für Studierende der Physik

UNIVERSITÄT HEIDELBERG Physikalisches Praktikum II A

für Studierende der Physik

Teil 1 Mechanik und Thermodynamik

Praktikumsvorbereitung

211 Gekoppelte Pendel 212 Zähigkeit von Flüssigkeiten 213 Kreisel

221 Adiabatenkoeffizient N c

/c

222 Heißluftmotor

223 Messung der Boltzmannkonstante Teil I Brownsche Bewegung

Teil 3 Elektrizität und Radioaktivität

241 Wechselstromeigenschaften von RCL-Gliedern (

242 Spannungsverstärkung

243 Messung der Boltzmannkonstante Teil II Thermisches Rauschen 244 Transformator

Erläuterungen zur Dosimetrie

Grundlagen zu den Versuchen der Radioakitivität

251 Statistik

252 Aktivierung mit thermischen Neutronen 253 Absorption von DEund JStrahlen

254 Absorption und Dosimetrie von Röntgenstrahlen 255 Röntgenspektrometer

Die Versuche werden in der Reihenfolge der Versuchsnummern durchgeführt.

Ausgabe 102007/200

Teil 2

Teil 2 Optik

231 Polarisiertes Licht

232 Michelson-Interferometer

233 Fourieroptik

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

Versuch 231 Polarisiertes Licht

Abbildung 1:Versuchsaufbau.

I Messaufbau

• Drehtisch mit Winkeleinteilung und drei Halterungen

• Diodenlaser (λ= 670nm)

• Detektor (Fotoelement BPY 63) mit Verst¨arker

• Linearanalysator, λ/4-Pl¨attchen sowie zwei planparallele Glasplatten (BK7 oder SF6 mit den Brechungsindizees n_BK7 = 1,514 und n_SF6=1,796 f¨urλ=670 nm.

II Literatur

• W. Walcher, Praktikum der Physik, B.G.Teubner Stuttgart.

• Bergmann-Sch¨afer,Experimentalphysik, Band III,

• Homepage des Praktikums (http://www.physikpraktika.uni-hd.de).

III Vorbereitung

Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor: Grundlagen der geometrischen Optik (Brechung, Reflexion), Wellenoptik (Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen, Huygen’sches Prinzip), linear, zirkular und elliptisch polarisiertes Licht, Polarisation durch Reflexion (Fres- nel’sche Formeln, Gesetz von Brewster), Polarisation durch Doppelbrechung (λ/4-Pl¨attchen).

Verst¨andnisfragen:

1. Warum kommt bei senkrecht zueinanderstehenden Linearpolarisationsfil- tern kein Licht durch?

2. Was passiert bei drei aufeinanderfolgenden Polarisationsfiltern mit den Po- larisationsrichtungen 0^◦-45^◦-90^◦, wenn unpolarisiertes Licht einf¨allt? Wie viel Licht kommt ungef¨ahr durch?

3. Wozu verwendet man ein λ/4-Pl¨attchen? Worauf beruht das Funktions- prinzip solch eines Pl¨attchens?

4. Zwei Polfilter stehen senkrecht zueinander. Wie muss ein λ/4-Pl¨attchen zwischen die zwei Polfilter eingef¨ugt werden, damit die durchgelassene Lichtintensit¨at maximal wird?

5. Wie ist der Brewsterwinkel definiert? Welche Eigenschaften hat im Brew- sterwinkel reflektiertes und transmittiertes Licht?

IV Aufgaben

1. ¨Uberpr¨ufen Sie mittels Brewster’scher Reflexion die Markierung der Schwingungsebene am Laser.

2. Messen Sie die Intensit¨at des an einer Glasscheibe reflektierten und trans- mittierten Lichts in Abh¨angigkeit des Einfallswinkels und der Polarisati- onsrichtung.

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

3. Stellen Sie mit einemλ/4-Pl¨attchens elliptisch polarisiertes Licht her und f¨uhren Sie eine Intensit¨ats-Analyse durch.

V Grundlagen

Licht ist wie alle elektromagnetischen Wellen eine transversale Welle. Bei sol- chen Wellen schwingt sowohl das elektrische FeldE als auch das magnetische FeldB senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, die durch den Wellenvektorkbe- schrieben wird (Abbildung 2). Im Vakuum oder in isotropen Medien gilt die Beziehung:

E⊥B ⊥k, (1)

d.h. alle drei Vektoren sind senkrecht zueinander orientiert.

x y

z E

B

k

Abbildung 2: Orientierungen des E- Felds, des B-Felds und des Wellen- vektors k einer linear polarisierten, transversalen elektromagnetischen Wel- le, die sich inz-Richtung ausbreitet.

Unter Polarisation versteht man die Orientierung desE- oder des B-Feldes.

Wir wollen im Folgenden nur das elektrische Feld E zur Beschreibung der Polarisation heranziehen.

Man unterscheidet drei Arten von Polarisation:

1. Linear polarisiertes Licht

Findet die Schwingung des E-Feldes in genau einer einzigen Ebene statt, spricht man von linear polarisiertem Licht. In Abbildung 2 schwingt das E-Feld in deryz-Ebene, die auch als Schwingungsebene bezeichnet wird.

z

x y

x y E_y

E_x

E ^Ey E_x

k

z

x y

x y

Ey

E_x

E

k

a)

lineare Polarisierung zirkulare Polarisierung

b)

f

Abbildung 3:Verdeutlichung der linearen und zirkularen Polarisation. a) Line- ar polarisiertes Licht. DerE-Vektor l¨asst sich durch eine ¨Uberlagerung zweier senkrecht zueinanderschwingenden Felder Ex und Ey darstellen. Ex und Ey

schwingen in Phase. b) Bei zirkular polarisiertem Licht betr¨agt die Phasenver- schiebung zwischen den beiden Komponenten Ex undEy 90^◦ bzw.π/2.

Bild 3a) zeigt den allgemeinen Fall, bei dem die Schwingungsebene den Winkel ϕ gegen die x-Richtung einnimmt. In diesem Fall l¨asst sich die Welle durch ¨Uberlagerung zweier senkrecht zueinander, linear polarisierten WellenEx, Ey darstellen (Abbildung 3a):

E(z, t) =

Ex(z, t) Ey(z, t)

=

E0cos(ϕ) E0sin(ϕ)

cos(ωt−kz), (2) wobei E0 der Betrag desE-Feldes, ω= 2πν die Kreisfrequenz,k= 2π/λ die Wellenzahl (Betrag des Wellenvektorsk) darstellen undϕden Winkel zwischen Schwingungsebene undx-Richtung beschreibt. Beide Komponen- tenEx(z, t) undEy(z, t) schwingen bei linear polarisiertem Licht in Phase.

2. Zirkular polarisiertes Licht c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

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Dreht sich der E-Vektor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und mit gleichbleibendem Betrag um den Wellenvektor, so spricht man von zirku- larer Polarisation. Die Spitze desE-Vektors beschreibt eine Spirale. (Abbil- dung 3b). Zirkular polarisiertes Licht l¨asst sich durch ¨Uberlagerung zweier senkrecht zueinander, linear polarisierten Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude erzeugen. Die Phasenverschiebung dieser Wellen muss entweder π/2 oder−π/2 betragen:

E(z, t) =

Ex(z, t) Ey(z, t)

=

E0cos(ωt−kz) E0sin(ωt−kz)

, (3)

Je nach Drehrichtung unterscheidet man rechtszirkulare bzw. linkszirku- lare Polarisation. Dreht sich der E-Vektor rechts herum, wenn man ge- genden Lichtstrahl blickt (d.h. die Welle kommt auf den Beobachter zu), spricht man von rechtszirkularem Licht.

3. Elliptisch polarisiertes Licht

Bei der ¨Uberlagerung zweier senkrecht zueinander, linear polarisierten Wellen mit gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplitude, bzw. bei gleichen Amplituden aber einer Phasenverschiebung ungleich 0 oderπ/2, entsteht elliptisch polarisiertes Licht. Die Spitze desE-Vektors bewegt sich auf einer elliptischen Spirale.

V.1 Erzeugung von polarisiertem Licht

Nat¨urliches Licht (

”Temperaturstrahler“, Sonne) ist in der Regel nicht pola- risiert. Solches Licht entsteht durch atomare Strahlungs¨uberg¨ange einer sehr großen Anzahl von Atomen. Jedes dieser Atome strahlt eine Lichtwelle ab, de- ren Polarisationsrichtung v¨ollig statistisch im Raum verteilt ist, so dass sich die Schwingungsebene des ausgesendeten Lichts fortlaufend ¨andert und daher keine ausgezeichnete Richtung besitzt.

