117) Grundfragen des Mathematikunterrichts Grundformen Modellbilden 2019S 4 Modellierungskreislauf 3 Blum (2010b, S

(1)

Grundfragen des Mathematikunterrichts

Online-Lektion 3: Grundformen mathematischen Arbeitens:

Modellieren und Probleml•osen

Maja Cetic / Kora Deweis-Weidlinger / Andreas Vohns

Sommersemester 2019

•Ubersicht

Grundformen mathematischen Arbeitens

Im Fokus: Anwenden und Modellieren (Fortsetzung)

Im Fokus: Probleml•osen

(2)

Modellierungskreislauf 2Modellierungskreislauf 2 ^Mathematik

10

nach Maaß (2005, S. 117)

Grundformen Modellbilden 2019S 4

Modellierungskreislauf 3

Blum (2010b, S. 43)

Wenn im Folgenden vommathematischen Modellierendie Rede ist, sind die Schritte 2, 3, 5 und 6 dieses Kreislaufs gemeint.

VonModellierungsaufgabenspreche ich, wenn substanzielle Anforderungen in Bezug auf diesen Teil des Bearbeitens involviert sind...“

(3)

Modellieren: AufgabenebeneAnforderungen auf Aufgabenebene ^Mathematik

2

Zum Geburtstag hat die Mutter sechs Liter Kakao gekocht. Jedes Kind bekommt einen ½ Liter Becher. Wie viele Kinder sind es?

Man stelle sich das einmal bildlich vor:

Die Kinder führen beidhändig Halbliterkrüge Kakao zum Mund hin und die Mutter steht in der Küche und versucht, aus dem Kakaoverbrauch zu erschließen, wie viele Gäste ihre Tochter wohl eingeladen hat!

(Spiegel und Selter (2003) zitiert nach B¨uchter und Leuders, 2005)

Abgrenzung: Eingekleidete Aufgaben 1¹/ ²H¨uhner legen in 1¹/ ²Tagen 1¹/ ²Eier.

Wie viele Eier legt ein Huhn pro Tag?

Jahnke (2001, S. 5):

Natürlich dient die Hühneraufgabe nicht dazu, die Legeleistung von Hennen zu berechnen oder betriebswirtschaftliche Aussagen über Legebatterien

mathematisch abzusichern.

Wer so tut, macht sich zurecht l¨acherlich. Eingekleidete Aufgaben offenbaren in der Regel nichts ¨uber nicht-mathematische Sachverhalte.

Das ist nicht ihre Funktion oder sollte sie nicht sein.

Sie k¨onnen aber Mathematik veranschaulichen, einen mathematischen Satz oder Sachverhalt oder ein mathematisches Verfahren.

(4)

Modellieren: Aufgabenebene

Kriterien/Leitfragen f•ur”gute Modellierungsaufgaben“

É Modellierungspotenzial:Modellierungspotenzial: Spielt der gegebene Realit•atsbezug eine Rolle f•ur die L•osung der Aufgabe? Ist z.B. (relativ zum Vorwissen der Sch•uler(innen)) die (bewusste) Bildung eines Realmodells erforderlich?

É Authentizit•at:Authentizit•at: Werden Dinge bearbeitet, die es in der Realit•at gibt? Hat/h•atte die bearbeitete Frage auch au erhalb des Unterrichts ihre Berechtigung?

Ist/w•are das erzielte Ergebnis au erhalb von Unterricht relevant?

É Anregung:Anregung: Ist die Aufgabe f•ur die Sch•uler(innen) interessant/anregend (z.B.

durch lokale Bez•uge,

”Sch•uler(innen)n•ahe“, Ungew•ohnlichkeit)?

É Relevanz:Relevanz: Wie stark lassen sich die Sch•uler(innen) individuell, pers•onlich auf die Aufgabe ein / nehmen sich der Fragestellung als ihrer eigenen an?

É Offenheit:Offenheit: Inwieweit sind Realmodell und mathematisches Modell noch zu entwickeln oder (relativ zum Vorwissen der Sch•uler(innen)) bereits eindeutig vorgegeben?

(Greefrath, 2007, S. 27ff)

Modellieren: Aufgabenebene

Authentische Modellierungsaufgaben

Authentische Modellierungsaufgaben m•ussen echte, sowohl einfache als auch komplexe Anwendungsbez•uge von Mathematik aufzeigen.

