Ideales Gas

1

20a Kinetische Theorie der Gase

Missing Link

Arbeit

Kinetische Energie eines Objektes ist eine organisierte Form von Energie.

Alle Moleküle des betrachteten Systems

Temperatur

Kinetische Energie der Bestandteile eines Objektes sind nicht organisiert und willkürlich verteilt

Makroskopische Energie eines Körpers als Ganzes Mikroskopische Energie der

Bestandteile eines Objektes

Wo ist der Zusammenhang?

3

Ideales Gas

Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten keinen festen Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen.

Das Volumen eines Gases V

deshalb nicht wohl definiert

Gesucht Zustandsgleichung für ein Gas, das einen Zusammenhang liefert zwischen Druck, Volumen und Temperatur des Systems.

Ein Gas bei geringem Druck und geringer Wechselwirkung der Atome untereinander nennt man ideales Gas

Cool Hot

Je länger die Pfeile, desto größer ist die Geschwindigkeit der Moleküle

RT n

PV =

Ideales Gasgesetz

Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur

Avogadrozahl

Definition

Ein Mol ist die Anzahl von Atomen, die sich in 12 g Kohlenstoff befinden

Einheit SI

eine ist Mol Das

mol Teilchen 10

6.02

hl Avogadroza

⋅

=

N

Wieviele Atome sind in einem Mol

eines Stoffes enthalten? Anzahl mol in einem Probenvolumen

mol Av

At Av

At Av

At mol At Av

mol At

Av At mol

m N

M M

n M

M m N M

M m

N n N

=

=

=

⇒

=

=

: Probe der

Masse

: Molekülen von

Mol eines

Masse

: Moleküls Atoms/

eines Masse

nstante Avogadroko

Probe in

Atome Anzahl

Wasserstoffatom H Masse 1 amu

1g/ mol Heliumatom He

Masse 4 amu 4g/ mol

Sauerstoffmolekül O₂ Masse 32 amu

32 g/ mol

siehe auch WS 08/ 09 Kapitel 2: Definition on Naturkonstanten

5

Ideales Gas

mal so mal so ausgedrückt

RT n

pV =

Gases Idealen

des Gesetz

K 10 J

38 . 1

mol 10

6.02

K mol 31 J . 8

onstante Boltzmannk

Definition

23 1 - 23

⋅

=

⋅ ⋅

=

=

=

B B

B Av

Av B

B

k k

k N R

N k R

k K

mol 31 J . 8

te Gaskonstan

Definition

= ⋅ R

R

( )

Gases Idealen

des Gesetz

T k N pV

k N R n

N N N

k R n

B At

B At mol

Av At Av

B mol

=

⇓

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

definiert über Anzahl Atome/ Moleküle

definiert über Anzahl Atome/ Moleküle in mol

Reale Gase verhalten sich bei niedrigem Druck annähernd wie ein ideales Gas

Avogadrokonstnte

[ ] [ ] [ ]

[ ]

= ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅

= ⋅

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

K mol

J K mol

Nm K m² mol

Nm³

R R R

T n R PV

mol

Dimensionsbetrachtung Anzahl Moleküle

Av At

mol

N

n = N

Erinnerung

Isotherme Zustandsänderung

Ideales Gas

unter der Randbedingung

Temperatur und Teilchenzahl wird konstant gehalten R ist Konstante

f

i

V

V →

Betrachteter Prozess

1 Isotherme

1 ltnisse Druckverhä

p V

RT V n

p

≈

⇓

=

[ ]

f b

b a a

V V mol

isotherm

V mol V

isotherm V V

mol isotherm

V isotherm V

V V RT n

W

V RT dV

n W

V dV RT W n

pdV W

i f

i f

i f

i

ln

Arbeit che

erforderli die

Berechne

ln ln ln

2

=

⇓

=

=

=

=

=

−

∫

∫

∫

Arbeit beim isothermer

7

Abhängigkeit von den anderen Zustandsvariablen

Druck oder Volumen

0 ln

Arbeit che

erforderli die

Berechne

0 1 ln

=

⇓

=

=

=

=

=

=

∫

const V

i f const

V

V const V

V

W

V nRT V

W

V dV W

nRT

i

Volumen wird konstant gehalten

( )