Es gibt mehrere Methoden unpolarisiertes Licht zu polarisieren. Wir wollen in den folgenden Abschnitten vor allem auf die Polarisation durch Reflexion, sowie auf die Polarisation durch doppelbrechende Kristalle eingehen.

V.2 Polarisationsfilter: Polarisation durch Absorption

Polarisationsfilter (Polaroidfilter) bestehen aus einer speziellen Kunstsofffolie, in denen die einzelnen Molek¨ulketten parallel zueinander ausgerichtet sind (z.B.

durch mechanisches Strecken). Zus¨atzlich wird die Folie noch mit einer Jodver- bindung dotiert. Dadurch werden in den Molek¨ulketten Elektronen eingelagert, die sich aber nur l¨angs der Ketten bewegen k¨onnen. Senkrecht zu den Ketten- molek¨ulen sind die Elektronen unbeweglich. Trifft nun Licht, dessenE-Vektor parallel zu den Molek¨ulketten orientiert ist auf die Folie, so werden die ein- gelagerten Elektronen durch das elektrische Feld entlang der Molek¨ulketten beschleunigt. Die dazu notwendige Energie muss von dem einfallenden Licht aufgebracht werden, wodurch dieses absorbiert wird. Ein Polarisationsfilter ist demnach f¨ur Licht, das parallel zu den Kettenmolek¨ulen polarisiert ist, un- durchl¨assig. F¨allt dagegen Licht, dessenE-Vektor senkrecht zu den Molek¨ulket- ten orientiert ist auf das Filter, so werden die Elektronen nicht beschleunigt und das einfallende Licht kann das Filter passieren. Bei linear polarisiertem Licht mit beliebig orientierter Polarisationsrichtung, l¨asst sich der E-Vektor in eine Komponente parallel zu den Kettenmolek¨ulen und in eine Komponente senkrecht dazu, zerlegen. Durch das Filter wird nur die senkrechte Komponente transmittiert. (Abbildung 4a)

Abbildung 4:a) Wirkungsweise eines Polarisationsfilters. b) F¨allt unpolarisier- tes Licht auf einen Polarisator, so ist das Licht parallel zur Transmissionsachse linear polarisiert. F¨allt dieses wiederum auf einen weiteren Filter dessen Trans- missionsachse umψgedreht ist, so wird nur der Anteil I0cos²ψdurchgelassen (Gesetz von Malus).

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Polarisationsfolien lassen sich zum einen als Polarisatoren, d.h. zur Erzeugung von linear polarisiertem Licht verwenden, zum anderen auch als Analysato- ren, d.h. zum Nachweis der Polarisationsrichtung (Abbildung 4b). Trifft linear polarisiertes Licht der Feldst¨arke E0, bzw. der Intensit¨at I0 ∝E₀², auf einen Analysator dessen Transmissionsachse gegen¨uber der Polarisationsrichtung um den Winkelψverdreht ist, so wird nur der BetragE0cosψtransmittiert. F¨ur die Intensit¨at nach dem Analysator gilt :

I=I0cos²ψ (Gesetz von Malus). (4) F¨ur ψ= 90^◦ verschwindet die Intensit¨at:

”Gekreuzte“ Polarisationsfilter lassen kein Licht durch!Ist die Transmissionsachse des Analysators bekannt, so l¨asst sich die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichts bestimmen.

V.3 Polarisation durch Reflexion

Trifft Licht auf ein transparentes, nichtmetallisches Medium (z.B. eine Glas- platte) so wird es zum einen reflektiert und zum anderen im Medium gebro- chen. Das reflektierte Licht hat die Eigenschaft, dass es teilweise polarisiert ist, wobei der Polarisationsgrad vom Einfallswinkel und vom Brechungsindex abh¨angt. Bei einem bestimmten Einfallswinkelα, bei dem das gebrochene und das reflektierte Lichtb¨undel einen Winkel von 90^◦ einnehmen, ist das reflek- tierte Lichtb¨undel vollst¨andig linear polarisiert. DerE-Vektor des reflektierten Lichtes schwingt in diesem Fall senkrecht zur Einfallsebene, die durch das ein- fallende und reflektierte Lichtb¨undel aufgespannt wird (Abbildung 5). Diese Eigenschaft wird nach dem Entdecker David Brewster auch alsBrewster’sches Gesetzbezeichnet. Der Einfallswinkel α, bei dem das reflektierte Lichtb¨undel vollst¨andig linear polarisiert ist, heißtBrewsterwinkelαB.

Der Brewsterwinkel h¨angt nur vom Brechungsindex ab und l¨asst sich leicht aus dem Snellius’schen Brechungsgesetz

sinα sinβ = n2

n1 (5)

ableiten, wobei α der Einfallswinkel, β der Winkel des gebrochenen Lichtb¨undels undn1, n2die Brechungsindizees der entsprechenden Medien dar- stellen. F¨allt Licht unter dem Winkelα=αB ein, so betr¨agt der Winkel zwi- schen reflektiertem und gebrochenem Lichtb¨undel 90^◦ bzw.π/2 und es gilt:

αB+β+π

2 =π ⇒ β=π

2 −αB. (6)

Abbildung 5:a) Definition der Einfallsebene, die durch die einfallenden, reflek- tierten und transmittierten Lichtb¨undel aufgespannt wird. b) Lineare Polarisa- tion durch Reflexion. F¨allt Licht unter einem ganz bestimmten Einfallswinkel (Brewsterwinkel) ein, so ist das reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene linear polarisiert (Gesetz von Brewster).

Hiermit folgt aus dem Brechungsgesetz sinαB

sinβ = sinα

sin(π/2−αB) = sinαB

cosαB

= tanαB= n2

n1. (7) Somit l¨asst sich das Gesetz von Brewster auch folgendermaßen formulieren:

Trifft Licht von einem Medium mit dem Brechungsindex n1

unter dem Einfallswinkel tanαB = n2/n1 auf ein Medium mit dem Brechungsindex n2, so ist das reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene vollst¨andig linear polarisiert.

V.3.1 Fresnel’sche Formeln

Eine genaue Beschreibung der Reflexion und Brechung unter Ber¨ucksichtigung der Polarisationsverh¨altnisse liefern die sogenannten Fresnel’schen Formeln. Sie geben die relativen Feldst¨arken des reflektierten und gebrochenen Lichtes f¨ur die Polarisationsrichtungen parallel und senkrecht zur Einfallsebene an. Die Feldst¨arke des einfallenden Lichtes seiEe, die des reflektierten LichtsEr und c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

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die des transmittierten (gebrochenen) LichtsEt. Licht, das senkrecht zur Ein- fallsebene polarisiert ist, wird durch das Zeichen ⊥ indiziert, bei parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht verwenden wir den Index ||. Ferner nehmen wir an, dass das Licht von Luft aus (n1 ≈ 1) unter dem Winkel α auf ein Medium mit dem Brechungsindex n2 =n trifft. In dieser Notation lauten die Fresnel’schen Formeln¹:

ρ||= E^r||

E^e||

= n²cosα−

n²−sin²α n²cosα+

n²−sin²α

(8)

ρ⊥= Er^⊥

Ee^⊥

= −

n²−sin²α−cosα₂

n²−1 (9)

τ||= Et^||

E^e||

= 2ncosα

n²cosα+

n²−sin²α

(10)

τ⊥= Et^⊥

Ee^⊥

= 2 cosα

n²−sin²α−cosα

n²−1 (11)

Bei der Versuchsdurchf¨uhrung sollen Sie die Fresnel’schen Formeln experimen- tell best¨atigen. Dabei ist zu beachten, dass man nicht direkt die Feldst¨arke des Lichts messen kann, sondern lediglich die Intensit¨at I, die proportional zum Quadrat der Feldst¨arke ist. Anstattρund τ schreiben wir f¨ur die experimen- tell messbaren Gr¨oßen R undT, die als Reflexionskoeffizient bzw. Transmis- sionskoeffizient bezeichnet werden. F¨ur den ReflexionskoeffizientR gilt wegen I∝E²:

R||= I_r^||

I_e^||

= E^||_r

E^||_e

₂

=ρ²_|| (12)

R⊥= I^⊥_r

I^⊥_e

= E^⊥_r

E^⊥_e

₂

=ρ²_⊥, (13)

wobei Ie, Ir die Intensit¨at des einfallenden bzw. des reflektierten Lichts be- schreiben. F¨ur den Transmissionskoeffizienten m¨ussen wir zus¨atzlich ber¨uck- sichtigen, dass das gebrochene Lichtb¨undel eine andere Querschnittsfl¨ache be- sitzt als das einfallende Lichtb¨undel. Da die Intensit¨at die Leistung pro Fl¨ache angibt, geht f¨ur T noch das Verh¨altnis des Kosinus von Aus- und

1Die Herleitung dieser Gleichungen finden Sie in nahezu allen Standardwerken der Physik.

