Grundfragen des Mathematikunterrichts

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Grundfragen des Mathematikunterrichts

Didaktische Prinzipien (2), Grundformen mathematischen Arbeitens (1) (2019-04-29)

Maja ˇCeti´c / Kora Deweis-Weidlinger / Andreas Vohns

Sommersemester 2019

¨Ubersicht

Didaktische Prinzipien

Im Fokus: Ankn¨upfen an Vorwissen & Aufbau von Grundvorstellungen Im Fokus: Orientierung an fundamentalen / zentralen / globalen Ideen

Grundformen mathematischen Arbeitens

¨Uberblick

Sneak preview: Standards & Kompetenzen

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Didaktische Prinzipien Vorwissen / Grundvorstellungen 2019S 3

Grundvorstellungen: Zur Einstimmung

Aufgabe:

Ein Kilogramm Mandarinen kostet 3,25 Euro. Kerstin will sich 0,5 kg kaufen.

a) Was muss sie zahlen?

b) Berechne die gleiche Aufgabe auch f¨ur folgende Werte:

1,50 e 1,5 kg 3,30 e 2,5 kg 3,20 e 0,6 kg

Lillys L¨osungsweg:

a) 3,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ≈ 0,13 Sie muss 0,13 € zahlen.

Jans L¨osungsweg:

a) 3,25 : 0,5 32,5 : 5 = 6,5 30

2,5 25

0 Sie muss 6,50 € zahlen.

Grundfragen des Mathematikunterrichts

Grundvorstellungen: Zur Einstimmung

Aufgabe:

Ein Kilogramm Mandarinen kostet 3,25 Euro. Kerstin will sich 0,5 kg kaufen.

a) Was muss sie zahlen?

b) Berechne die gleiche Aufgabe auch f¨ur folgende Werte:

1,50 e 1,5 kg 3,30 e 2,5 kg 3,20 e 0,6 kg

Lillys L¨osungsweg:

2 Aufgabe:

Lillys Lösungsweg (später handschriftlich einbauen): Jans Lösungsweg:

a) 3,25 ⋅ 0,5 = 0,125 ≈ 0,13 Sie muss 0,13 € zahlen.

a) 3,25 : 0,5 32,5 : 5 = 6,5 30

2,5 25

0 Sie muss 6,50 € zahlen.

Kasten 1: Fehler können unterschiedlich sein!

Gleichwohl muss den individuellen, offenen Annäherungen immer auch ein Prozess der Regularisie- rung folgen, in dem die aus fachlicher Sicht tragfähigen Konzepte als Norm für alle Lernenden ver- bindlich festgehalten und etabliert werden. Wenn eine Schülerin oder ein Schüler diese auch nach einem unterrichtlichen Aushandlungsprozess nicht aktivieren kann, ist es selbst in einer konstruktivis- tischen Perspektive angemessen, von einem Fehler zu sprechen – andernfalls würden die Unterrichts- ziele in unverbindlicher Offenheit verstanden.

Kasten 1 zeigt zwei typische Beispiele für falsche Lösungen einer Aufgabe. Obwohl die Unter- richtsstunde eigentlich auf Proportionalität zielt, verweisen die Fehler von Lilly und Jan auf andere Bereiche. Um damit als Lehrkraft in einer Unterrichtssituation adäquat umgehen zu können, ist es wichtig, die Fehler zu verstehen und einzuordnen.

Fehlerphänomene und Fehlermuster

Unmittelbar zugänglich sind zunächst Fehlerphänomene. Sie fallen schon im alltäglichen Unterricht auf, und zwar sowohl in der mündlichen Kommunikation als auch in schriftlichen Aufgabenbearbei- tungen. Lilly multipliziert zwei Dezimalbrüche falsch, während Jan durch 0,5 dividiert, anstatt mit 0,5 zu multiplizieren.