Sie m•ussen vor allem (nicht jede einzelne f•ur sich, aber alle zusammen) die Teilprozesse des Modellierens

Teilprozesse des Modellierens ber•ucksichtigen:

É in Realsituationen eigene Fragen stellen,

É beim Mathematisieren •uber Vereinfachungen entscheiden,

Modellannahmen machen, zwischen Modellen w•ahlen (→Offenheit),

É im Modell arbeiten (und dabei ggf. der Realsituation Hinweise f•ur die L•osung entnehmen),

É Ergebnisse kritisch hinterfragen und das gesamte Modell bewerten (→ Reflexion),

É die Fragestellung oder das Modell revidieren und erneut mit dem Modellieren beginnen.

(B•uchter & Leuders, 2005, S. 76)

(5)

Modellieren: Herausforderungen auf Lernendenseite DISUM: Beobachtungen

”aus Labor und Unterricht“

DISUM: Beobachtungen

”aus Labor und Unterricht“

É Alle Schritte im Modellierungskreislauf sind potentielle kognitive H•urden f•ur Lernende, variierend je nach Aufgabe.

É Lernende benutzen i. a. keine bewussten L•osungsstrategien und sind bei auftretenden Schwierigkeiten oft hilflos.

É Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen dem

”Alleine-Arbeiten“ von Lernenden und selbst•andigem Arbeiten mit Lehrpersonenunterst•utzung; im ersteren Fall sind Lernende oft

•uberfordert und geben schnell auf.

(Blum, 2010b)

Modellieren: Herausforderungen auf Lernendenseite DISUM: Empfehlungen

DISUM: Empfehlungen

É Teil-Kompetenzen des Modellierens sollten gezielt mithilfe geeigneter Aufgaben gef•ordert werden.

É Lernende sollten ad•aquate Strategien zum L•osen von Modellierungsaufgaben an die Hand gegeben werden.

É Lehrpersonen sollten mehr •uber Diagnose- und

Interventionsm•oglichkeiten beim Modellieren erfahren (→Herausforderungen auf Lehrpersonenseite).

(Blum, 2010b)

(6)

Modellieren: Empfehlung

”Teilkompetenzf¨orderung“

DISUM: Empfehlungen

É Teil-Kompetenzen des Modellierens sollten gezielt mithilfe geeigneter Aufgaben gef¨ordert werden.

Mathematik

Empfehlung: Teilkompetenzfördernde Aufgaben

3

(Schukajlow, 2009)

Bezug zu den M8-Standards:

É H1: Darstellen, Modellbilden

Darstellen meint die ¨Ubertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repr¨asentation(sform).

Modellbilden erfordert ¨uber das Darstellen hinaus, in einem gegebenen Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen, Annahmen zu treffen, Vereinfachungen vorzunehmen u. ¨A.

É H3: Interpretieren

Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten,

Zusammenh¨ange oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im jeweiligen Kontext zu deuten.

(7)

Standards M-8: Beispiel zum Modellieren

Anhand einer Landkarte soll der Inhalt der Fläche Österreichs näherungsweise ermittelt werden. (Quelle: http://www.statistik.at)

Zeichne in obige Abbildung elementare geometrische Figuren ein, die sich für eine näherungsweise Ermittlung des Flächeninhalts Österreichs gut eignen!

(Peschek, 2012, S. 50)

Standards: Beispiele zum Darstellen

Eine Plakatsäule hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel. Die Höhe des Zylinders ist ungefähr dreimal so groß wie der Durchmesser, die Höhe des Kegels ungefähr halb so groß wie der Durchmesser.

Fertige eine Schrägriss-Skizze der Plakatsäule an!

Rationale Zahlen kann man in Dezimaldarstellung oder Bruchdarstellung anschreiben.

Schreibe die Zahl 4

7 in Dezimaldarstellung an!

Schreibe die Zahl 0,20 in Bruchdarstellung an!

(Peschek, 2012, S. 46, S. 50)

(8)

Standards: Beispiel zum Interpretieren

Die nebenstehende Figur zeigt einen Kegel.

Was wird durch (R2 H r2 h)

3   

 berechnet?