Abbildung 6:Da der Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel ist, entspricht die Querschnittsfl¨ache des reflektierten Lichtb¨undels Qr der Querschnitts- fl¨ache des einfallenden Lichtb¨undels Qe. Vergr¨oßerter Ausschnitt: F¨ur die Querschnittsfl¨ache des transmittierten (gebrochenen) Lichtb¨undel gilt dagegen:

Qe/Qt= cosα/cosβ.

Einfallswinkel ein (Abbildung 6). SindQe undQt die Querschnittsfl¨achen des einfallenden und des transmittierten Lichb¨undels, so gilt

Qe

Qt

= cosα

cosβ. (14)

Damit und unter Ber¨ucksichtigung des Brechungsindex n ergibt sich f¨ur den Transmissionskoeffizienten:

T_||=

I^||_t cosβ I_e^||cosα

=n^cos_cos^β_α E_t^||

E_e^||

₂

=n^cos_cos^β_ατ_||² (15) T⊥ =

I_t^⊥cosβ I_e^⊥cosα

=n^cos_cos^β_α E_t^⊥

E_e^⊥

₂

=n^cos_cos^β_ατ_⊥². (16)

Die Reflexionskoeffizienten R⊥ und R|| aus (12),(13) sind in Abbildung 7 als Funktion des Einfallswinkels dargestellt. F¨ur den Brechungsindex wurde n = 1,5 angenommen. Aus den Graphen l¨asst sich unmittelbar das Gesetz von Brewster ablesen: F¨ur α ≈ 56^◦ besitzt das reflektierte Licht nur eine

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0 30 60 90

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Reflexionskoeffizient

Einfallswinkel a[°]

R R

Abbildung 7:Reflexionskoeffizienten R⊥ undR||. Den Berechnungen liegt ein Brechungsindex n = 1,5 zu Grunde. F¨ur α≈ 56^◦ verschwindet die Parallel- komponente, so dass das reflektierten Licht vollst¨andig linear, senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist (Gesetz von Brewster).

Komponente, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Parallelkom- ponente verschwindet. Dieser Winkel entspricht dem Brewsterwinkel nach Glei- chung (7): tanαB = 1,5⇒αB≈56^◦.

Die Fresnel’schen Formeln sind nur dann g¨ultig, wenn Licht auf ein unend- lich ausgedehntes Medium trifft. Im Praktikum werden Sie aber Messungen an einer planparallelen Glasplatte endlicher Dicke durchf¨uhren, bei der gem¨aß Abbildung 8, Mehrfachreflexionen auftreten. Ist R der Reflexionskoeffizient, d.h. der Bruchteil der einfallenden Intensit¨at, die aneiner einzelnenGrenz- schicht reflektiert wird undT der Transmissionskoeffizient², d.h. der Bruchteil der im Medium an einer einzelnenGrenzschicht gebrochen wird, so gilt f¨ur

2Die folgenden Aussagen gelten sowohl f¨urR||, R⊥bzw. f¨urT||, T⊥.

Abbildung 8:Mehrfachreflexionen an einer planparallelen Platte.

diegesamtereflektierte Intensit¨atRg bzw. transmittierte Intensit¨atTg: Rg = R+T²R+T²R³+T²R⁵+...= 2R

1 +R (17)

Tg = T+T²R²+T²R⁴+T²R⁶+...= T

2−T. (18)

Im Anhang in Abbildung 15 ist Gleichung (17) bzw. die FunktionR(Rg), gra- fisch aufgetragen. Mit Hilfe dieses Diagramms k¨onnen Sie aus Ihren gemesse- nen WertenRg, den ReflexionskoeffizientR (bzw.ρ=√

R) an einer einzelnen Grenzschicht bestimmen.

V.3.2 Mikroskopische Deutung des Gesetz von Brewster

Das Gesetz von Brewster l¨asst sich mit Hilfe der Abstrahlcharakteristik ei- nes Hertz’schen Dipols erkl¨aren. F¨allt linear polarisiertes Licht auf Materie, so werden die Atome zu Dipolschwingungen angeregt. Die Elektronen schwin- gen mit der Frequenz des einfallenden Lichts in Richtung desE-Felds um die Atomr¨umpfe. Nach der klassischen Elektrodynamik strahlen oszillierende La- dungen selbst eine elektromagnetische Welle ab. Die Richtungsabh¨angigkeit der abgestrahlten Intensit¨at ist in Abbildung 9a) dargestellt. Parallel zur Di- polachse wird keine Intensit¨at abgestrahlt; senkrecht zur Dipolachse ist die abgestrahlte Leistung dagegen maximal.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

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Abbildung 9:a) Abstrahlcharakteristik eines Hertz’schen Dipols. b) F¨allt linear polarisiertes Licht, das parallel zur Einfallsebene schwingt, unter dem Brewster- winkel auf eine Grenzfl¨ache, so wird in Richtung der Dipolachse keine Intensit¨at abgestrahlt. Das reflektierte Lichtb¨undel verschwindet.

Nun gibt es genau einen Einfallswinkel, n¨amlich den Brewsterwinkel, bei dem das reflektierte Lichtb¨undel senkrecht zum gebrochenen Lichtb¨undel orien- tiert ist. Ist das einfallende Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert (Ab- bildung 9b), so zeigt die Dipolachse in Richtung des reflektierten Lichtb¨undels.

Allerdings strahlt ein Hertz’scher Dipol in diese Richtung keine Intensit¨at ab, so dass das reflektierte Lichtb¨undel verschwindet. Anders ist die Situation, wenn das einfallende Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. In diesem Fall ist auch die Dipolachse senkrecht zur Einfallsebene orientiert, so dass stets eine nichtverschwindende Intensit¨at abgestrahlt wird.

V.4 Polarisation durch Doppelbrechung

In vielen Kristallen und auch in anisotropen Stoffen (z.B. Kunststofffolien, die in eine Richtung gestreckt sind oder Plexiglas, das unter mechanischer Span- nung steht) k¨onnen die optischen Eigenschaften in den einzelnen Raumrich- tungen unterschiedlich sein. (Foto Kalkspat) Trifft beispielsweise ein unpolari- siertes Lichtb¨undel senkrecht auf einen Kalkspat-Kristall³, so beobachtet man, dass das Licht im Kristall in zwei Teilb¨undel aufgespaltet wird. Hinter dem Kri- stall verlaufen beide B¨undel parallel, aber versetzt zueinander (Abbildung 10).

Nach dem Brechungsgesetz erwartet man, dass bei senkrechtem Lichteinfall, das

3Aufgrund der starken doppelbrechenden Eigenschaften, wird Kalkspat auch als Dop- pelspat bezeichnet.

Licht nicht gebrochen wird, sondern das Medium geradlinig durchdringt. Offen- bar gilt dies im Kalkspat-Kristall nur f¨ur eines der Lichtb¨undel, das andere wird im Medium abgelenkt. Das Lichtb¨undel, welches sich gem¨aß des Snellius’schen Brechungsgesetzes verh¨alt, wird deshalb als ordentlicher Strahlbezeichnet.

F¨ur das andere Teilb¨undel gilt das Brechungsgesetz nicht, weswegen man es alsaußerordentlichen Strahlbezeichnet. Untersucht man die Polarisations- richtung der beiden Teilb¨undel, so stellt man fest, das beide linear polarisiert sind, mit senkrecht zueinander orientierten Polarisationsrichtungen.

ordentlicher Strahl

außerordentlicher Strahl einfallendes, unpolarisiertes

Lichtbündel

Kalkspat

optische Achse

Abbildung 10: Links: Doppelbrechung in einem Kalkspat-Kristall. Rechts:

Nach dem Brechungsgesetz erwartet man bei senkrechtem Einfall, dass das Lichtb¨undel ungebrochen den Kristall durchdringt. Dies gilt aber nur f¨ur den ordentlichen Strahl. Der außerordentliche Strahl wird im Kristall abgelenkt.

