Abgab e bis Do nner stag, 01.06.17, 10 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2017 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen Blatt VI vom 25.05.17
Aufgabe VI.1 (3+3+3 Punkte)
a) Bestimmen Sie jeweils allex∈R, sodass die in der Gleichung auftretenden Ausdrücke definiert sind. Bestimmen Sie im Anschluss die Lösungen x∈Rder Gleichungen.
(i) 3 sin2(x) + 2 cos2(x) = 2, (ii) e3x−e−x= 0.
Hinweis: Bei Aufgabenteil (ii) ist eine geeignete Substitution hilfreich.
b) Bestimmen Sie alle x, y∈R, sodass die in der Gleichung auftretenden Ausdrücke definiert sind. Geben Sie jeweils eine Lösung x, y ∈ R der Gleichung für n = 1, n= 2 und n= 3 an.
xn+1x2n−7yn+1
x2n−6y = 8, n∈N.
c) Seien a > 0 und x ∈ R. Bestimmen Sie alle x ∈ R, sodass die in der Gleichung auftretenden Ausdrücke definiert sind. Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen x∈R der Gleichung für a= 2, a= 3 und a= 5.
1
3loga(x)−1
9loga(x3) + 2 loga(x)−1
4loga(x4) = 2.
Aufgabe VI.2 (2+1+2 Punkte)
Durch kosmische Strahlung entsteht auf der Erde in geringen Mengen das radioaktive Isotop Beryllium-7. Es besitzt eine Halbwertszeit von 53 Tagen.
a) Bestimmen Sie auf vier Nachkommastellen genau die Zerfallsrate im exponentiellen Zerfallsgesetz, wobei vereinbart wird, dass die Zeit in Tagen gemessen wird. Stellen Sie das Zerfallsgesetz auf.
b) Nach welcher Zeitspanne sind 80% der ursprünglich vorhandenen Menge an Beryllium- 7 zerfallen?
c) Zu Beginn eines Experiments sind zwei identische Mengen der radioaktiven Isotope Beryllium-7 und Radon-222 vorhanden. Nach 10 Tagen hat sich das Verhältnis von Radon-222 zu Beryllium-7 auf 18,6 % gesenkt. Bestimmen Sie die Halbwertszeit von Radon-222.
Aufgabe VI.3 (3+3 Punkte)
a) Bestimmen Sie a∈Rderart, dass xein Vektor der Länge1 ist.
x= 1 7√
3 ·
2 −5 5
2 1 a
a 3 1
·
−4 1 4
.
b) Fürn∈Ndefinieren wir die n-te Potenz einer quadratischen MatrixA durch An=A·A· · · · ·A
| {z }
n-mal
.
Sei die Matrix A∈R2×2 gegeben durch
A= 0 1
1 0
.
Berechnen Sie A2, A3, und A4 und leiten Sie eine allgemeine Formel für An her, indem Sie eine geeignete Fallunterscheidung fürn∈Ndurchführen.
2