Es sind:

P1: Preis eines Fernsehers im Jahre 2008

P2: Preis eines Fernsehers vergleichbarer Qualität im Jahre 2010 Was bedeutet 0,35

P P P

1 1

2  ?

(Schneider, 2012, S. 92)

Validieren

Mathematik

Empfehlung: Teilkompetenzfördernde Aufgaben

4

(Maaß , 2007)

Bezug zu den M8-Standards:

”Reflektieren umfasst das Nachdenken über [...] mathematische Modelle (Modellannahmen, Idealisierungen, Aussagekraft, Grenzen des Modells, Modellalternativen) im jeweiligen Kontext sowie das Nachdenken über (vorgegebene) Interpretationen, Argumentationen oder Begründungen.“

(9)

”Ad¨aquate Strategien“

Vereinfachter Modellierungskreislauf

Mathematik

Empfehlung: Adäquate Strategien

(Schukajlow, 2009)5 Grundfragen des Mathematikunterrichts

”Ad¨aquate Strategien“

Weitere strategische Hilfestellungen

(hinreichend offene Aufgaben vorausgesetzt)

(B¨uchter & Leuders, 2005)

(10)

Modellieren: Herausforderungen auf Lehrpersonenseite DISUM: Beobachtungen”aus Labor und Unterricht“

DISUM: Beobachtungen”aus Labor und Unterricht“

É Lehrerpersonen halten sich aufgrund bestimmter p•adagogischer Vorpr•agungen bei lernendenzentriertem Unterricht zu stark zur•uck (keine Intervention in Gruppenarbeitsphasen).

É Wenn sie eingreifen, geben sie zu oft direkte inhaltliche Hilfen, statt blo strategisch einzugreifen (Prinzip der”minimalen Hilfe“ nach Aebli wird verletzt).

É Sie setzen oft ihre eigene spezielle Variante der Aufgabenl•osung bei den Lernenden durch, weil ihre Interventionen massiv von dieser L•osungsvariante gepr•agt sind.

É Lehrpersonen stimulieren kaum L•osungsstrategien bei Lernenden, obwohl gerade f•ur Modellierungsaufgaben wirksame strategische Instrumente zur Verf•ugung stehen (Modellbildungskreisl•aufe, Strategieschemata).

(Blum, 2010b)

Modellieren: Herausforderungen auf Lehrpersonenseite DISUM: Empfehlungen

DISUM: Empfehlungen

É •Ubergreifend: Problem-Wahrnehmung und -Bewusstsein st•arken.

É Lehrerpersonenrolle beim sch•uler(innen)zentrierten Unterricht

•uberdenken.

É M•oglichkeiten gestufter Hilfestellung kennen lernen, Erfahrungen mit unterschiedlichen Modellbildungskreisl•aufen als strategische

Hilfsmittel (f•ur Lehrpersonen und Lernende) sammeln lassen.

É Erfahrungen in der Exploration des”task space“ von (offeneren) Modellierungsaufgaben sammeln lassen (Welche verschiedenen L•osungsans•atze sind denkbar, m•oglich?).

É Geeignete Unterrichtsformen /

”Best Practice“-Unterrichtsskripte kennen lernen.

(Blum, 2010b)

(11)

”Lehrpersonenrolle“

Hilbert Meyer <> Werner Blum

Empfehlungen: Lehrer(innen)rolle

(Blum, 2010a)6

”Gestufte Hilfen“

Mathematik

Empfehlungen: Gestufte Hilfen (nach Maaß 2007)

Ziel: möglichst stark selbstständigkeitserhaltende Intervention

 Motivationshilfen

 „Du wirst das schon schaffen!“

 „Versuch es doch mal!“

 Rückmeldungshilfen

 „Da bist Du auf dem richtigen Weg.“

 „Da musst Du nochmal nachrechnen.“

 allgemein‐strategische Hilfen

 „Lies Dir die Aufgabe genau durch!“

 „Mach Dir eine Skizze!“

 „Schreib Dir gegebene Daten heraus!“

 „Welche Daten benötigst Du, wie kannst Du sie erhalten?“

 „Überlege Dir, an welcher Stelle des Modellierungsprozesses Du jetzt stehst!“

 „Überlege Dir, welcher Schritt beim Modellieren als nächster kommt!“

DISUM: Eher geringe (praktische) Bedeutung

(Maaß , 2007)

