1. Sei H = L 2 (λ 1 ). Für n ∈ N betrachten wir den Operator M n ∈ L(H), der gegeben ist durch

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

Düsseldorf, den 17.12.2018 Blatt 11

Übungen zu Funktionalanalysis I

1. Sei H = L ² (λ 1 ). Für n ∈ N betrachten wir den Operator M n ∈ L(H), der gegeben ist durch

(M n f )(x) = f (x)

1 + e ^−(x+n)

.

(a) (5P) Zeigen Sie, dass die Folge (M n ) n∈ N stark konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert.

(b) (5P) Konvergiert die Folge auch in der Operatornorm? Beweisen Sie Ihre Aussage.

2. Für n ∈ N sei A _n ∈ L(` ² ) definiert durch

A _n ((x _n ) n∈ N ) = (x _n , 0, 0, . . . ).

(a) (2P) Zeigen Sie, dass s-lim n→∞ A _n = 0.

(b) (8P) Besitzt die Folge (A ^∗ _n ) n∈ N einen starken Grenzwert? Beweisen Sie Ihre Aus- sage.

3. (10P) Sei H ein Hilbertraum. Für jedes j ∈ N sei P j ∈ L(H) eine orthogonale Projek- tion. Für jedes j sei P _j ≤ P _j+1 . Zeigen Sie, dass s-lim j→∞ P _j existiert und gleich der orthogonalen Projektion auf S ∞

j=1 Bild P _j ist.

4. Sei H ein separabler Hilbertraum.

(a) (3P) Es sei E : R → L(H) eine Spektralschar. Zeigen Sie, dass für jedes t der Grenzwert

s-lim s%t E _s =: E _t ⁻ existiert.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 3.

(b) (2P) Zeigen Sie E _t ⁻ ≤ E _t .

(c) (3P) Zeigen Sie, dass E _t − E _t ⁻ eine Projektion ist und dass Bild(E _t − E _t ⁻ ) ⊥ Bild(E _s − E _s ⁻ ), falls s 6= t.

(d) (2P) Zeigen Sie, dass t

E _t 6= E _t ⁻ höchstens abzählbar ist.

Frohe Weihnachten!

Abgabe: Mo, 07.01.2018, in der Vorlesung Besprechung: 16. Januar