Betrachtet werden Balken mit einem konstanten einzelli- gen geschlossenen dünnwandigen Hohlquerschnitt, die durch ein konstantes Torsionsmoment M

Betrachtet werden Balken mit einem konstanten einzelli- gen geschlossenen dünnwandigen Hohlquerschnitt, die durch ein konstantes Torsionsmoment M

belastet werden.

x y

t(s) s

M_x A

B

D

C

Annahmen:

– Die Schubspannung ist über die Wandstärke konstant.

– Die Querschnitte drehen sich um den Schubmittelpunkt und können sich dabei in x-Richtung frei verformen.

– Die Verschiebung in x-Richtung wird als Verwölbung be- zeichnet.

●

Schubfluss:

– Wie beim Querkraftschub wird der Schubfluss definiert als Produkt aus Schubspannung und Wandstärke:

q_sx(s)=τ_sx (s)t (s)

– Gleichgewicht am Wandelement ABCD:

x z

y A

B

D

C α q_sx(x_B, s) q_sx(x_A, s) q_sx(x, s_B )

q_sx(x, s_C )

– Diese Gleichungen müssen für beliebige Werte von x_A , x_B und s_B , s_C erfüllt sein.

∑

∫

x_A x_B

(

)

∑

∫

s_A s_C

(

)

∑

∫

s_A s_C

(

)

– Daher muss gelten:

– Der Schubfluss hängt nicht von x und s ab. Er ist konstant.

– Für die resultierenden Querkräfte folgt:

q_sx(x , s_C)=q_sx (x , s_B) für alle x , s_B , s_C q_sx(x_B , s)=q_sx(x_A, s) für alle s , x_A, x_B

Q_y=

∮

∮

∮

Q_z=

∮

∮

∮





– Da die resultierende Querkraft null ist, kann für die Berechnung des resultierenden Torsionsmo- ments M_x ein beliebiger Be-

zugspunkt P gewählt werden:

– Daraus folgt die 1. Bredtsche Formel:

ds

dA_m q_sx

M_x=

∮

∮

dA_m=1

2 r_nds M_x=2 A_mq_sx

∮

– Dabei ist A_m die von der Profilmittellinie umschlossene Flä- che.

– Für den Schubfluss und die Schubspannung folgt:

– Die größte Schubspannung tritt an der Stelle mit der kleins- ten Wandstärke auf.

– Bei Profilen mit konstanter Wandstärke ist die Schubspan- nung konstant.

q_sx= M_x

2 A_m , τ_sx (s)= M_x 2 A_mt (s)

Verformung:

– Der Querschnitt dreht sich in der yz-Ebene um den Schubmittel- punkt M.

– Dabei gilt für die Verschiebung tangential zur Profilmittellinie:

– Die Verschiebung in x-Richtung ist u(s).

– Damit gilt für die Scherung:

v_t

M rθ

β β

v_t=r θ (x)cos (β)=r_nθ(x)

γ_sx=∂ v_t

∂ x + ∂u

∂s =r_n d θ

dx + du

ds = τ_sx G

– Einsetzen für die Schubspannung ergibt:

– Durch Integration über das komplette Profil entfällt die Ver- wölbung u(s):

– Daraus folgt die 2. Bredtsche Formel:

r_n d θ

dx = M_x

2 A_mt (s)G − du ds

∮

dx = M_x

2 A_mG

∮

d θ

dx = M_x

4 A² G

∮

– Für das Torsionsträgheitsmoment kann aus der 2. Bredt- schen Formel abgelesen werden:

– Die Verwölbung berechnet sich zu

I_T= 4 A²_m

∮

u(s)−u₀= M _x

2 A_mG

∫

0

s d ̄s

t −d θ dx

∫

0 s

r_nd ̄s= M_x

2 A_mG

∫

0

s d ̄s

t −2 A_m(s) d θ dx d θ

dx = M _x

G I _T →

– Einsetzen für die Verdrillung ergibt:

– Dabei ist A_m(s) die vom Fahrstrahl überstrichene Fläche.

– Die Verwölbung ergibt sich relativ zur x-Verschiebung an der Stelle

s = 0. _M

s A_m(s)

u(s)−u₀= M _x

2 A_mG

( ^∫

s d ̄s

t − A_m(s)

A_m

∮

)

Beispiel: Kreisring mit konstanter Wandstärke

– Schubfluss:

– Torsionsträgheitsmoment:

– Verwölbung:

t

R

∫

s d ̄s

− A_m(s)

∮

A_m=π R² → q_sx= M _x 2 π R²

∮

2 π R t=2π R³t

A_m(s)=π R² s

2π R=1

2 R s

Beispiel: Rechteckiges Kastenprofil

– Schubfluss:

– Torsionsträgheitsmoment:

b

h

t_h t_b

S = M

A_m=b h → q_sx= M_x 2 b h

∮

(

+ h t_h

)

I_T= 4 b² h²

=2 b²h²t_b t_h b t h t

Wölbfreie Querschnitte:

– Keine Verwölbung tritt auf, wenn gilt:

∫

0 s ds

t

∮

= A_m(s) A_m

b

t_b = h t_h

– Die Bedingung ist erfüllt für:

● Kreisringprofile

● rechteckige Kastenprofi- le mit

● Kreistangentenprofile mit konstanter Wand- stärke

– Kreistangentenprofile:

● Bei einem Kreistangenten- profil ist die Mittellinie ein Po- lygon, dessen Strecken Tan- genten an einen Kreis sind.

● Dazu gehören beliebige Dreiecke, Quadrate sowie alle regelmäßigen n-Ecke.

L_i s_i R

A_m(s_i )

∫

0 s_i

ds

t = s_i

t ,

∮

∑

∫

0 s_i

ds

t /

∮

∑

1 R s