Was zunächst wie ein Flüchtigkeitsfehler erscheinen könnte, hat auf den zweiten Blick eine innere Logik, auch wenn diese von der üblichen mathematischen Sicht abweicht. Man erkennt die innere Logik im Zusammenhang mit Lillys Lösungen zu den Aufgaben aus b.), die teils richtig, teils falsch gelöst sind:

a.) 3,25 ⋅ 0,5 = 0,125 b.) 1,50 ⋅ 1,5 = 1,250 3,30 ⋅ 2,5 = 6,150 3,20 ⋅ 0,6 = 0,120

Ein Kilogramm Mandarinen kostet 3,25 Euro. Kerstin will sich 0,5 kg kaufen.

a.) Was muss sie zahlen?

b) Berechne die gleiche Aufgabe auch für folgende Werte:

1,50 € 3,30 € 3,20 €

1,5 kg 2,5 kg 0,6 kg

Jans L¨osungsweg:

Es kann ein Fehlermuster identifiziert werden: Lilly multipliziert offenbar jeweils die Stellen vor dem Komma und die Stellen nach dem Komma getrennt miteinander, sie geht entsprechend dem bekannten

„Komma-trennt-Muster“ vor (s. Padberg 2002, S. 228).

Bei Jan zeigt sich, dass er immer dann korrekt multipliziert, wenn der Proportionalitätsfaktor grö- ßer als 1 ist, hingegen fälschlicher Weise dividiert, wenn er kleiner als 1 ist:

a.) 3,25 : 0,5 b.) 1,50 ⋅ 1,5 3,30 ⋅ 2,5 3,20 : 0,6

Die Identifizierung eines Fehlermusters wirft die Frage nach den tiefer liegenden Fehlerursachen auf.

Ein Flüchtigkeitsfehler liegt weder bei Lilly noch bei Jan vor. Da sich bei beiden ein klares Fehler- muster zeigt, handelt es sich jeweils um systematische Fehler.

Fehlerursachen

Eventuell hat Lilly eine falsche Regel für die Multiplikation von Dezimalzahlen automatisiert. So wie gemeine Brüche nach dem Schema „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“ multipliziert werden, überträgt sie dies auf Dezimalzahlen und die Stellen vor dem Komma sowie die Stellen nach dem Komma. Diese Fehlerursache wäre auf der syntaktischen Ebene zu verorten.

Oft sind tiefer liegende Ursachen für syntaktische Fehler aber auch auf der semantischen Ebene an- zusiedeln. Bei Lilly etwa könnte die falsche syntaktische Regel in einem noch unzureichenden Ver- ständnis von Dezimalzahlen begründet liegen. Ein Komma-trennt-Muster entwickeln oft diejenigen Schülerinnen und Schüler, welche die symbolische Darstellung von Dezimalzahlen nicht mit der in- haltlichen Bedeutung von Stellenwerten füllen, sondern die Stellen vor und nach dem Komma jeweils als eigenständige Zahlen auffassen. Syntaktische Fehler werden durch semantische Fehlkonzepte be- günstigt, und umgekehrt äußern sich Defizite im Bereich der Semantik häufig beim syntaktischen Ar- beiten (s. o.). Dies bedeutet, dass Fehlerursachen nicht selten auch auf einer anderen Ebene gesucht werden müssen, als die daraus resultierenden Fehlermuster.

Die Fehlerursachen erschließen sich deshalb vielfach erst im Gespräch. So auch bei Jan. Seine Antwort auf die Nachfrage, warum er so gerechnet hat, lautet: „Weil das Ergebnis muss ja kleiner werden.“ Dieses Konzept, dass die Multiplikation stets vergrößert und die Division stets verkleinert, wirft gerade beim Übergang von natürlichen Zahlen zu Bruchzahlen viele Probleme auf und ist hin- länglich bekannt (vgl. z.B. Hefendehl-Hebeker/Prediger 2006). Es erklärt das Fehlermuster der zuwei- len falschen Operationswahl zur Aufgabe b) aus Kasten 1, das bei Jan anzufinden ist.