(12)

”Gestufte Hilfen“

Mathematik

Empfehlungen: Gestufte Hilfen (nach Maaß 2007)

Ziel: möglichst stark selbstständigkeitserhaltende Intervention

 inhaltsorientierte strategische Hilfen

 „Welche Werte fehlen Dir? Versuche, Angaben dafür zu schätzen!“

 „Welche Bedeutung hat dieser Wert für das Lösen der Aufgabe?“

 „Überlege Dir, ob dieses Ergebnis bezogen auf das Ausgangsproblem sinnvoll ist!“

 inhaltliche Hilfen

 „Stelle einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Werten her!“

 „Wird der Erdgasverbrauch in den nächsten Jahren gleich bleiben, steigen oder sinken?“

 „Berücksichtige auch, dass in den nächsten Jahren die Ölvorkommen geringer werden.“

17

(Maa , 2007)

Modellieren: Empfehlungen

”Unterrichtssetting“

”Best Practice“ Unterrichtsskript (TIMSS/DISUM)

”Best Practice“ Unterrichtsskript (TIMSS/DISUM) 1. Vorstellung des Beispiels im Plenum

2. Einzelarbeit 3. Gruppenarbeit

4. Individuelles Aufschreiben von L•osungen 5. Pr•asentation der L•osungen im Plenum

6. Vergleich der L•osungen und reflektierender R•uckblick

Phasen 4. und 5. lassen sich durch Gruppenl•osungen ersetzen, dann kann Gruppenpuzzle sinnvoll sein.

(Blum, 2010b)

(13)

”Unterrichtssetting“

Empfehlungen: Unterrichtssetting

(Schukajlow, 2009)7 Grundfragen des Mathematikunterrichts

Anwenden und Modellieren: Wozu?

Traditionell: Sachrechnen

Drei”Sinngebungen“ (nach: Winter, 2003):

É Sachrechnen als Lernstoff

(Nahezu) Unmittelbar alltagspraktisch verwendbare Mathematik, Umgang mit Gr¨oß en, Prozentrechnung, elementar(st)e Statistik

É Sachrechnen als Lernprinzip

Lernpsychologische Bedeutung, als motivierender Einstieg, zur Veranschaulichung von (abstrakten) Begriffen durch Verk¨orperung in Sachsituationen

É Sachrechnen als Lernziel: Bef¨ahigung zur Umwelterschließ ung Sachrechnen im Dienst vonSachkunde: Mit Mathematik / durch Mathematisierung wird etwas Relevantes ¨uber die Welt (und die Rolle von Mathematik in der Welt) gelernt

(14)

Probleml•osen: Einstiegsbeispiel

Aufgabenstellung

1. Legen Sie mit den Ziffernkartenzweidreistellige Zahlen und addieren Sie diese. Versuchen Sie, als Summe genau 1000 zu erhalten.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2. Legen Sie mit den Ziffernkartendreidreistellige Zahlen und addieren Sie diese. Versuchen Sie,

a) eine m•oglichst gro e Summe zu erzeugen, b) eine m•oglichst kleine Summe zu erzeugen,

c) mit der Summe m•oglichst nah an 1000 heranzukommen.

3. •Uberlegen Sie: Warum ist die Summe 1000 nicht m•oglich?

Grundformen Probleml•osen 2019S 28

Was ist ein Problem?

Duncker (1935, S. 1):

EinProblementsteht z. B. dann, wenn ein Lebewesen ein Ziel hat und nicht weiß, wie es diese Ziel erreichen soll. Wo immer der gegebene Zustand nicht durch blo es Handeln (Ausf•uhren selbstverst•andlicher Operationen) in den erstrebten Zustand •uberf•uhren l•asst, wird das Denken auf den Plan gerufen. Ihm liegt es ob, ein vermittelndes Handeln zuallererst zu

konzipieren.

B•uchter und Leuders (2005, S. 28):

Eine Probleml•oseaufgabe (auch kurz: Problem) ist die Aufforderung, eine L•osung zu finden, ohne dass ein passendes L•osungsverfahren auf der Hand liegt.

