Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 2. Oktober 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
1. ¨Ubung : Betr¨age und Ungleichungen — Komplexe Zahlen I
1.1 Bestimmen Sie allex∈R, f¨ur die gilt : (a) |x+ 2|= 18−3x
(b)|x−1|<x+ 5 2
L¨osen Sie die Aufgabe (b) auch grafisch.
1.2 Geben Sie die reellen L¨osungsmengen folgender Ungleichungen an.
(a) |x+ 3| ≥ |2x+ 1| (b)|x−1|+|x+ 5| ≤4 (c)|3x+ 5| −2≤2x+|x−1|
1.3 F¨ur welchex∈R ist die Ungleichung 3x+ 2
3−2x≥2 erf¨ullt ? 1.4 Skizzieren Sie die reelle Funktion f(x) =|x−1| − |x+ 1|. 1.5 Veranschaulichen Sie die L¨osungsmenge in derx-y-Ebene .
(a) |x+y| ≤1 (b) |x|+|y| ≤1
1.6 Berechnen Siez+w , z−w , z·w , z
w, z·w , z·z , |z|, |w|. (a) z= 1 +i√
3, w= 1−i ,
(b)z= cost+isint , w=bi , b, t∈R, b6= 0. 1.7 Berechnen Sie Real- und Imagin¨arteil sowie den Betrag.
(a) z1= 1
a+i, a∈R (b)z2=
5 2+2i 2 +11−i
(c)z3=(1 + 2i)(2−i) + 1 (2−i)2−2 +i .
Aufgaben und L¨osungen : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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2. ¨Ubung : Komplexe Zahlen II
2.1 Wandeln Sie in die Polarform um.
z1= 1 +i z2=−5i z3= 16 z4=√
3−i z5= (2 +i)eπ6 2.2 Berechnen Sie z1z2 und z1
z2
f¨ur z1 = 2!
cos 5π6 +isin5π6 und z2= 1 +i√
3,indem Siez2 in die Polarform umwandeln . Geben Sie Real- und Imagin¨arteil von Produkt und Quotient an.
2.3 Berechnen Sie die Potenzen.
(a) (1−i)10 (b) (2 +i√ 12)−5
2.4 Ermitteln Sie alle komplexen L¨osungen der folgenden Gleichungen.
(a)z4= 1 (b)z2=i (c)z3=−a , a >0 (d)z6+i= 0 (e)z4=i√
3−1 2
2.5 L¨osen Sie die quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Erg¨anzung.
(a)z2−2iz+ 8 = 0 (b)z2−z+iz−i= 0
2.6 Eine Zahlzliegt im ersten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene.
In welchen Quadranten liegen die Zahlen−z bzw. z−1?
2.7 Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller Zahlenz , die den Ungleichungen gen¨ugen.
(a)|z| ≤4 (b)|z−z0|>5, z0∈C (c) 2≤ |z+ 3−2i| ≤3 (d) 0≤Re(iz)≤2π (e)|z−1| ≤ |z+ 1|
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