Inwiefern liegt hier ein Fehler gemäß der eingangs zitierten Definition vor? Wo lässt sich eine Norm ausmachen, der Jans Denkprozess widerspricht? Die Norm ist hier durch die Grundvorstellun- gen zum Operieren mit Bruchzahlen gegeben (vgl. vom Hofe 2003, Prediger 2009). Jan gelingt es nicht, eine adäquate Grundvorstellung zu aktivieren; handlungsleitend ist vielmehr die intuitive Regel

„Multiplizieren vergrößert und Dividieren verkleinert.“

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Zur Einstimmung: Zwei Arten von Fehlern

Lilly:

É Auswahl der korrekten

Rechenoperation (korrekte Semantik der Rechenoperation)

É Manifester Fehler auf der syntaktischen

syntaktischen Ebene (Komma-Trennt-Strategie)

É Ursache des Fehlers Ursache des Fehlers kann selbst auf semantischer Ebene liegen

(Dezimalbruch als Erweiterung des Stellenwertsystems vs. zwei eigenst¨andige Zahlen)

Jan:

É Auswahl der falschen Rechenoperation, falls der Multiplikator kleiner als 1 ist.

É Manifester Fehler auf der semantischen

semantischen Ebene (falsche Rechenoperation/Operationslogik) É Ursache des Fehlers: Ursache des Fehlers:

” Weil das Ergebnis muss ja kleiner werden.“ (unzureichende

¨Ubertragung von impliziten

Vorstellungen aus dem Bereich der nat¨urlichen Zahlen)

Quelle: Prediger und Wittmann (2009)

Semantisches Verstehen: Grundvorstellungen

É Es gibt keine ” Stunde Null“: Mathematisches Lernen ist immer abh¨angig von Vorerfahrungen, ein kumulativer Prozess des Wissenserwerbs.

É Es gibt kein Denken ohne Vorstellungen: Jeder Aufgaben- bearbeitungs- oder Probleml¨oseprozess wird von intuitiven Vorstellungen oder Begleitannahmen beeinflusst.

É Unbewusste Vorstellungen (“tacit models”) sind gef¨ahrlich, weil sie falsch sein k¨onnen (ohne das man es merkt).

É Reines Regellernen (“instrumental understanding”) ist fehleranf¨allig, insbesondere dort, wo Adaptionen von Regeln erforderlich werden.

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Grundvorstellungen (GV)

É viele verschiedene Bezeichnungen (etwa: Vorstellungsbilder, Prototypen, Zahlaspekte, Operationsvorstellungen)

É Gemeinsamkeit: Mittlerrolle zwischen Individuum, Realit¨at und Mathematik

É Grundvorstellungen = inhaltliche Vorstellungen, die von einem Lernenden mit mathematischen Inhalten auf mentaler Ebene in Verbindung gebracht werden

É

repr¨asentieren das, was sich Lernende zu einem math. Inhalt vorstellen (auch: falsches, unbewusstes, “tacit models” vgl. Fischbein, 1989)

É

in neuen (Sach-)Situationen werden math. Verfahren durch GV erst anwendbar (Wiedererkennen verinnerlichter math. Strukturen)

Grundvorstellungen (GV): Beispiele

É Die Addition a + b als von a aus b mal 1 weiterz¨ahlen.

É Die Multiplikation a · b als fortgesetzte Addition b _| + . . . _{z + b _}

a Summanden

.

É Die Division a : b (a, b ∈ N ) als Verteilen einer Menge von a Objekten in b Teilmengen oder als Aufteilen in Teilmengen der M¨achtigkeit b

É Der Bruch ³ ₄ als

” Anteil eines Ganzen“ (z.B. ³ ₄ einer Pizza).

É Die Funktion als ” Zuordnung“: Jedem x ist eindeutig ein y zugeordnet.

É Das Integral als (unendliche) Summe von (unendlich kleinen) Produkten.

Bislang st¨arker diskutiert in Arithmetik, Algebra & Analysis,

weniger verbreitet in Stochastik & Geometrie

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Grundvorstellungen (GV): Aspekte nach vom Hofe (1995):

É Sinnkonstituierung eines Begriffs Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Ankn¨upfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenh¨ange bzw.