(15)

Objektive und subjektive Probleme (Sill, 2006)

Der Begriff”Problem“ wird in der Didaktik in zwei Bedeutungen verwendet:

Unter Problem wird einmal im Sinne einerobjektiven Kategorieeine besonders schwierige und anspruchsvolle Anforderung verstanden.

Damit sind Problem und Aufgabe (als sofort l•osbare Anforderung) einander nachgeordnete Begriffe.

Sinnvoller in Bezug auf den Lernprozess von Sch•ulern scheint mir die andere Verwendung der Begriffs Problem zu sein, bei der unter Problem im Sinne einer subjektiven Kategorieeine Aufgabe verstanden wird, die durch den jeweiligen L•oser nicht unmittelbar bearbeitet werden kann.

In diesem Fall ist ein Problem eine spezielle Aufgabe, die durchaus einfach bzw.

elementar sein kann.

Didaktik der Geometrie 5.6

Jürgen Roth

Was ist ein Problem?

Anfangszustand Zielzustand

(Routine-)Aufgabe

Algorithmus

Anfangszustand Zielzustand

Problem

?

http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundlagen/fachdidaktische_grundlagen.pdf

Ein Problemlöser kenntkeine Lösung der Aufgabe, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.

Quelle: Roth (2016)

(16)

Grundformen Probleml¨osen 2019S 31

Didaktik der Geometrie 5.8

Jürgen Roth

objektivsubjektiv

Problemtypen im Geometrieunterricht

Interpolationsprobleme

1. Anfangszustand (das Gegebene) genau definiert 2. Zielzustand (das Gesuchte) genau definiert

3. Problemlöser verfügtüber Operationen, die eine Lösung des Problems gestatten.

Quelle: Roth (2016) Grundfragen des Mathematikunterrichts

Wozu Probleml¨osen?

Kadunz und Str¨aß er (2009): im Kontext”entdeckenden Lernens“ (Winter, 1991)

É zul¨assige(re)s Bild von Mathematik (kreativer, oft unsichtbarer Teil)

É Eigenständigkeit als”Bedingung der Möglichkeit“ persönlicher Einsichtsgewinnung

É subjektives Erfolgserleben kann zu Identifikation mit Fragestellungen und verbundenem Kontext f¨uhren

É Suchen von Lösungsansätzen führt zur Reorganisation von Wissen und Problemlösen wird damit zum Übungsfeld

Auch: ¨Ahnlich wie

”Sachrechnen“ / Mathematisches Modellieren:

É ”Zweck an sich“ (vgl.→allgemeine Lernzielenach Winter (1975))

É Mittel zu anderen Zwecken, insbesondere

É Erarbeitung neuer (Routine-)Verfahren

É Entdecken neuer Sachverhalte, Finden von Begr¨undungen / Beweisen

(17)

Heuristik

”Kunst des Probleml¨osens“

Im Angebot:

É heuristische Strategien

É bereichs¨ubergreifende

É bereichsspezifische (in den Lernbereichsdidaktiken Thema)

É heuristische Hilfsmittel

É L¨osungspl¨ane

É (gestufte) Hilfen (dieselben wie beim Modellieren)

Heuristische Strategien

176 Jürgen Roth• Fachdidaktische Grundlagen

Heuristische Strategien

Vorwärtsarbeiten

Was ist gegeben?

Was weiß ich über das Gegebene?

Was kann ich daraus ermitteln?

Rückwärtsarbeiten Was ist gesucht?

Was weiß ich über das Gesuchte?

Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?

Invarianzprinzip

Was ändert sich nicht?

Was haben alle Objekte gemeinsam?

Zerlegungsprinzip

Welche Teilfragen sind zu lösen? (Zerlegen) Abarbeiten der Teilprobleme

Kombination

Quelle: Roth (2016)

(18)

Heuristische Strategien

Heuristische Strategien

Analogiebildung

Hast du schon einmal etwas Ähnliches gelöst?

Lassen sich Lösungsschritte übernehmen?

Suchraumeingrenzung

In welchen Grenzen liegt das Ergebnis?

Systematisches Probieren Ziel-Mittel-Analyse

Welche (heuristischen) Hilfsmittel können auf dem Weg zum Ziel hilfreich sein?