V p W

V V

p W

pdV W

const V

i f const

V

V const V

V

f

i

Δ

=

⇓

−

=

⇓

=

=

=

=

∫

Arbeit che

erforderli die

Berechne

Druck wird konstant gehalten

isobare Zustandsänderung isochore Zustandsänderung

V EINS V V

V

i f i

f

= ⇒ =

Zustandsänderungen

verschiedene Möglichkeiten, eine Zustandsänderung herbeizuführen

1 adiabatischer Prozess (ΔQ=0) 2 isochorer Prozess (ΔV=0)

3 isobarer Prozess (Δp=0) 4 isothermer Prozess (ΔT=0)

9

Expansion von eines Gases

Ausgangsparameter

12 Liter Behälter mit Sauerstoff bei 20 °C und 15 atm

Endparameter 8.5 Liter Behälter Sauerstoff bei 35 °C

Annahme ideales Gas

i i

i

V nRT

p = p

V

= nRT

f i

i f i f

i f

i f i

f

V T

V p T

p

T V

V T p

p

const n

=

⇓

=

⇓

=

( )

( )

( )( )

( )( )

atm 22.3

l 8.5 K 293

l 12.0 K

atm 308 15

K 35 273

K 20 273

=

=

⇓ +

=

+

=

f f

f i

p p

T T

anders sieht es mit der Temperatur aus. Hier ist der Unterschied zum ABSOLUTEN Temperaturnullpunkt

entscheidend

Die Angaben in Liter brauchen nicht unbedingt in m³ umgerechnet werden, da nur Quotient betrachtet wird

Anzahl der Moleküle ändert sich nicht

!

!

! und

!

!

! V

≠ V

T

≠ T

41 . m³ 1 10 0.85

m³ 10 1.5 5

. 8 12

5

5 =

⋅

= ⋅

= ⁻₋

l l V

V

f i

Änderung von Volumen und Temperatur führt zu veränderten Druckverhältnissen

Kompression eines Gases

isotherme Expansion eines Idealen Gases

Endparameter

1 mol Sauerstoff im 12 Liter Behälter bei 35 °C

Anfangsparameter 1 mol Sauerstoff im 8.5 Liter Behälter bei 35 °C

Berechne die Arbeit, die das Gas leisten muss

Temperatur konstant, dh. isotherme Expansion

( ) ( )

J 874

l 8.5

l ln 12 K K 305

mol 8.31 J mol

1

ln

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⋅

=

W W

V nRT V

W

i f

Für eine anschliessende Kompression ist Arbeit am System zu leisten W=-874 J

11

Moleküle im Kasten

Versuchsbedingung

Gasmenge von n mol in einem Behälter Behälterwände haben eine Temperatur T

Fragestellung

Gibt es einen Zusammenhang zwischen der makroskopischen thermodynamischen Größe Druck und der mikroskopischen Bewegung der

Atome und Moleküle

Ideales nicht-wechselwirkendes Gas

Moleküle stoßen elastisch und NUR mir Wand aber NICHT untereinander. Durch die Stöße wird ein Druck aufgebaut.

( ) ( )

x

x x

x

v 2

v 2 v

v

m p

m m

m p

Wand x Molekül

x

= Δ

−

=

−

−

= Δ

keine Änderung in Richtung der y- Komponente der

Bewegung

Impulsübertrag auf die Wand Impulsübertrag auf das Molekül

Newtonsche Dynamik bei ELASTISCHEM Stoß

Bemerkung

in diesem Fall ist p der Impuls und nicht der Druck

v

− m

v

m

Moleküle im Kasten

Zeitabstand zwischen zwei Stößen mit ein und derselben Wand

Druck p ist Kraft auf Fläche (dxd)

Newton sagt Kraft entspricht der

zeitlichen Änderung des Impulses

v

t = 2d Δ

d m d

m

F

t

2

x

v

v 2

v 2

p = =

Δ

= Δ

(

)

2

2 , 2

2 , 2

1 ,

1 2

,

2

v ...

v v

... v v

v

N

i

i x

x

p m

d

d m d

m d

m d

p F

d p F

+ + +

=

+ +

= +

=

=

∑

Es gibt N Beiträge zum Impuls aufgrund der Anzahl

der Moleküle in der Box

Um den Druck auszurechnen addiert man alle Impulsüberträge auf die Wand

(Fläche der Wand d²)

makroskopisch mikroskopisch

13

Moleküle im Kasten

( )

