Abgab e bis Don ner st ag, 9. Mai 2019, 12 .00 Uhr im P ostfac h Ihrer T utorin/ Ihr es T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2018 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Geometrie (Gym/Ge) Blatt IV vom 2. Mai 2019
Aufgabe IV.1 (2+2 Punkte)
(a) Geben Sie a, b, c an, so dass die durch ax+by+cz = 0 beschriebene Ebene die Punkte (1,2,3)und(1,1,1)enthält.
(b) Berechnen Sie die Geradengleichung für die Schnittgerade der Ebenen, die durch x+ 2y+ 3z= 0 undx+y+z= 0 gegeben sind.
Aufgabe IV.2 (3 Punkte)
Seien A, B, C, D vier kollineare Punkte mit der Eigenschaft, dass D harmonisch zu C bzgl. zu AB ist. Zeigen Sie mit Hilfe einer geometrischen Überlegung1, dass dann auch B harmonisch zuAbzgl. CD ist.
Aufgabe IV.3 (2+2+2+2+5 Punkte)
Wir betrachten ein Tupel (P, G). Die Elemente vonP nennen wir Punkte. Die Elemente vonG nenen wir Geraden. P sei definiert als die Menge der Punkte (x, y) ∈R2.Gsei definiert als die Menge der folgenden Linien in R2:
{(x, y)|x=x0} für x0 ∈R [vertikale Gerade], {(x, y)|y=y0} für y0∈R [horizontale Gerade],
{(x, y)|y=mx+b}für b∈R, m >0 [Gerade mit positiver Steigung], {(x, y)|y=mx+bfallsx≤0 und y= 2mx+bfallsx >0}für b∈R, m <0
[abknickende Gerade mit negativer Steigung],
(a) Zeigen Sie, dass es zu zwei Punkten genau eine Gerade gibt, auf der die beiden Punkte liegen.
(b) Berechnen Sie den Punkt auf dery-Achse, in dem die Gerade zwischen den beiden Punkten (1,1)und (−1,4)die y-Achse schneidet.
(c) Seiena, b >0 und c <0, d > b. Berechnen Sie den Punkt auf dery-Achse, in dem die Gerade zwischen den beiden Punkten(a, b) und (c, d) diey-Achse schneidet.
(d) Geben Sie vier Punkte mit der Eigenschaft an, dass keine drei von ihnen auf einer Geraden liegen.
(e) Zeigen Sie, dass der Satz von Desargue hier nicht gilt.
1Eine Verwendung von Doppelverhältnissen ist hier nicht zugelassen