Spezialisieren, Grenzfälle ausloten Vom Besonderen zum Allgemeinen Konkretisieren

Beispiele analysieren

Heuristische Hilfsmittel

Heuristische Hilfsmittel

Tabelle

Ausprobieren!

Welche Werte sollen in die Tabelle eingetragen werden?

Informative Figur

Hilft beim Verständnis des Problems.

Beim Zeichnen wird deutlich, welche Informationen zur Lösung benötigt werden.

Gleichung / Term

Beziehungen der Informationen werden verknüpft dargestellt.

Nicht immer notwendig!

𝑛𝑛+ (𝑛𝑛+ 1) + (𝑛𝑛+ 2)

=3𝑛𝑛+ 3

= 3�(𝑛𝑛+ 1)

𝒏𝒏 𝒏𝒏+𝟏𝟏 𝒏𝒏+𝟐𝟐 Summe

1 2 3 6

5 6 7 18

9 10 11 30

Beispiel:Was gilt für die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen?

Quelle: Roth (2016)

(19)

L¨osungsplan (P ´olya)

Wie sucht man die Lösung?

Pólya, G. (1995⁴): Die Schule des Denkens. Francke Verlag, Umschlaginnenseite

Erstens

Du musst die Aufgabe verstehen.

Zweitens

Suche den Zusammenhang zwischen den Daten und der Unbekannten.

Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten, wenn ein unmittelbarer Zusammenhang nicht gefunden werden kann.

Du musst schließlich einen Plan der Lösung erhalten.

Drittens

Führedeinen Plan aus.

Viertens

Prüfe die erhaltene Lösung.

Quelle: Roth (2016)

(20)

Problem 2:

Denken Sie sich vier beliebige nat•urliche Zahlen aus.

Zwei davon haben immer eine Differenz, die durch drei teilbar ist.

Warum stimmt das?

Problem 2:

Warum stimmt das?

(21)

Problem 2:

Warum stimmt das?

184 Jürgen Roth • Fachdidaktische Grundlagen

Problem 2:

Zwei davon haben immer eine Differenz, die durch drei teilbar ist. Warum stimmt das?

(22)

Reale L¨osungsprozesse selten so linear²⁸⁸ F. Heinrich et al.

entsprechen Variablen, deren Wirkungen auf die Problemlösefähigkeiten der Schülerin- nen und Schüler teilweise anhand empirischer Befunde belegt werden können (vgl. Collet 2009).

Making a Plan

Understanding the Problem Problem

Posing

Looking

back Managerial

Process

Carrying Out the plan

Abb. 10.1 Verlaufsmodell nach Fernandez, Hadaway und Wilson (1994)

Vor, während und nach der selbstregulierten Problembearbeitung Orientierungsgrundlagen auf unterschiedlichem Niveau

Problem- stellung

Self-Monitoring und Steuerung der Problembearbeitung -Volitionale Strategien

-Lernstrategien L

E R N A U F G A B E

Reflexion über -Inhalte -Vorgehen Motivation Emotion Selbstwirk- samkeit

Kompetenz- zuwachs

Vo r ... Während... Nach...

Analyse &

Planung Problem - Lesen - Analysieren

lösung

Planen mit Beweglichkeits- eigenschaften

Ausführung

Problem Problem-

- Mathe- matisieren - Verarbeiten mit bereichsspezifis- chem Wissen und Fähigkeiten

Kontrolle

- Kontrollieren - Inter- pretieren - Validieren Motivation

Emotion Selbstwirk- samkeit

Abb. 10.2 Prozessmodell selbstregulierten Problemlösens (Collet 2009)

Probleml¨osen lernen

...kann man nur dadurch, dass man Probleme l¨ost.

Flankierend / unterst¨utzend: Heurismen vermitteln durch

É Implizite Gew¨ohnung an heuristische Vorgehensweisen und zugeh¨orige typischen Fragestellungen

É Zu lernende Strategie an Hand von ausgearbeiteten Musteraufgaben explizit vorstellen

É ¨Ubungsphase mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit, in denen die neue Strategie bewusst angewandt werden soll

É Reflexion über Lösungsprozesse anregen, etwa durch Dokumentation entlang von Plänen

(Heinrich, Bruder & Bauer, 2015)

(23)

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