2 M Masse molare d³

V

2 3

Teilchen Anzahl

2 , 2

2 , 2

1 3 ,

v v

v ...

v v

mol

avg mol mol

avg Av

mol

N n N

N x x

x

V M p n

d m N p n

d p m

Avm N M

Av mol

=

⇓

=

⇓

+ + +

=

=

=

=

Anstatt zu summieren. Ersetzen des Impulses der einzelnen Teilchen durch den mittleren Impuls aller Teilchen Anzahl der Moleküle ist

Anzahl mol x Avogadrozahl

( )

2

2 , 2

2 , 2

1 , 2

v v

Definition

v ...

v 1 v

v

avg rms

N x x

x

avg

N

=

+ + +

=

Moleküle bewegen sich in alle drei Raumrichtungen

2 avg 2 2

x

2 z 2 y 2

x 2

3 v 3 v v 1

v v

v v

V M p = n

⇓

=

⇒

+ +

=

root-mean-square Geschwindigkeit mittleres Quadrat der

Geschwindigkeit hier geht’s weiter

Moleküle im Kasten

mol rms

mol mol

rms

RT n pV

rms mol mol

M RT

M n

pV V

M p n

mol

v 3 v 3

3 v

2

=

=

⇓

=

=

mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur

Beispiel

Temperatur im Kern der Sonne 15 Millionen Kelvin

⎟ ⎞

⎜ ⎛ ⇒ ⋅

=

= ⋅

=

10 km 1.5 v 224

v

300K K 10 15 v

v v

v

6 atur Raumtemper

Sonne der Kern

6 atur

Raumtemper Sonne der Kern

atur Raumtemper

Sonne der Kern atur

Raumtemper Sonne der Kern

rms rms rms

rms rms

rms

T T

hier geht’s weiter

J KE

J KE

Fusion H

12 14

10 5

10

2

5

−

−

⋅

=

⋅

=

15

Kinetische Energie

Translation

Translationsenergie

T k KE

N KE RT

M m RT KE

m KE

B avg

N k R

Av avg

m N M avg

M RT

rms avg

Av B

mol A rms

2 3

3 2 1

3 2 1 2 v 1

v 3

2

2

=

⇓

=

⇓

=

⇓

=

=

=

=

Mittlere kinetische Energie eines idealen Gases unabhängig von Art des Gases

Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküle

schwerer Gase bewegen sich gleicher Temperatur langsamer siehe zum Vergleich die Tabelle

Boltzmankonstante

Schallgeschwindigkeit

Bemerkenswert

Mittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft höher als die Schallgeschwindigkeit von 330 m/s

Noch zu klären

Warum breitet sich ein Duft dann nicht schneller aus?

17

Mittlere freie Weglänge

Wie oft stoßen Moleküle untereinander?

Verschiedene Arten, die mittlere freie Weglänge zu ermitteln

Moleküle mit einem bestimmten Durchmesser d stoßen

Billardphysik

Moleküle hat den doppelten Durchmesser 2d und stößt mit

Punktteilchen

Moleküle mit Durchmesser d fliegt für eine bestimmte Zeit t mit

Geschwindigkeit v durch ein Volumen OHNE einen Stoß zu machen

Mittlere freie Weglänge λ _mfp

Alle Moleküle bewegen sich entlang gerader Bahnen mit einer mittleren Geschwindigkeit , bis sie elastischmit anderen Molekülen stoßen

mfp: mean free path

λ

ist die mittlere Entfernung die ein Molekül zurücklegt, bevor es mit einem anderen Molekül stößt

Vermutung 1

λ_mfpskaliert invers mit Anzahl Moleküle im Volumen

N V V

N

mfp

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

≈ ⎛

−1

λ

Vermutung 2

λ_mfpskaliert invers mit Durchmesser der Moleküle

² 1

mfp

≈ d λ

² 1 2

1

d N V

mfp

π

λ =

mittlere freie Weglänge eines

Moleküls in einem idealen Gas Typische Werte

Meereshöhe 0.1 μm Höhe 100 km: 16 cm

19

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

James Clerk Maxwell (1831-1879)

Geschwindigkeit

Wahscheinklichkeit

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

RT M RT

P M

2 exp v

2 v 4 v

2 2 2

3

π π

Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat

Genauer hingeschaut

Welche Geschwindigkeiten gibt es in einem as bei einer bestimmten Temperatur?