Handlungsvorstellungen,

É Aufbau entsprechender (visueller) Repr¨asentationen Aufbau entsprechender (visueller) Repr¨asentationen bzw.

” Verinnerlichungen“, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene (im Sinne Piagets) erm¨oglichen,

É Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der

mathematischen Struktur.

Grundvorstellungen (GV): Auspr¨agungen nach vom Hofe (2003):

É prim¨are GV: prim¨are GV:

entspringen direkt einer gegenst¨andlichen Handlungserfahrung und bringen einen bestimmten ” Erfahrungsbereich“ mit.

É sekund¨are GV: sekund¨are GV:

stammen ” aus der Zeit mathematischer Unterweisung“ und sind nicht mehr in erster Linie

” konkrete Handlungsvorstellungen“ sondern Vorstellungen, ” die zunehmend mit Hilfe von mathematischen Darstellungsmitteln wie Zahlenstrahl, Koordinatensystem oder Graphen repr¨asentiert werden.“

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GV als didaktische Kategorie

Normativ vs. deskriptiv

 als didaktische Kategorie des Lehrers, die im Hinblick auf ein didaktisches Ziel aus inhaltlichen Überlegungen hergeleitet wurde und Deutungsmöglichkeiten eines Sachzusammenhangs bzw. dessen mathematischen Kerns beschreibt,

 als individuelles Erklärungsmodell des Schülers, das in das System seiner Erfahrungsbereiche eingebunden und entsprechend aktivierbar ist

(vom Hofe, 1995)

Didaktische Prinzipien Fundamentale / zentrale / globale Ideen 2019S 12

Fundamentale Ideen

(auch: zentrale, universelle, globale, grundlegende ...Ideen) bezeichnen

” Metakonzepte“, die

É mathematische Denkweisen und Handlungsmuster idealtypisch beschreiben und mathematisches Wissen ¨ubergreifend

charakterisieren, auch und gerade in Beziehung zu allt¨aglichen Denkweisen und Handlungsmustern,

É daher bildungstheoretisch bedeutsam sind und bei curricularen

Entscheidungen eine Leitlinie f¨ur die Stoffauswahl darstellen k¨onnen,

É somit Lehrenden Anhaltspunkte f¨ur die Unterrichtsplanung liefern und helfen k¨onnen, geeignete Akzente zu setzen,

É schließlich auch Lernenden als erkenntnisleitende Orientierung dienen und helfen k¨onnen, die Unterrichtsgegenst¨ande fassbarer werden zu lassen (lerntheoretische Dimension).

(Vohns, 2012 auf Basis von Schweiger, 1992; Peschek, 2005; Vohns, 2007)

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Mathematische Ideen: Was?

Mathematische Idee (Vohns, 2010, S. 230)

...bezeichnet einen entscheidenden Gedanken, den man hinter gewissen Strategien, Techniken, Denk- und Handlungsmustern auszumachen sucht, den Versuch einer Antwort auf die Frage nach dem springenden Punkt/Verstehen erm¨oglichenden Kern einer Sache.

” Spingender Punkt:“

” Spingender Punkt:“ Hinweise zur Beantwortung von Fragen wie:

É Warum funktioniert das...

É ...so wie es funktioniert...

É ...welchen Einfluss hat es auf die betroffenen Objekte...

É ...welchen Zielsetzungen dient es/Erkenntnisgewinn erlaubt es?

Es gibt eher lokale lokale (Grundvorstellungen, Kernideen) und eher globale globale (fundamentale, universelle, zentrale) mathematische Ideen.

(Lokale) Mathematische Ideen: Wozu?

...werden bedeutsam,

É wenn sie zum Nachdenken ¨uber einen (schul-)mathematischen Inhalt einladen,

É wenn sie helfen, ihn besser oder anders oder ¨uberhaupt einmal zu verstehen und hinsichtlich seiner Bedeutung einzuordnen.