Die Ursache dieser Erscheinung ist auf die Abh¨angigkeit der Ausbreitungsge- schwindigkeit bzw. des Brechungsindex⁴von der Polarisationsrichtung zur¨uck- zuf¨uhren. Ordentliches Licht breitet sich im Kristall in allen Raumrichtungen mit der gleichen Geschwindigkeit aus. F¨ur außerordentliches Licht, welches ja senkrecht zum ordentlichen Licht polarisiert ist, h¨angt dagegen die Geschwin- digkeit von der Ausbreitungsrichtung im Kristall ab. In sogenannten optisch einachsigen Kristallen (z.B. Kalkspat) gibt es allerdings eine ausgezeichnete Richtung, in welcher die Ausbreitungsgeschwindigkeit f¨ur beide Lichtb¨undel, d.h. unabh¨angig von der Polarisationsrichtung, gleich groß ist. Diese Richtung

4n=cv/c, cv: Vakuumlichtgeschwindigkeit

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wird alsoptische Achsedes Kristalls bezeichnet. F¨allt Licht parallel zur op- tischen Achse ein, so tritt keine Doppelbrechung auf! F¨ur alle anderen Einfalls- richtungen h¨angt dagegen die Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit auch der Brechungsindex von der Polarisationsrichtung des Lichts ab.

Wirft man einen Stein in einen See, so breiten sich radial von der Einschlagstelle kreisf¨ormige Wellen aus. ¨Ahnliches gilt f¨ur die Ausbreitung das ordentlichen Lichts im Kristall. Da die Geschwindigkeit co in allen Raumrichtungen gleich groß ist, beschreiben die Wellenfl¨achen eine Kugelschale mit dem Radiusco. F¨ur außerordentliches Licht ist dies nicht der Fall. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit parallel zur optischen Achse betr¨agt zwar ebenfallsco, senkrecht dazu ist die Geschwindigkeit aber cao = co. Die Wellenfl¨achen sind daher keine Kugel- oberfl¨achen, sondern beschreiben die Oberfl¨ache eines Rotationsellipsoids mit den Achsencoundcao (Abbildung 11a).

Je nachdem, ob die Geschwindigkeit des außerordentlichen Lichts gr¨oßer oder kleiner der Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts ist, unterscheidet man noch zwischen einachsig-negativen Kristallen (z.B. Kalkspat) oder einachsig- positiven Kristallen (z.B. Quarz).

Das Prinzip der Doppelbrechung l¨asst sich sehr einfach mit Hilfe des Huy- gens’schen Prinzips geometrisch konstruieren. Nach Huygens geht von jedem Punkt der einfallenden Wellenfront eine Elementarwelle aus. F¨ur ordentliches Licht sind dies Kugelwellen, f¨ur außerordentliches Ellipsoidwellen, bzw. in der Zeichenebene in Abbildung 11b, Kreise und Ellipsen. Die resultierenden Wel- lenfronten ergeben sich dann aus aus den Schnittpunkten der Tangentialfl¨achen mit den Elementarwellen.

V.5 Verz¨ ogerungsplatten

Wird aus einem doppelbrechenden Kristall eine planparalle Platte geschliffen, die so orientiert ist, dass die optische Achse in der Oberfl¨ache liegt (Abbil- dung 12a), so tritt bei senkrechtem Lichteinfallkeine r¨aumlicheAufspaltung des Lichts auf. Das gesamte einfallende Licht durchdringt das Pl¨attchen ohne Ablenkung. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Kristall h¨angt allerdings von der Polarisationsrichtung ab. Licht, das senkrecht zur optischen Achse polari- siert ist, durchdringt den Kristall mit einer anderen Geschwindigkeit als Licht, das parallel dazu polarisiert ist. Wird die Dickeddes Kristalls so gew¨ahlt, dass die optische Wegl¨ange f¨ur das langsame Licht umλ/4 l¨anger ist, so ergibt sich ein sogenanntesλ/4-Pl¨attchen.

Einλ/4-Pl¨attchen besitzt zwei charakteristische Achsen: Eine langsame Achse

Abbildung 11:a) Wellenfl¨achen eines optisch einachsigen Kristalls.cao, co be- zeichnen die Ausbreitungsgeschwindigkeit des außerordentlichen und ordentli- chen Strahls. Links: F¨urcao > cowird der Kristall als einachsig-negativ bezeich- net. Rechts: Einachsig-positiver Kristall, cao < co. b) und c) Konstruktion der Doppelbrechung f¨ur senkrecht zur Oberfl¨ache einfallendes Licht nach dem Huy- gens’schen Prinzip. Die in den oberen Halbraum verl¨angerten Wellenfl¨achen in Bild b) dienen nur der Verdeutlichung.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

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Abbildung 12: a) Aufbau eines λ/4-Pl¨attchens. b) Erzeugung von zirkular po- larisiertem Licht durch einλ/4-Pl¨attchen:Esbezeichnet den Anteil des einfal- lenden Lichts, das parallel zur schnellen Achse schwingt, El den Anteil der in Richtung der langsamen Achse polarisiert ist. Ist das λ/4-Pl¨attchen un- ter einem Winkel von 45^◦ in Bezug auf die beiden Achsen orientiert, so gilt:

|El|=|Es|. Da beide Anteile zudem eine Phasendifferenz von 90^◦besitzen, ergibt sich zirkular polarisiertes Licht.

und eine schnelle Achse. Licht, das parallel zur schnellen Achse schwingt, breitet sich demnach schneller aus als Licht, das in Richtung der langsamen Achse polarisiert ist.

Mit einemλ/4-Pl¨attchen l¨asst sich zirkular polarisiertes Licht erzeugen: Trifft linear polarisiertes Licht unter einem Winkel vonθ=45^◦gem¨aß Abbildung 12b) auf das Pl¨attchen, so entsteht zirkular polarisiertes Licht. Bei diesem Winkel ist der Anteil desE-Feldes, welches in Richtung der schnellen Achse schwingt, genauso groß wie der Anteil, der parallel zur langsamen Achse schwingt. Hinzu kommt, dass die Komponente, die parallel zur schnellen Achse schwingt, der

”langsamen Komponente“ um 90^◦ vorauseilt (entspricht λ/4). Es liegt also eine ¨Uberlagerung zweier senkrecht zueinander schwingenderE-Felder gleicher Amplitude vor, die zudem eine Phasenverschiebung von 90^◦ aufweisen, d.h.

zirkular polarisiertes Licht. Aufgrund dieser Eigenschaft wird einλ/4-Pl¨attchen auch als Zirkularpolarisator bezeichnet.

Ist die Orientierung des einfallenden Lichts ungleich 45^◦, so entsteht im All- gemeinen elliptisch polarisiertes Licht. Bei einer Polarisationsrichtung parallel zu einer der beiden Achsen, d.h.θ=0^◦ bzw.θ=90^◦, erh¨alt man nach demλ/4- Pl¨attchen wieder linear polarisiertes, aber phasenverschobenes Licht.

Laser

F₁

Detektor F₂ F₃

Einstellung der Polarisationsrichtung des Lasers

Fassungen zur Aufnahme verschiedener optischer Elemente

Drehbare Tischplatte mit Winkelskala

360 30

60

120 150 180 210 240 300

330

Schwenkbarer Detektor

Abbildung 13:Skizze des Versuchsaufbaus.

VI Durchf¨ uhrung des Versuchs

Hinweise zum Versuchsaufbau:

Der Versuchsaufbau (Abbildung 13) besteht im Wesentlichen aus drei Komponenten: Dem Drehtisch mit einer Skala zum Vermessen der jeweiligen Winkel, einem Laser als Lichtquelle und einem Detektor zur Messung der Intensit¨at des Lichts. Auf dem Drehtisch befinden sich drei Halterungen, die mit F₁, F₂, F₃ bezeichnet sind. In diese Fassungen werden w¨ahrend der Messungen verschiedene optische Elemente platziert:

F₁: Halterung f¨ur dasλ/4-Pl¨attchen F₂: Halterung f¨ur die Glasplatten F₃: Halterung f¨ur den Linearanalysator.

Als Lichtquelle dient ein linear polarisierter Diodenlaser mit einer Wellenl¨ange vonλ= 670 nm (Halbwertsbreite: ∆λ= 1,5 nm). Der Laser ist um die Strahl- achse drehbar, so dass die Polarisationsrichtung unter den Winkeln 0^◦, 45^◦oder 90^◦ zur Tischebene eingestellt werden kann. Um den Winkel zu ver¨andern,

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

m¨ussen Sie zun¨achst die r¨uckseitigen R¨andelschrauben der Laserbefestigung l¨osen und nach dem Drehen des Lasers wieder festschrauben.