exaktes Ergebnis

P(v=1000 m/s) bei 300 K P(v=1000 m/s) bei 800 K

höchere Geschwindigkeiten immer unwahrscheinlicher geringe Geschwindigkeiten

unwahrscheinlich

Erwartung: es gibt irgendwo ein Maximum in der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

RT M RT

P M

2 exp v

2 v 4 v

2 2 2

3

π π

Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat

( ) v

2 exp v

2 v 4 v v

2 2 2

3

RT d M RT

d M

P

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π π

Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv

v

v

∫

P ( ) v d v

Vorfaktoren sind so gewählt, dass eine Integration über alle möglichen Geschwindigkeiten die

Wahrscheinlichkeit EINS liefert

( ) d EINS

P =

∫

v v

M: molare Masse

Wahscheinklichkeit

dv Normierung

↓

⋅ d v

irgendeine Geschwindigkeit muss jedes der Moleküle haben

21

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

( ) v

2 exp v 2 v

4 v v

2 2 2

3

RT d M RT

d M

P ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ π π

Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv

mittlere Geschwindigkeit

( )

( ) M

d RT P

M d RT

P

avg rms

π v 8 v v v

v 3 v v v

0 2 2

0 2

=

=

=

=

∫

∫

∞

∞

wahrscheinlichste Geschwindigkeit

M RT d

dP

mp

v 2 v 0

2

=

⇒

=

mp: most probable

Geschwindigkeit

Wahscheinklichkeit

Impulse werden stärker gewichtet

Kinetische Energien werden stärker gewichtet

( ^{T 100 K} )

v

=

( T 300 K )

v

=

( ^{T 800 K} )

v

=

Geschwindigkeitsverteilung

Verteilung der Geschwindigkeiten ist asymmetrisch

N_v: Anzahl der Moleküle mit einem Geschwindigkeitsintervall dv

um die Geschwindigkeit v

d

dP 0 v v = ⇒

steiler

flach er

Die linke Hälfte der Teilchen hat einen Impuls mit Werten bis zu

v

Die linke Hälfte der Teilchen hat eine kinetische Energie mit Werten bis zu

v

v 2 ) v

v

(

0 v

d EINS P

const ⋅ ∫

=

v 2 ) v (

rms

v

v 0 v

2

EINS

d P

const ⋅ ∫

=

23

Geschwindigkeitsverteilung

Stickstoffgas aus 10 000 Molekülen

Normierung diesmal auf die Anzahl der Moleküle im Volumen

Molare spezifische Wärme

Ideales Gas

RT n

E

T k E

T k KE

mol k R

B B avg

B

2 3

2 N 3 n

2 3

int

N A mol int

nN

A A

=

⇓

=

⇓

=

=

mittlere kinetische Energie pro Atom

innere Energie von n Mol eines idealen Gases

Innere Energie eines idealen Gases hängt einzig und allein von der Temperatur des Gases ab!

Sie hängt von keiner anderen Zustandsvariablen ab.

Warum diese Einschränkung auf ein ideales Gas?

Moleküle haben die Möglichkeit Energie in inneren Freiheitsgraden

zu speichern!

Vorläufige Annahme Gas ist monoatomar

(z.B. He, Ar)

ideales Gas

Das ist bemerkenswert!

25

Molare spezifische Wärme

1. Fall: Volumen konstant

T c

n

Q =

Δ

Temperatur steigt an Druck steigt an

Volumen konstant

NULL pdV

W

V V

p p

p

T T

T

=

=

= Δ +

→

Δ +

→

d.h.

notwendige Energiemenge

molare spezifische Wörme bei konstantem Volumen

1. Hauptsatz der Thermodynamik

K mol 12.5 J

2 3

2 3 int

0 0

int int

int 2

3 int

= ⋅

=

⇓

Δ

= Δ

⇓

− Δ

= Δ

−

= Δ

Δ

= Δ

=

=

=

V V

T R n E mol V

W pdV

V mol

c

R c

T n

c E

W T c n E

W Q E

RT mol nmol

Vergleich zu realen atomaren Gasen E

K mol 12,6 J

K mol 12,5 J

= ⋅

= ⋅

Ar v

He v

c c

Der theoretische Wert stimmt gut mit den tatsächlichen Werten überein

K mol 314 J .