...sollen Lehrpersonen und Lernende anregen, ¨uber Beziehungen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede nachzudenken zwischen

É bereits Gelerntem (Gelehrtem) und noch zu Lernendem (Lehrendem),

É implizit Genutztem/Geahntem und explizit Thematisiertem,

É allt¨aglichen und mathematischen Denk- & Handlungsweisen.

(Vohns, 2010, S. 232)

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Globale/fundamentale/zentrale...Ideen: Was & wozu?

É Hintergrund: Hintergrund: Vorstellung, dass man f¨ur gesamte

Mathematik/bestimmte Teilbereiche eine Hand voll mathematischer Ideen angeben kann, die entscheidende Gedanken hinter dem

Mathematiktreiben (im Teilbereich) ber¨uhren (

” Meta-Konzepte“)

É Orientierung an globalen Ideen: Orientierung an globalen Ideen: Vorstellung, dass Koh¨arenzstiftung wichtige Funktion f¨ur das Lehren & Lernen von Mathematik hat

É Didaktische Bedeutung: Didaktische Bedeutung: weiterhin Anregung zum Nachdenken ¨uber Beziehungen, Gemeinsamkeiten & Unterschiede in den drei oben genannten Dimensionen, nur ” globaler“

(Vohns, 2010, S. 239, 242)

Beispiel:

” Messen“ als zentrale Idee der (Schul-)Mathematik DIN 1319-1, Nr. 1.1

Messen ist das Ausführen von geplanten Tätigkeiten zu einer quantitativen Aussage über eine Messgröße durch Vergleich mit der Einheit.

Grundprinzipien:

É Zweck der Messung ist das Treffen von quantitativen Aussagen (Kuntze, 2014, S.161f):

É

Ausmessen bzw. Abmessen (Datenbeschaffung, Beschreibung)

É

Aufmessen, nach Maßen erstellen, produzieren (Vorschreiben)

É

Zumessen, normieren, regeln (Grenzwerte, Vorschreiben)

É Gemessen wird eine Messgr¨oße (Eigenschaften <> Objekte)

É Gemessen wird durch Vergleich (mit einer Einheit)

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Beispiel:

” Messen“ als zentrale Idee der (Schul-)Mathematik Als ” roter Faden“ durch die ganze Schulzeit

Als ” roter Faden“ durch die ganze Schulzeit

É ...in den Gr¨oßenbereichen der Grundschule (Archetypen etablieren)

É ...in der Geometrie und Trigonometrie

(Vernetzung von Gr¨oßenbereichen durch Formeln)

É ...in der Statistik

(qualitative Beziehungen in quantitativen abbilden)

É ...in der vektoriellen Analytischen Geometrie (gerichtete, d. h. mehrdimensionale Gr¨oßen)

É ...in der Analysis

(hypothetisch unendlich( genau)e Messvorg¨ange)

Beispiel:

” Messen“ als zentrale Idee der (Schul-)Mathematik

P ERFORMANZ – K OMPETENZ – R EFLEXION

Aufgabe 1: Friedolin wird Bautischler und hat diesen recht- eckigen Fensterrahmen hergestellt, doch sein Meister ist nicht zufrieden. Er misst die Diagonalen und sagt: „Das ist nie ein Rechteck!“ Wieso kann der Meister feststellen, dass der Fensterrahmen nicht rechteckig ist, wenn er doch gar keine Winkel gemessen hat?

Aufgabe 2: Im Bild rechts wird mit einem Mess- keil gemessen. Erläutere das Prinzip des Messkeils.

Ermittle zeichnerisch (rechnerisch), welchen Win- kel α der Keil besitzen muss, damit 1 cm auf der Skala eine Höhe (Dicke) von 1 mm (2 mm) ent- spricht. Was spricht dafür, die Skala entlang der Hypothenuse anzubringen?

