Prof. Dr. E. Epelbaum Freitag, 04. März 2016
Repetitorium zur
Einführung in die Quantenmechanik und Statistik Blatt 5
5.1 Verständnisfragen
(a) Was gilt für die Entropie im Gleichgewichtszustand?
(b) Was ist der Unterschied zwischen dem mikrokanonischen, kanonischen und großkanoni- schen Ensemble?
(c) Was ist das Gibbs’sche Paradoxon und wodurch wird es gelöst?
5.2 Zwei-Niveau-System
Gegeben sei ein quantenmechanisches System aus N Teilchen, die nur zwei verschiedene Energie- niveaus1und2 annehmen können. Wir wollen dies im mikrokanonischen Ensemble behandeln.
(a) Wie viele verschiedene Mikrozustände lassen sich zu einer festen Energie realisieren?
(b) Zeigen Sie, dass für die Entropie im thermodynamischen Limes gilt:
S =−kBN n1
N ln
n1 N −n1
+ ln
N −n1 N
mit n1 = E−N 2 1−2
Hinweis: Benutzen Sie die Stirling-Formel: ln(ν!)≈νlnν−ν (c) Berechnen Sie die kalorische ZustandsgleichungU(T, N).
5.3 Ideales Gas im Schwerefeld der Erde
Wir betrachten ein ideales Gas ausN Atomen, das in einem Zylinder mit RadiusR und Länge Leingeschlossen ist. Auf die Gasatome wirke die Schwerkraft durch das PotentialV(z) = mgz.
Die Hamilton-Funktion ist dann durch
H =
N
X
i=1
~ pi2
2m +mgzi
gegeben.
(a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme Z.
(b) Berechnen Sie die freie Energie F und die innere Energie U.
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