Das Empf¨angerrohr mit eingebauten Fotoelement ist wie der Drehtisch um die Tischachse schwenkbar. Auf das Eintrittsfenster des Rohrs k¨onnen zus¨atz- lich noch diverse optische Elemente, wie Linearanalysatoren,λ/4-Pl¨attchen etc.

aufgesteckt werden. Das Empfangsrohr beinhaltet ein System von Blenden und Linsen, die das Streulicht unterdr¨ucken. Zus¨atzlich befindet sich vor dem Foto- element noch ein schmalbandiges Interferenzfilter, das auf die Laserwellenl¨ange abgestimmt ist, wodurch der Einfluss des Raumlichts weitgehend ausgeschaltet wird.

Die gemessene Lichtintensit¨at wird an einem externen Ger¨at angezeigt. An dem Einstellregler links neben der Digitalanzeige k¨onnen Sie die Signalverst¨arkung des Fotoelements einstellen. Mit dem Umschalter rechts neben der Anzeige, kann bei sehr kleinen Signalen die Aufl¨osung der Anzeige um einen Faktor 10 erh¨oht werden. Das untere Analoginstrument dient nur zum bequemen Aufsuchen der Maxima. Auch hier k¨onnen Sie den Anzeigebereich durch einen Schalter einstellen. Bei allen Messungen sind stets die Werte der Digitalanzeige zu verwenden!

1. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau

2. ¨Uberpr¨ufung der Schwingungsebene des Lasers

Nach dem Gesetz von Brewster ist bei einem Einfallswinkel von tanαB = n das reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene linear polarisiert. Montieren Sie in die Halterung F₂ die Fassung mit den Glasplatten und ¨uberpr¨ufen Sie qualitativ mit Hilfe des Brewster-Gesetz, dass die Markierung der Schwingungsebene am Laser stimmt: Ist das einfallende Licht parallel zur Einfallsebene polarisiert, so verschwindet die reflektierte Lichtintensit¨at, falls der Einfallswinkel dem Brewsterwinkel αB entspricht. F¨ur αB k¨onnen Sie einen Winkel von 58^◦ annehmen. Dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse im Protokollheft.

3. Fresnel’sche Formeln, Polarisation durch Reflexion

Je nach Einbautiefe, f¨allt das Laserlicht entweder auf die obere (SF6- Glas) oder auf die untere Glasplatte (BK7). Es bleibt Ihnen selbst ¨uberlassen, welche Glasssorte Sie ausw¨ahlen.

Durch Drehen des Tisches wird zun¨achst der gew¨unschte Einfallswinkel αan der Marke der Laserhalterung eingestellt. Zur Messung der Intensit¨at des re- flektierten Lichtb¨undels wird der Detektor in die gegen¨uberliegende Richtung geschwenkt (Einfallswinkel = Ausfallswinkel), wobei die exakte Position des Detektors um den eingestellten Winkel ein wenig variiert werden soll, so dass der Fotostrom maximal wird. Um die transmittierte Intensit¨at zu bestimmen, wird der Detektor so gedreht werden, dass er dem Laser gegen¨ubersteht. Auch hier muss die genaue Position des Detektors eventuell leicht nachjustiert wer- den, so dass ein maximaler Fotostrom gemessen wird.

Messen Sie den FotostromIP hals Funktion des Einfallswinkelsαf¨ur das reflek- tierte (R) und f¨ur das durchgelassene Licht (T). Die Messungen sind sowohl f¨ur Laserlicht, das parallel (||) als auch vertikal (⊥) zur Einfallsebene polarisiert ist, durchzuf¨uhren (insgesamt vier Messreihen).

Der Fotostrom des einfallenden Lichts, IP h(0) f¨ur α = 0^◦, ist vor Beginn der Messung, ohne eingesetzte Glasplatte, mit Hilfe des Verst¨arkerreglers auf einen glatten Wert einzustellen und im Protokollheft zu notieren. Das Messprogramm f¨urRgundTg sieht wie folgt aus:

α ∆α α ∆α α

Rg^||

10^◦ - 50^◦ 10^◦

Tg^|| 10^◦ - 80^◦ 10^◦ R^⊥g,Tg^⊥

10^◦, 30^◦, 50^◦, 65^◦,

80^◦ 54^◦ - 66^◦ 2^◦

70^◦ - 85^◦ 5^◦

WobeiRgf¨ur den gemessenen Reflexionskoeffizient undTgf¨ur den gemessenen Transmissionskoeffizient stehen:

Rg(α) = IP h(α)

IP h(0), Tg(α) =IP h(α)

IP h(0) (19)

4. Gesetz von Malus

Positionieren Sie den Detektor zun¨achst so, dass dieser genau gegen¨uber dem Laser steht und schrauben Sie die Arretierung am Fuß des Tisches fest.

Stecken Sie in die Halterung F₃ den Linearanalysator und stellen Sie die Schwingungsrichtung des Lasers senkrecht zur Tischebene ein. Messen Sie den c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

10

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

q

l/4 -Plättchen Linearanalysator

Transmissionsachse schnelle Achse

langsame

Achse

y

Laser

Schwingungsrichtung des Lasers

Detektor

Abbildung 14:Versuchsanordnung zu Aufgabe 5.

FotostromIP h als Funktion des Winkelsψ zwischen E-Vektor (Schwingungs- richtung des Lasers) und Analysator f¨ur ψ = 0^◦ bis 180^◦ in Schritten von

∆ψ= 15^◦.

5. Polarisation durch ein λ/4-Pl¨attchen

F¨allt linear polarisiertes Licht auf ein λ/4-Pl¨attchen, so erh¨alt man je nach Orientierungswinkel θ (Abbildung 14) entweder linear, zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht.

Das vom Laser ausgehende linear polarisierte Licht trifft auf einλ/4-Pl¨attchen, dessen langsame Achse gegen¨uber der Schwingungsrichtung des Lasers um den Winkelθvariiert werden kann. Zum Nachweis der Polarisationsrichtung hinter dem Pl¨attchen dient ein Linearanalysator, dessen Durchlassrichtung gegen die urspr¨ungliche Schwingungsrichtung um ψ drehbar ist. F¨ur die Intensit¨at I = I(ψ) hinter dem Analysator ergibt sich mit dem Parameterθ:

I= E₀² 2

cos²θcos²(ψ−θ) + sin²θsin²(ψ−θ)

. (20)

Als Student mit Hauptfach Physik sollten Sie diese Gleichung durch simple Vektorzerlegung herleiten k¨onnen. Durch weitere Umformung erh¨alt man:

I= I0

2

1 + cos 2θ cos 2(ψ−θ)

. (21)

In dieser Aufgabe sollen Sie die Intensit¨atsverteilung (21) f¨ur unterschiedliche Orientierungenθdesλ/4-Pl¨attchen messen.

Der Detektor muss wieder genau gegen¨uber dem Laser stehen. Stecken Sie in die Halterung F₁ das λ/4-Pl¨attchen (langsame Achse zeigt in Richtung der

Madenschraube) und in F₃den Linearanalysator. Stellen Sie die Schwingungs- richtung des Laser senkrecht zur Tischebene ein. Messen Sie den StromIP h als Funktion des Winkels ψ f¨ur unterschiedliche Orientierungen θ des λ/4-Pl¨att- chen. Das Messprogramm ist in folgender Tabelle dargestellt.

θ ψ Schrittweite ∆ψ

90^◦ 0^◦- 180^◦ 30^◦ 70^◦ 0^◦- 180^◦ 15^◦ 45^◦ 0^◦- 180^◦ 15^◦ 30^◦ 0^◦- 180^◦ 15^◦ 0^◦ 0^◦- 180^◦ 30^◦

Es ist zu empfehlen, mit der Messung f¨ur θ = 90^◦ zu beginnen und den Fo- tostrom mit Hilfe des Verst¨arkerreglers am Anzeigeger¨at f¨ur ψ= 0^◦ auf einen glatten Wert einzustellen (z.B. I_{P h}=100 Skalenteile). Die Verst¨arkung darf da- nach nicht mehr verstellt werden.

Tragen Sie die MesswerteIP h(ψ) in eine Tabelle in Ihr Protokollheft ein sowie direkt w¨ahrend der Messung auch grafisch auf ein Blatt Millimeterpapier auf (Abszisse: 0^◦bis 180^◦, Ordinate: 0 bis 100 Skalenteile). Damit Sie die einzelnen Messreihen besser voneinander unterscheiden k¨onnen, sollten Sie f¨ur jede θ- Messreihe unterschiedliche Symbole verwenden (×,,•,◦,, etc.).

VII Auswertung

Zu 3.

