Zeigen Sie, dass dann BA:={A∩B :B∈ B} eine σ-Algebra aufA und µA:=µ|BA ein Maß auf BA ist

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 3

Abgabe bis Do, 12.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Sei (X,B, µ) ein Maßraum und A ⊆ X messbar. Zeigen Sie, dass dann

B_A:={A∩B :B∈ B}

eine σ-Algebra aufA und µ_A:=µ|_BA ein Maß auf B_A ist.

(b) SeiW ein W¨urfel inR^d. Man zeige, dass∂W := ¯W−W^◦ eine Lebesgue-Nullmenge ist. Nun seien die W¨urfelWn,n∈N, fast-disjunkt. Man zeige, dassµ(∪^∞_n=1Wn) = P∞

n=1µ(Wn) gilt. (Hinweis: Erst die endlichen Summen betrachten, und dann Aufgabe 1 von Blatt 2 benutzen.)

Aufgabe 2. Seid∈N. F¨ur jede Teilmenge A⊆R^d definieren wir ν(A) := lim sup

N→∞

1

N^d]I_N(A) mitI_N(A) :=n

x∈Z^d: x N ∈Ao

,

wobei]I_N(A) die Anzahl der Elemente inI_N(A) bezeichnet. Zeigen Sie:

(a) Ist d = 1 und I ⊂ R ein endliches Intervall, so stimmt ν(I) mit dem Inhalt |I|

¨

uberein. Genauer gilt in dem Fall f¨ur allea, b∈R mita < b:

Nlim→∞

1

N]IN((a, b)) = lim

N→∞

1

N]IN([a, b]) =b−a.

(b) Ist d ∈N beliebig undQ ⊆ R^d ein Quader, so stimmt ν(Q) mit dem Inhalt |Q|

¨ uberein.

Aufgabe 3. (a) Seien (xn)nund (yn)nzwei Folgen in [−∞,∞]. Zeigen Sie, dass dann lim sup

n→∞ (xn+yn)≤lim sup

n→∞ xn+ lim sup

n→∞ yn,

und zeigen Sie an einem Beispiel, dass die linke und die rechte Seite verschieden sein k¨onnen.

(b) Zeigen Sie, dass das die in Aufgabe 2 definierte Abbildung ν: P(R^d) → [0,∞]

endlich subadditiv ist, also f¨ur alle A₁, . . . , A_n⊆R^d gilt, dass ν(A1∪ · · · ∪An)≤ν(A1) +· · ·+ν(An),

und schlussfolgern Sie folgenden Satz der Vorlesung: Sind Q, Q₁, . . . , Q_n ⊆ R^d Quader mitQ⊆Sn

i=1Q_i, so gilt|Q| ≤Pn i=1|Q_i|.

Aufgabe 4. Seif:N→[0,∞) gegeben. Zeigen Sie:

(a) P

n∈Nf(n) = limm→∞Pm

n=1f(n)∈[0,∞].

(Zur Erinnerung: Die linke Seite ist definiert als Supremum der SummenP

n∈Ff(n) f¨ur alle endlichen TeilmengenF ⊆N. Hinweis: Zeigen Sie zwei Ungleichungen.)

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(b) F¨ur jede bijektive Abbildung π:N→NgiltP∞

n=1f(π(n)) =P∞

n=1f(n).

(c) Nun sei f :N → R und es sei P∞

n=1f(n) absolut konvergent. Sei π wie in Auf- gabenteil b. Zeigen Sie, dassP∞

n=1f(π(n)) ebenfalls absolut konvergiert und dass P∞

n=1f(π(n)) =P∞

n=1f(n) gilt.

(Hinweis: Schreiben Sie f(n) =f₊(n)−f−(n) mit f₊(n) = max{0, f(n)}.

Bemerkung: Der ber¨uhmte Riemannsche Umordnungssatz besagt, dass diese Schluss- folgerung f¨ur konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihen stets falsch ist.) Zusatzaufgabe 5. Sei ν: P(R^d) → [0,∞] definiert wie in Aufgabe 2 und µ das

Lebesgue-Maß aufR^d. Zeigen Sie:

(a) F¨ur jede endliche Menge disjunkter W¨urfelW1, . . . , Wn⊆R^d gilt ν(W₁∪ · · · ∪W_n) =ν(W₁) +· · ·+ν(W_n).

(b) F¨ur jede beschr¨ankte offene Menge U ⊆R^d giltµ(U)≤ν(U).

(c) Es gibt eine Lebesgue-Nullmenge A⊆[0,1]^d mitν(A) = 1.

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