Beispiel 3.2: Winkel und Längen messen

Für die Formeln weiterer Figuren erweitert man die Strategie des Ausle- gens auf das Prinzip der Ergänzungs- und Zerlegungsgleichheit von Flä- chen, welches sich im Kern zu Nutze macht, dass kongruente (deckungs- gleiche) Figuren auch im Flächeninhalt übereinstimmen. Von nun an hat das Dreieck eine herausragende Rolle: Alle ebenen, geradlinig begrenz- ten Figuren lassen sich in Teildreiecke zerlegen. Ihre Flächenmessung kann also prinzipiell auf die Vermessung von Längen an Teildreiecken zurückgeführt werden. Ähnlichkeitslehre und Trigonometrie schließen daran an, indem sie einerseits Winkel- und Längenmessung wechselsei- tig austauschbar machen und andererseits die Vermessung kleiner Längen durch große Längen (oder umgekehrt) ermöglichen.

In Beispiel ?? finden sich zwei Aufgaben, die solche wechselseitigen Aus- tauschmöglichkeiten betreffen: Das Verfahren des Tischlers ermöglicht ihm, durch Wissen über die Eigenschaft von Rechtecken eine Winkelmes- sung durch eine Längenmessung zu ersetzen, beim Messkeil greift das Prinzip, die Vermessung sehr kleiner Längen durch die Messung größerer Längen zu ersetzen.

(Vohns, 2014, S. 182)

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Beispiel:

” Messen“ als zentrale Idee der (Schul-)Mathematik

(Vohns, 2014, S. 185)

Globale Ideen: Elementare Algebra

É Generalisierung Generalisierung

In der Elementaren Algebra geht es um allgemeine Darstellungen von Sachverhalten, von Beziehungen zwischen variablen Gr¨oßen.

É Beweglichkeit Beweglichkeit

Der Übergang zur symbolischen Ebene ermöglicht eine Loslösung vom Kontext und damit einen

” h¨oheren Grad an Beweglichkeit“, es ist ein kontextunabh¨angiges, regelhaftes Operieren mit Symbolen

(Umformen einer Formel, L¨osen einer Gleichung, ...) m¨oglich.

(Vorlesungsfolien E. Schneider, nach Fischer, 1984)

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Globale Ideen: Analytische Geometrie Algebraisieren

Algebraisieren (¨ubergreifend, nach Vohns, 2014, S. 195ff)

bedeutet symbolische Kommunikation über geometrische Sachverhalte ermöglichen. Dazu gehört:

É Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Konfigurationen (v. a.

Form und Lage) durch arithmetisch-algebraische Objekte und Strukturen darstellen,

É geometrische Fragestellungen damit auf arithmetisch-

algebraische Fragestellungen zur¨uckf¨uhren und beantworten,

É Reflexionswissen dar¨uber erwerben, warum man das will und wof¨ur das gut/schlecht geeignet ist.

Teilideen:

É Vektorisieren

É Koordinatisieren

É Linearisieren

Grundformen mathematischen Arbeitens ¨Uberblick 2019S 22

3. Leitfrage

É Woran kann ich mich bei der Planung und Durchf¨uhrung von Unterricht orientieren?

Zweiter Teilaspekt Zweiter Teilaspekt:

Welche Grundformen mathematischen Arbeitens lassen sich

unterscheiden und worauf ist bei diesen Grundformen unterrichtlich besonders zu achten?

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Grundformen mathematischen Arbeitens ¨Uberblick 2019S 23

Grundformen mathematischen Arbeitens: Synopse

Allgemeine Lernziele (Winter, 1975)

Allgemeine mathematische Kompetenzen (KMK, 2004)

Grundmuster des Arbeitens in der Mathematik (Reiss & Hammer, 2012)

Mathematik als Denkprozesse (Bruder et al., 2015)

Mathematik erarbeiten (Vollrath & Roth, 2012)

Handlungsbereich mathematischer Kompetenzen (IDM, 2007) Heuristische Strategien

lernen Beweisen lernen Mathematisieren lernen Formalisieren lernen, Fertigkeiten lernen

Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen

Mathematisch modellieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren

Beweisen Argumentieren Mathematische Begriffe Mathematisches Modellieren Algorithmen