Fertigen Sie zwei Diagramme mit den gemessenen Reflexions- und Transmis- sionskoeffizienten an. In das eine Diagramm ist Rg^|| und Tg^|| als Funktion des Einfallswinkelsαeinzuzeichnen, in das zweite entsprechendR^⊥g undTg^⊥. Disku- tieren Sie den Verlauf der Kurven. Zus¨atzlich ist mit Hilfe von Gleichung (17) und Abbildung 15 ein weiteres Diagramm zu zeichnen, in dem ρ|| und ρ⊥

aufgetragen werden. Bestimmen Sie hieraus den BrewsterwinkelαB sowie den Brechungsindexnf¨ur BK7 bzw. SF6. Vergleichen Sie den experimentellen Wert vonnmit dem Literaturwert (siehe Kapitel Messaufbau).

F¨urα= 0^◦ folgt aus den Fresnelchen Formeln (8) f¨urρ||: ρ||(0)≡ρ0= n−1

n+ 1 bzw. n= 1 +ρ0

1−ρ0. (22)

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

Extrapolieren Sie in Ihrem Diagrammρ|| nach α= 0^◦ und berechnen Sie aus ρ_||(0) nach (22) den Brechungsindex der Glasplatte. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zuvor bestimmten Brechungsindex.

Zu 4.

Tragen Sie die Messwerte ¨uberψauf Millimeterpapier auf und vergleichen Sie die Kurve mit dem theoretisch zu erwartenden Verlauf.

Zu 5.

Tragen Sie die gemessenen Werte in ein Polardiagramm ein (Radius:IP h, Azi- mut: ψ = 0^◦ bis 360^◦, Scharparameter: θ). Die einzelnen Kurven sind in den Bereich 180^◦ bis 360^◦ durch Spiegelung an der Symmetrieachse zu erweitern, d.h. wir nehmen an, dass I_{P h}(ψ)=I_{P h}(ψ+ 180) gilt. Welche der Kurven ent- spricht der Intensit¨atsverteilung f¨ur linear, zirkular bzw. elliptisch polarisiertes Licht? Bestimmen Sie f¨ur jede Kurve die zu den Minima und Maxima vonIP h

geh¨orenden Winkel sowie die L¨ange der Hauptachsen IMin, IMax der Schwin- gungsellipse. Vergleichen Sie das experimentell bestimmte Achsenverh¨altnis mit dem theoretisch zu erwartenden Wert.

Hinweis: Den theoretischen Wert erhalten Sie durch Differentation von Glei- chung (21) nachψ und Bestimmung der Nullstellen.

VIII Anhang

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.4 Stand 09/2006

12

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 231 Polarisiertes Licht

Abbildung 15:Umrechnung zwischen dem gemessenen Reflexionskoeffizient Rg bei der Reflexion an einer planparallelen Platte und dem Refle- xionskoeffizient an einer einzelnen Grenzschicht R, bzw. ρ=√

R.

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

Versuch 232

Michelson-Interferometer

Abbildung 1:Versuchsaufbau.

I Messaufbau

• Michelson Interferometer

• Verschiedene Lichtquellen: Quecksilberdampflampe, Halogenlampe, Gl¨uhlampe

• Thermometer

• Vakuumpumpe

• CCD-Kamera mit Monitor

• Antriebsmotor

II Literatur

• Bergmann- Sch¨afer,Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III, de Gruy- ter Berlin.

• R. P. Pohl,Optik und Atomphysik, Springer Verlag.

• W. Demtr¨oder, Experimentalphysik 2, Springer Verlag.

• Homepage des Praktikums (http://www.physikpraktika.uni-hd.de).

III Vorbereitung

Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor:

Grundlagen der Wellenoptik (Hyugens’sches Prinzip, Interferenz, Superpo- sitionsprinzip, Koh¨arenz). Interferenz gleicher Neigung, Interferenz gleicher Dicke. Aufbau eines Michelson-Interferometers.

Verst¨andnisfragen:

1. Was ist Interferenz? Was besagt das Superpositionsprinzip?

2. Was sind Interferenzmuster und wie kommen sie zustande? Nennen Sie die Bedingungen f¨ur die Phasenverschiebung bzw. f¨ur den Gangunterschied zweier Wellen, damit die ¨uberlagerte Welle eine maximale bzw. eine ver- schwindene Intensit¨at besitzt. Was ist zu beachten, wenn eine Teilwelle ein Medium mit einem anderem Brechungsindex durchl¨auft als die andere Teilwelle?

3. Warum kann man bei nat¨urlichem Licht in der Regel keine Inter- ferenzerscheinugen beobachten? Erl¨autern Sie die Begriffe Koh¨arenz, Koh¨arenzzeit und Koh¨arenzl¨ange. Wie groß sind die Gr¨oßenordnungen der Koh¨arenzl¨angen einer Gl¨uhlampe bzw. eines Lasers?

4. Wie groß ist gem¨aß Gleichung (8) die Intensit¨at der ¨uberlagerten Welle, wenn die interferierenden Wellen inkoh¨arent sind?

5. Was versteht man unterInterferenz gleicher NeigungundInterferenz glei- cher Dicke?

6. Beschreiben Sie den Aufbau eines Michelson-Interferometers. Welche Auf- gabe hat die Kompensationsplatte? Erkl¨aren Sie das Zustandekommen der verschiedenen Interferenzmuster (Kreissystem, Streifensystem).

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

7. Wie l¨asst sich mit einem Michelson-Interferometer die Wellenl¨ange der Lichtquelle bzw. der Brechungsindex eines Mediums bestimmen?

8. Wie muss der bewegliche Spiegel des Interferometers justiert sein, um Interferenzen mit Licht einer sehr kleinen Koh¨arenzl¨ange beobachten zu k¨onnen (Weißlichtinterferenz)?

9. Warum erscheint das an einer rauhen Oberfl¨ache reflektierte Licht eines Lasers granuliert (Stichwort: Speckle-Muster)?

IV Aufgaben

1. Messen Sie die Wellenl¨ange der gr¨unen Linie einer Quecksilberdampflampe.

2. Bestimmen Sie den Brechungsindex von Luft.

3. Messen Sie die Koh¨arenzl¨ange einer Halogenlampe als Funktion der spek- tralen Bandbreite.

4. Bestimmen Sie die K¨oh¨arenzl¨ange einer Gl¨uhbirne.

V Grundlagen

Interferenz bezeichnet allgemein die ¨Uberlagerung von Wellen. Sie haben dieses Ph¨anomen sicherlich schon anhand von Wasserwellen an einem See oder bei Ex- perimenten mit der Wellenwanne in der Vorlesung kennengelernt. Treffen z.B.

zwei Wasserwellen aufeinander, so ¨uberlagern sich diese zu einer neuen Wel- le. Die Amplitude der resultierenden Welle h¨angt von der Phasenverschiebung der beiden Teilwellen ab. Trifft in einem bestimmten Punkt (Abbildung 2) ein

”Wellenberg“ der einen Welle auf einen

”Wellenberg“ der anderen Welle, so vergr¨oßert sich die Amplitude der resultierenden Welle (konstruktive Interfe- renz). Trifft dagegen ein

”Wellenberg“ auf ein

”Wellental“, so verringert sich die Amplitude. Sind die Amplituden gar gleich groß, so l¨oscht sich im letzten Fall die Amplitude der resultierenden Welle aus.

Auch Licht l¨asst sich durch eine Welle beschreiben. Betrachten wir zwei ebene monochromatische LichtwellenE₁, E₂:

E₁(r, t) =E₀₁e^{i(ωt−k1r+φ1)} (1) E₂(r, t) =E₀₂e^{i(ωt−k2r+φ2)}

Abbildung 2:Interferenz zweier Wasserwellen.

Dabei bezeichnen E_0i die Amplituden, k_i die Wellenvektoren, ω die Frequenz undφ_i die Phasen der jeweiligen Wellen. Treffen diese aufeinander, so ¨uberla- gern sie sich gem¨aß des Superpositionsprinzips, d.h. die Wellen addieren sich vektoriell zu einer resultierenden WelleE_S(r, t):

E_S(r, t) =E₁(r, t) +E₂(r, t). (2) Bei Licht ist aufgrund der hohen Frequenz nicht die Amplitude der Welle beob- achtbar, sondern nur die Intensit¨atI, d.h. der zeitliche Energiemittelwert, der auf eine bestimmte Fl¨ache trifft. Dieser ist proportional zum Betragsquadrat der Amplitude:

I_S(r, t)∝ |E_S(r, t)|². (3) In der hier verwendeten komplexen Notation l¨asst sich das Betragsquadrat sehr einfach berechnen. Wir m¨ussen lediglichE_S mit dem komplex konjugiertenE^∗_S multiplizieren:

I_S ∝ |E_S|²=E_SE_S^∗ = (E₁+E₂)(E₁^∗+E₂^∗) (4)

=E₁E₁^∗+E₂E₂^∗+E₁E^∗₂+E₂E₁^∗

=|E₁|²+|E₂|²+E₁E₂^∗+E₂E₁^∗.

