Abgab e bis Do nner stag, 06.06.19, 16 Uhr im P o stfac h Ihrer T utorin/Ihres T utors (V3-128)
Erreichbare Punktzahl: 20
Tim Schulze
Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2019 Universität Bielefeld
Übungsaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen Blatt IX vom 30.05.19
Aufgabe IX.1 (2+2 Punkte)
(a) Bestimmen Sie alle Lösungenx∈Rder Gleichung sin(x)−cos2(x) = 1.
(b) Bestimmen Sie alle Zahlenx∈R, die
sin (|x|) =
√2
2 erfüllen.
Aufgabe IX.2 (2+2 Punkte)
Bauer Biochef entdeckt ein Schädlingsproblem auf seinem Rapsfeld. Er zählt zu Beginn seiner Beobachtung auf einem Quadratmeter50Schädlinge und weiß, dass eine Fläche von200 m2 befallen ist. Es ist bekannt, dass jeder Schädling1,2 g Blätter pro Tag frisst.
Des Weiteren vermehren sich die Schädlinge in den nächsten 30Tagen exponentiell bei einer Verdopplungszeit von5 Tagen.
(a) Die Schädlingsmenge S(t) prom2, die nachtTagen vorhanden ist, lässt sich durch eine Funktion1 S : [0,30]→R beschreiben. Bestimmen Sie den Funktionsterm vonS.
(b) Berechnen Sie die in den ersten 15Tagen nach Beginn der Beobachtung abgefressene Blattmasse.
Aufgabe IX.3 (2+1+3 Punkte)
Sie zahlen 5000EUR auf ein Konto ein. Die Bank verzinst das Guthaben jedes Jahr mit 4%. Der Zinsertrag wird ihrem Konto gutgeschrieben.
(a) Nach wie vielen Jahren erreicht Ihr Kontostand 10000 EUR?
(b) Bei welchem Zinssatz würde sich Ihr Kapital nach 7 Jahren verdoppelt haben?
(c) Wir gehen wieder von einem Zinssatz von 4% aus. Wie groß ist der Kontostand nach 20Jahren, wenn Sie nach einem Jahr und danach jedes Jahr einmal10 EURabheben?
1In der Praxis ist S natürlich stets eine rationale Zahl. Als Modellannahme wollen wir aber S wie angegeben vereinbaren.
Aufgabe IX.4 (2+2+2 Punkte, +3 Bonuspunkte für Teilaufgabe (d)) Betrachtet wird die Funktion f : [0,4]→R, f(x) = (x2−x−5)ex−1. (a) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte vonf.
(b) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton fällt und die Intervalle, in denen die Funktion monoton wächst.
(c) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema vonf mit den zugehörigen Funkti- onswerten.
(d) Besitzt die Funktion g : (−∞,4]→R, g(x) = (x2−x−5)ex−1 dieselben lokalen und globalen Extrema wief? Falls Nein, geben Sie alle zusätzlichen Extrema mit den zugehörigen Funktionswerten an.
2