Begriffsbildung Problemlösen lernen Algorithmik Argumentieren und Beweisen Anwendungen und Modellieren Darstellen und Kommunizieren

Erarbeiten von Begriffen Erarbeiten von Sachverhalten (inkl. Beweisen) Erarbeiten von Verfahren Anwenden und Modellbilden Problemlösen

Darstellen, Modellbilden Rechnen, Operieren Interpretieren Argumentieren, Begründen

Grundformen mathematischen Arbeitens Sneak preview: Standards & Kompetenzen 2019S 24

Sneak preview: Standards & Kompetenzen

¨Osterreichische Standards M8

¨Osterreichische Standards M8 (IDM, 2007)

Mathematik

Das Klagenfurter Standards-Konzept - Begrifflichkeit

Was sind mathematische Standards?

Mathematische Standards meinen jene Teilmenge mathematischer Kompetenzen, über die S&S ab einer bestimmten Schulstufe verfügen sollten.

Was sind mathematische Kompetenzen?

Mathematische Kompetenzen sind Kompetenzen, die sich auf mathematische Tätigkeiten und mathematische Inhalte beziehen.

Was sind Kompetenzen?

Kompetenzen sind längerfristig verfügbare, kognitive Fähigkeiten, die von

den Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte

Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben sowie die Bereitschaft, diese

Fähigkeiten einzusetzen.

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Sneak preview: Standards & Kompetenzen

¨Osterreichische Standards M8

¨Osterreichische Standards M8 (IDM, 2007)

Mathematik

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Das Klagenfurter Standards-Konzept - Kompetenzmodell

Jede spezifische mathematische Kompetenz wird durch einen bestimmten Handlungsbereich, einen bestimmten Inhaltsbereich und durch einen bestimmten Komplexitätsbereich, also durch ein Tripel (z. B. (H3, I2, K2)), charakterisiert und festgelegt.

Kompetenz (H3, I2, K2)

math. Inhalt

math. Handlung Komplexität

Ein Modell mathe- matischer Kompetenzen

H3

I2

Sneak preview: Standards & Kompetenzen

¨Osterreichische Standards M8

¨Osterreichische Standards M8 (IDM, 2007)

Mathematik

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Die 48 Standards M8

Handlungsbereiche

H1: Darstellen, Modellbilden H2: Rechnen, Operieren H3: Interpretieren

H4: Argumentieren, Begründen

Inhaltsbereiche

I1: Zahlen und Maße

I2: Variable, funktionale Abhängigkeiten I3: Geometrische Figuren und Körper

I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen

Komplexitätsbereiche

K1: Einsetzen von Grundkenntnissen und -fertigkeiten K2: Herstellen von Verbindungen

K3: Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren

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Standards: Handlungsbereiche Das Standards-Konzept

Die 48 Standards M8 – vier Handlungsbereiche

H1: Darstellen, Modellbilden

Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation bzw.

Repräsentationsform.

Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem gegebenen Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen (um diese dann in mathematischer Form darzustellen), allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vorzunehmen u. Ä.

(Schneider, 2016)

Standards: Handlungsbereiche Das Standards-Konzept

Die 48 Standards M8 – vier Handlungsbereiche

H2: Rechnen, Operieren

Rechnen im engeren Sinn meint die Durchführung elementarer

Rechenoperationen mit konkreten Zahlen, Rechnen in einem weiteren Sinn meint die regelhafte Umformung symbolisch dargestellter

mathematischer Sachverhalte.

Operieren meint allgemeiner und umfassender die Planung sowie die korrekte, sinnvolle und effiziente Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen und schließt z. B. geometrisches Konstruieren oder auch das Arbeiten mit bzw. in Tabellen und Grafiken mit ein.

(Schneider, 2016)

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Standards: Handlungsbereiche Das Standards-Konzept

Die 48 Standards M8 – vier Handlungsbereiche

H3: Interpretieren

Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im jeweiligen Kontext zu deuten.

(Schneider, 2016)

Standards: Handlungsbereiche Das Standards-Konzept

Die 48 Standards M8 – vier Handlungsbereiche

H4: Argumentieren, Begründen

Argumentieren meint die Angabe von mathematischen Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/ Entscheidung sprechen.