Die ersten beiden Summanden sind die Betragsquadrate der Einzelwellen. F¨ur c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.2 Stand 09/2006

2

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

die beiden anderen Summanden berechnen wir durch Einsetzen von Glei- chung (1)

E₁E₂^∗+E₂E₁^∗=E₀₁E₀₂(e^iϕ+e^−iϕ), (5) wobei wir hier die Phasenverschiebung

ϕ= (k₁−k₂)r+φ₁−φ₂ (6) definiert haben. Mit Hilfe der Euler’schen Gleichung

e^iϕ= cosϕ+isinϕ (7)

erhalten wir schließlich f¨ur die Intensit¨at der ¨uberlagerten Welle:

I_S ∝ |E₁|²+|E₂|²+ 2E₀₁E₀₂cosϕ

Interferenzterm

. (8)

Die Intensit¨at der ¨uberlagerten Welle entspricht demnach nicht der Summe der Intensit¨aten der Einzelwellen. Es tritt zus¨atzlich ein Interferenzterm auf, der dazu f¨uhrt, dass die Intensit¨at der ¨uberlagerten Wellen gr¨oßer (konstruk- tive Interferenz) oder kleiner (destruktive Interferenz) ist als die Summe der Einzelintensit¨aten.

Beispiel: Interferenz zweier linear polarisierten, ebener Wellen gleicher Fre- quenz und Amplitude, die sich in z-Richtung ausbreiten und gleiche Polari- sationsrichtungen (z.B. in x-Richtung) besitzen. F¨ur die x-Komponente der elektrischen Feldst¨arke gilt:

E₁(z, t) =E₀e^{i(ωt−kz+φ1)} (9) E₂(z, t) =E₀e^{i(ωt−kz+φ2)},

und f¨ur die Intensit¨atI_S der ¨uberlagerten WelleE_S=E₁+E₂:

I_S ∝E_S²∝2I₀(1 + cosϕ), (10) wobei I₀ proportional zur Intensit¨at der Einzelwelle ist und ϕ =φ₁−φ₂ die Phasenverschiebung der beiden Wellen darstellt. In Abbildung 3 ist die Inten- sit¨at als Funktion der Phasenverschiebungϕaufgetragen. Maximale Intensit¨at ergibt sich, wenn die Phasenverschiebung ein Vielfaches von 2π betr¨agt. F¨ur ein ungerades Vielfaches von πverschwindet dagegen die Intensit¨at der ¨uber- lagerten Welle:

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

Intensität[I]0

Phasenverschiebung [ ]p

konstruktive Interferenz

destruktive Interferenz

Abbildung 3:Intensit¨at der ¨uberlagerten Welle nach Gleichung (10) in Einhei- ten von I₀ als Funktion der Phasenverschiebung in Einheiten von π.

Maximale Intensit¨at f¨ur ϕ= 2mπ ,(m∈Z) (11) Minimale Intensit¨at f¨urϕ= (2m+ 1)π ,(m∈Z) (12)

Bei vielen Interferenzversuchen kommt die Phasenverschiebung dadurch zu- stande, dass die sich ¨uberlagernden Wellen zuvor unterschiedliche Wegl¨angen durchlaufen haben. Ein Beispiel ist in Abbildung 4a) dargestellt. Nehmen wir an, dass die beiden Lichtquellen punktf¨ormig sind und Licht mit gleicher Fre- quenz, Amplitude, Polarisationsrichtung und konstanter Phase aussenden. Die Intensit¨at der ¨uberlagerten Welle im Punkt P h¨angt dann von der Phasenver- schiebung ab, die durch den Gangunterschied ∆ =s₁−s₂ der beiden Wellen hervorgerufen wird. Dabei bezeichnen s₁ unds₂ die Wegl¨angen der jeweiligen Teilwellen. Da eine Phasenverschiebung von 2π einem Wegunterschied von λ entspricht, besteht zwischen der Phasenverschiebung ϕ und dem Gangunter- schied ∆ die Beziehung:

ϕ=2π

λ ∆, (13)

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

wobei λdie Wellenl¨ange der Teilwellen beschreibt.

Breitet sich ein Wellenzug nicht im Vakuum aus, sondern durchl¨auft ein Medi- um mit dem Brechungsindexn (Abbildung 4b), so tritt eine zus¨atzliche Pha- senverschiebung auf. Da die Wellenl¨ange im Medium um das n-fache der Va- kuumlichtgeschwindigkeit kleiner ist, darf man bei der Berechnung des Gang- unterschieds nicht die geometrischen Wegl¨angen s verwenden, sondern muss die optischen Wegl¨angen Λ ber¨ucksichtigen. Diese entspricht dem Produkt des Brechungsindex des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet und der geome- trischen Wegl¨anges, die die Welle in dem Medium zur¨ucklegt:

Λ =n s. (14)

Mit Hilfe des Gangunterschieds lassen sich die Gleichungen (11) und (12) auch wie folgt formulieren:

Maximale Intensit¨at f¨ur ∆ =mλ ,(m∈Z) (15) Minimale Intensit¨at f¨ur ∆ = (2m+ 1)λ

2 ,(m∈Z) (16) Koh¨arenz

Voraussetzung f¨ur die Beobachtung von Interferenzerscheinungen ist die Koh¨arenz der Lichtquellen. Damit ist gemeint, dass die interferierenden Wellen eine konstante Phasenbeziehung aufweisen m¨ussen. Bei inkoh¨arentem Licht ist die Phasenverschiebung ϕin Gleichung (8) statistisch verteilt, so dass der Interferenzterm verschwindet und man daher keine Interfenzen beobachtet kann.

Die meisten Lichtquellen, wie z.B. das Licht der Sonne oder einer Gl¨uhbirne, erzeugen inkoh¨arentes Licht. Die Atome dieser Lichtquellen senden innerhalb eines sehr kurzen Zeitraumsτ unabh¨angig voneinander Wellenz¨uge aus, deren einzelnen Phasen statistisch verteilt sind. Das in Abbildung 4a) dargestellte Experiment w¨urde daher bei Verwendung von nat¨urlichem Licht nicht funk- tionieren. Um dennoch mit nat¨urlichen Lichtquellen Interferenzen beobachten zu k¨onnen, muss man das Licht einer einzigen Lichtquelle verwenden und die- ses in Teilwellen aufspalten. Abbildung 4c) zeigt ein Beispiel, welches auch bei der Verwendung von nat¨urlichem Licht, die Beobachtung von Interferenzer- scheinungen erm¨oglicht. Anstatt zwei Lichtquellen, die statistisch unabh¨angig

Abbildung 4: a) Gangunterschied ∆ zweier Teilwellen nach dem Durchlaufen unterschiedlicher Wegl¨angen. b) Breitet sich eine Teilwelle in einem Medium mit dem Brechungsindex n aus, tritt eine zus¨atzliche Phasenverschiebung auf.

c) Erzeugung von koh¨arentem Licht durch Teilung der Wellenfront mit einer Doppellochblende.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.2 Stand 09/2006

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voneinader emittieren, verwenden wir hier eine Lichquelle, deren Wellenfront mit Hilfe einer Doppellochblende in zwei Teilwellen aufgespalten wird. Da bei- de ¨Offnungen von der gleichen Prim¨arwelle angeregt werden, emittieren diese nach dem Hyugens’schen Prinzip Sekund¨arwellen, die die gleiche Phase aufwei- sen und daher

”interferenzf¨ahig“ sind.

Es gibt noch weitere Eigenschaften, die bei der Beobachtung von Interferenz- erscheinungen erf¨ullt sein m¨ussen. So darf der Gangunterschied der Wellen nicht beliebig groß sein. Wie bereits erw¨ahnt wurde, erfolgt die atomare Emis- sion eines Wellenzugs bei nat¨urlichem Licht in einem sehr kurzem Zeitraumτ (Koh¨arenzzeit). Diese kurze Emissionszeit bedingt schließlich, dass die ausge- sendeten Wellenz¨uge auch nur eine kleine L¨ange¹ besitzen. Ist c die Lichtge- schwindigkeit, so ergibt sich f¨ur die L¨angeLdes emittierten Wellenzugs

L=cτ. (17)

Die L¨angeL wird als Koh¨arenzl¨ange bezeichnet. Bei Interferenzversuchen ist darauf zu achten, dass der Gangunterschied nicht gr¨oßer als die Koh¨arenzl¨ange wird. Andernfalls stammen die interferierenden Teilwellen nicht aus dem selben

”Emisionsakt“ und besitzen daher keine konstante Phasenbeziehung.