8 ⋅

= R

Temperatur steigt an Volumen vergrößert sich Druck bleibt konstant

Molare spezifische Wärme

1. Fall: Volumen konstant

R c

2

= 3

T c n E

T c n E

RT n

E

v mol

v mol

mol

Δ

= Δ

=

⇓

=

int int

Gas ideales allgemein

int

2

3

konstanter Druck

Änderung des Volumens Änderung von Druck

und Volumens keine Abhängigkeit von

Druck oder Dichte des Gases

Änderung der internen Energie bei konstantem Volumen wird nur durch die Temperaturänderung

bestimmt und nicht vom gewählten Prozess Einfacher Weg die Änderung der internen

Energie zu berechnen

27

Molare spezifische Wärme

2. Fall: Druckverhältnisse konstant

T c

n

Q =

Δ

notwendige Energiemenge

molare spezifische Wörme bei konstantem Druck

V

p

c

c >

V p

V p

p V

mol p

mol V

mol

nRT pV p V

pd p mol V

mol

T c n T Q c n E

c c R

R c

c

R c

c

T R n T c n T c n

W T nc T

nc

W T c n T c n

W Q E

p V mol

mol

−

=

+

=

−

=

Δ

− Δ

= Δ

⇓

− Δ

= Δ

⇓

− Δ

= Δ

−

= Δ

=

= Δ Δ =

= Δ

Gas ideales

V W const Druck

int

int

c

molare spezifische Wärme bei konstantem Druck ist stets größer als die molare spezifische Wärme bei konstantem Volumen

Q W

Wärmeenergie erhöht die Temperatur

Arbeit muß aufgebracht werden um den

Stempel zu bewegen

Druck soll konstant bleiben bei größerem Volumen, d.h.

Gastemperatur muss sich erhöhen

pdV W =

dV V + p

V

67 .

= 1

=

V p

c

γ c

Molare spezifische Wärmen

AUFFALLEND

Für mehratomige Gase stimmen die Werte von c_Vund

c_p nicht mehr mit den berechneten Werten von 12.5 J/ (mol K) überein

Woran liegt das?

Berechneter Wert für das ideale Gas

( )

67 . 1

K mol 814 J . 20

K mol 314 J . 8 5 . 12

K mol 5 J . 12

=

=

= ⋅

+ ⋅

= +

=

= ⋅

V p p

V p

V

c c c

R c c

c

γ

)

( = R

29

Gleichverteilung der Energie

Im Gegensatz zu Atomen gibt es bei Molekülen zusätzliche Möglichkeiten Energie zu speichern

Freiheitsgrade

Atomen haben nur drei Freiheitsgrade der Bewegung (Translation in x, y, z Richtung)

= 3 f

Zweiatomige Moleküle haben zwei zusätzliche Freiheitsgrade der Rotation

und einen Freiheitsgrad der Vibration

= 6 f

Mehratomige Moleküle haben zusätzlich drei Freiheitsgrade der Rotation und drei

Freiheitsgrade der Vibration

= 9 f

andere Möglichkeiten der Energiespeicherung

Freiheitsgrade der Bewegung

Das THEOREM von Maxwell

Jedes Molekül hat eine bestimmte Anzahl f von Freiheitsgraden. Diese können unabhängig voneinander Energie speichern. Jeder Freiheitsgrad

verfügt im Mittel über eine Energiegehalt von

Gleichverteilungssatz der Energie Mol

2 pro 1

Molekül 2 pro

1

RT T k

A

B N

k R B

⇓

(1831-1879)

Molekül Beispiel Freiheitsgrade

mono-atomares Gas He 3 = 3 x trans

di-atomates Gas H₂ 6 = 3 x trans + 2 x rot + 1 x vib poly-atomares Gas CH₄ 9 = 3 x trans + 3 x rot + 3 x vib

31

Molare Wärmekapzität

67 .

= 1

V p

c c

29 .

= 1

V p

c c

50 .

= 1

V p

c c

Ideales Gas

Molare Wärmekapazität von H ₂

Quantenphysik bestimmt

Energieeinkopplung bei tiefen Temperaturen

H 2

Quantisierung der Energie

Im Gegensatz zur klassischen Mechaniksind in der Quantenphysik die möglichen Energiezustände nicht

kontinuierlichsondern diskret

Mindestenergie um eine Rotation des Moleküls anzuregen

Mindestenergie um eine Schwingungbewegung des Moleküls zu erreichen

Erwin Schrödinger 1887-1961