt M auf der Seite BC. Konstruieren Sie elementargeometrisch einen PunktN auf dem Dreiecksrand derart, dass die Strecke M N das DreieckABC in zwei gleich große Flächen unterteilt.

Hinweis: Der Mittelpunkt P von BC hilft bei den Betrachtungen

Aufgabe VIII.3 (5 Punkte)

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a, b, cund den gegenüberliegenden Eckpunkten A, B, C. Sei P der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Beweisen Sie folgende Formel für den Abstand dieses Punktes zu den Eckpunkten des Dreiecks:

|AP|²= 2(b²+c²)−a² 9

Beweisen Sie eine analoge Formel fur den Abstand|AQ|² zum SchnittpunktQder Höhen.

Hinweis: Der Einfachheit halber bezeichnen wir mit a, b, c sowohl die Seiten als auch deren Längen.

Aufgabe VIII.4 (5 Punkte)

Wir betrachten ein Dreieck mit den typischen Bezeichnungen. Beweisen Sie die folgenden Formeln.

b+c a sin α

2

= cos β−γ 2

, b−c

a cos α 2

= sin β−γ 2

2