Die Koh¨arenzl¨angen von Temperaturstrahlern wie z.B. einer Gl¨uhlampe oder der Sonne sind sehr klein (einige Wellenl¨angen ≈10µm). Bei Gasentladungs- lampen liegt die Koh¨arenzl¨ange bei einigen Millimetern bis Metern und kann sich bei Lasern gar im Bereich von vielen Kilometern bewegen.

Koh¨arenzl¨ange und spektrale Bandbreite

Bei unseren bisherigen Betrachtungen sind wir immer davon ausgegan- gen, dass die Lichtquelle monochromatisch ist. Die Koh¨arenzbedingung besagt, dass nur dann Interferenzen beobachtbar sind, wenn die sich ¨uberlagernden Wellen eine konstante Phasenbeziehung aufweisen. Dies ist aber nur dann m¨oglich, wenn die Lichtquelle monochromatisches Licht aussendet. Solch eine Lichtquelle gibt es aber nicht! Auch eine reale, extrem schmalbandige Lichtquelle wie z.B. ein Laser, emittiert nur Licht einer bestimmten Frequenz ω₀ mit einer endlichen spektralen Bandbreite² ∆ω. Damit ist gemeint, dass das Licht Frequenzanteile im Bereich vonω₀±∆ω/2 enth¨alt.

1Achtung: Hier ist die geometrische L¨ange des Wellenzugs gemeint und nicht die Wel- lenl¨ange!

2Dies folgt z.B. aus der Heisenberg’schen Energie-Zeit Unsch¨arfe.

w Dw

w⁰

z Spektrum

FT g( )w

4 cp Dw

g₀

Blende Es

z0

Abbildung 5:Links: Polychromatisches Licht mit rechteckf¨ormigen Speektrum der spektralen Breite∆ω. Rechts: Resultierende Wellenform. Der Pfeil mit der Abk¨urzung FT steht f¨ur Fouriertransformation.

Betrachten wir eine Lichtquelle mit einem rechteckigen Frequenzspektrum, wie es links in Abbildung 5 dargestellt ist. Solch ein Spektrum kann z.B. durch Aus- blenden eines bestimmten Spektralbereichs eines kontinuierlichen Spektrums erzeugt werden. Die Amplitudeg(ω) bei der Frequenzω sei gegeben durch:

g(ω) =

g₀, |ω−ω₀| ≤∆ω/2

0, |ω−ω₀|>∆ω/2. (18) Das von solch einer Lichtquelle ausgesandte Licht entspricht einer ¨Uberlagerung von Wellen mit Frequenzen im Bereich vonω₀−∆ω/2 bisω₀+ ∆ω/2:

E_S = _∞

−∞

g(ω)e^i(ωt−kz)dω= _∆ω/2

−∆ω/2

g₀e^iω(t−z/c)dω, (19) wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. F¨ur die Phase nehmen wir an, dass diese am Ort z = ct f¨ur alle Frequenzen Null ist. Verwenden wir der Ubersichtlichkeit wegen die Abk¨¨ urzungenσ=ω−ω₀, dσ= dωundρ=t−z/c, so folgt:

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum IIA Versuch 232 Michelson-Interferometer

E_S = _∆ω/2

−∆ω/2

g₀e^iρ(ω0+σ)dσ (20)

=g₀e^iρω0 _∆ω/2

−∆ω/2

e^iρσdσ. (21)

= g₀ iρe^iρω0

e^iρ∆ω/2−e^{−iρ∆ω/2}

(22)

= 2g₀

ρ e^iρω0sinρ∆ω/2. (23)

Ersetzen wir nun wiederσundρdurch die urspr¨unglichen Gr¨oßen, so erhalten wir schließlich:

E_S =E₀sin ∆ω/2(t−z/c)

∆ω/2(t−z/c) e^{iω0(t−z/c)}, (24) wobei hier E₀ = g₀∆ω definiert wurde. Die Form dieser Welle ist in Abbil- dung 5 rechts dargestellt. Die von einer Lichtquelle mit einem rechteckigen Frequenzspektrum ausgehende Welle ist amplitudenmoduliert. Die Amplitude ist an der Stellez₀maximal. Zudem besitzt der Wellenzug noch weitere Neben- maxima, deren Amplituden aber schnell abfallen. Man bezeichnet solch einen Wellenzug auch als Wellenpaket.

Die Intensit¨at des Wellenpakets berechnet sich aus dem Quadrat der Amplitu- de. Eine Rechnung zeigt, dass die Intensit¨at des ersten Nebenmaximums nur 4,7 % der Intensit¨at des Hauptmaximums betr¨agt. Die Intensit¨aten der wei- teren Nebenmaxima betragen gar nur 1,7 %, 0,8 %, 0,5 % u.s.w. Nahezu die gesamte Intensit¨at des Wellenpakets steckt im Hauptmaximum. Wir k¨onnen daher annehmen, dass das Wellenpaket eine endliche Breite besitzt, welches der Breite des Hauptmaximums von 4πc/∆ω entspricht.

Uberlagern sich zwei solcher Wellenpakete mit einer relativen Verschiebung von¨

∆z= 2πc/∆ω, so f¨allt die Maximalamplitude des einen auf die erste Nullstel- le des anderen Wellenpakets. Man kann also f¨ur Wellenpakete dieser Art die Koh¨arenzl¨angeLdefinieren durch:

Koh¨arenzl¨ange: L= 2πc

∆ω. (25)

Je schmalbandiger die Lichtquelle, desto gr¨oßer ist die Koh¨arenzl¨ange. Damit wird nun auch verst¨andlich, warum die Koh¨arenzl¨angen von Temperaturstrah-

lern so klein sind. Nur streng monochromatisches Licht (d.h. ∆ω → 0) hat unendlich lange Wellenz¨uge und damit eine unendliche Koh¨arenzl¨ange.

Anstatt die Koh¨arenzl¨ange durch die Frequenz auszudr¨ucken, k¨onnen wir die- se auch durch die Angabe der Wellenl¨ange beschreiben. Mit ∆ω = 2π∆ν = 2πc∆λ/λ² schreibt sich die Koh¨arenzl¨ange

Koh¨arenzl¨ange: L= λ²

∆λ. (26)

Es soll noch angemerkt werden, dass zwischen der AmplitudeE_S und dem Fre- quenzspektrum g(ω) in Gleichung (19) ein wichtiger Zusammenhang besteht:

g(ω) ist die Fouriertransformierte vonE_S. Im n¨achsten PraktikumsversuchFou- rieroptikwerden Sie sich mit dieser Thematik noch genauer besch¨aftigen.

Im Versuchsteil 3 werden wir den Zusammenhang der spektralen Bandbreite und der Koh¨arenzl¨ange genauer untersuchen. Hierbei zerlegen wir das Licht einer Halogenlampe (kontinuierliches Spektrum) mit Hilfe eines Prismas und blenden mit einem Spalt einen bestimmten Spektralbereich aus. Je gr¨oßer die Spaltbreite, desto gr¨oßer ist die spektrale Bandbreite des Lichts und damit umso kleiner die Koh¨arenzl¨ange.

Interferenzen an d¨unnen Schichten

In den beiden folgenden Abschnitten, werden zwei Spezialf¨alle, die In- terferenzen gleicher Neigung und die Interferenzen gleicher Dicke behandelt, die f¨ur das Verst¨andnis des Michelson-Interferometers sehr wichtig sind.

Interferenzen gleicher Neigung

Interferenzen gleicher Neigung treten dann auf, wenn ein Lichtb¨undel auf eine transparente, planparallele Platte trifft. Abbildung 6a) verdeutlicht das Prinzip. Das von einer Lichtquelle ausgehende Lichtb¨undel f¨allt unter dem Winkel α auf eine Platte der Dicke d und mit dem Brechungsindex n.

Ein Teil der Intensit¨at wird an der Oberfl¨ache reflektiert, der andere Teil wird im Medium nach dem Snellius’schen Brechungsgesetz gebrochen. Beim Austritt des Lichtb¨undels aus dem Medium tritt erneut eine Reflexion bzw.

Transmission auf.

Durch die Platte wird das einfallende Lichtb¨undel in mehrere reflektierte und transmittierte Lichtb¨undel aufgespaltet, wobei benachbarte Teilb¨undel einen Gangunterschied entsprechend des optischen Wegunterschieds besitzen. In Ab- c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨angerpraktikum - V. 0.2 Stand 09/2006

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