Argumentieren erfordert eine korrekte und adäquate Verwendung mathematischer Eigenschaften/Beziehungen, mathematischer Regeln sowie der mathematischen Fachsprache.

Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt.

(Schneider, 2016)

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Literatur

Bruder, R., Hefendehl-Hebeker, L., Schmidt-Thieme, B. & Weigand, H.-G. (Hrsg.). (2015). Hand- buch der Mathematikdidaktik. Berlin, Heidelberg: Springer.

Fischbein, E. (1989). Tacit Models and Mathematical Reasoning. For the Learning of Mathematics, 9(2), 9–14.

Fischer, R. (1984). Offene Mathematik und Visualisierung. mathematica didactica, 7(3/4), 139–

160. IDM (Hrsg.). (2007). Standards für die mathematischen Fähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe: Version 4/07. Klagenfurt: Institut für Didaktik der Mathe- matik.

KMK (Hrsg.). (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Bildungsabschluss:

Beschluss vom 4.12.2003. München: Wolter Kluwer.

Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik (3. Auflage). Mün- chen: Springer Spektrum.

Kuntze, S. (2014). Flächeninhalt und Volumen. In H.-G. Weigand, A. Filler, R. Hölzl, S. Kuntze, M. Ludwig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S. 157–185). Berlin, Heidelberg: Springer.

Peschek, W. (2005). Reflexion und Reflexionswissen in R. Fischers Konzept der höheren All- gemeinbildung. In K. Lengnink & F. Siebel (Hrsg.), Mathematik präsentieren, reflektieren, beurteilen (S. 55–68). Mühltal: Verl. Allg. Wiss.

Prediger, S. & Wittmann, G. (2009). Aus Fehlern lernen – (wie) ist das möglich?Praxis der Ma- thematik in der Schule, 51(27), 1–8.

Reiss, K. & Hammer, C. (2013). Grundlagen der Mathematikdidaktik: Eine Einführung für den Un- terricht in der Sekundarstufe. Mathematik Kompakt. Basel: Springer. doi:10.1007/978- 3- 0346-0647-9

Schneider, E. (2016). Standards für den Mathematikunterricht am Ende der 8. Schulstufe. Vorlesungs- folien. Universität Klagenfurt (unveröffentlicht).

Schweiger, F. (1992). Fundamentale Ideen. Eine geistesgeschichtliche Studie zur Mathematik- didaktik. Journal für Mathematik-Didaktik, 13(2), 199–214.

Vohns, A. (2007). Grundlegende Ideen und Mathematikunterricht: Entwicklung und Perspektiven ei- ner fachdidaktischen Kategorie. Norderstedt: Books on Demand.

Vohns, A. (2010). Fünf Thesen zur Bedeutung von Kohärenz- und Differenz-

erfahrungen im Umfeld einer Orientierung an mathematischen Ideen. Journal für Mathematik- Didaktik, 31(2), 227–255.

Vohns, A. (2012). Warum es keine fundamentalen Ideen gibt und die Suche nach ihnen trotz- dem orientiert (Vortrag im Rahmen der Vortragsreihe: „Mathematik und Allgemeinbil- dung“). Hildesheim: Universität Hildesheim.

Vohns, A. (2014). Zur Dialektik von Kohärenzerfahrungen und Differenzerlebnissen: Bildungstheoreti- sche und sachanalytische Studien zur Ermöglichung mathematischen Verstehens. München/Wien:

Profil-Verl.

Vollrath, H.-J. & Roth, J. (2012). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2. Aufl.).

Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

vom Hofe, R. (1995). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg: Spektrum Akade- mischer Verlag.

vom Hofe, R. (2003). Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren, (118), 4–8.

Winter, H. (1975). Allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht? Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, (7), 106–116.

Wittmann, E. C. (1998). Standard Number Representations in the Teaching of Arithmetic. Jour-

nal für Mathematik-Didaktik, 19(2), 149–178.