Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 1, Zusatzaufgabe
Zusatzaufgabe 4. Die Cantor-Menge C ⊂ [0,1] erh¨alt man, indem man vom In- tervall [0,1] das mittlere offene Drittel (1/3,2/3) entfernt, anschließend aus den bei- den verbleibenden Intervallen [0,1/3] und [2/3,1] jeweils deren mittleren offenen Drittel entfernt und diesen Prozess unendlich fortsetzt. Folgendes Bild von Wikipedia veran- schaulicht das Ausgangsintervall und die verbleibenden Intervalle nach 1 bis 4 Schritten:
Zur exakten Definition setzen wir
U1 := (1/3,2/3) und Un+1 :=
x 3,x+ 2
3 :x∈Un
f¨urn≥1.
Dann wird imn-ten Schritt die MengeUnentfernt und die verbleibende Cantor-Menge ist
C := [0,1]\
∞
[
n=1
Un.
Zeigen Sie: die Cantor-Menge ist (a) kompakt;
(b) eine Nullmenge. (Hinweis: was istµ(Un)?)
(c) ¨uberabz¨ahlbar. (Hinweis: Bezeichne {0,1}N die Menge aller Folgen von Nullen und Einsen. Zeigen Sie, dass diese Menge ¨uberabz¨ahlbar ist und durch die Abbil- dung
{0,1}N→[0,1], A7→X
n
2xn
3n , injektiv in die Cantormenge abgebildet wird.)
L¨osung: (a) Die Menge U := S
nUn ist als Vereinigung offener Mengen offen und [0,1] ist abgeschlossen, also istC abgeschlossen. Außerdem istCbeschr¨ankt, also nach Analysis 2 kompakt.
(b) Die Mengen Un sind alle paarweise disjunkt und bestehen jeweils aus 2n−1 Inter- vallen der L¨ange 3−n. Somit ist
µ(U) =µ
∞
[
n=1
Un
!
=
∞
X
n=1
µ(Un) =
∞
X
n=1
2n 3n+1 = 1
3 · 1 1−23 = 1 und µ(C) =µ([0,1])−µ(U) = 1−1 = 0.
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(c) Die Menge{0,1}Nist gleichm¨achtig zur Potenzmenge vonN und darum ¨uberabz¨ahlbar.
Die Abbildung nach [0,1] folgt leicht aus der Ungleichung
∞
X
k=n0
2xk/3k≤31−n0,
die f¨ur alle (xk)k∈ {0,1}N undn0 ∈N gilt. Wir m¨ussen also nur noch zeigen, dass die Abbildung in die Cantormenge geht.
Per Induktion ¨uber n beweisen wir dazu, dass f¨ur jede endliche Folge (x1, . . . , xn) ∈ {0,1}n gilt, dass Pn
k=12xk/3k in [0,1]\(U1 ∩ · · · ∩Un) liegt. F¨ur n = 1 ist diese Behauptung offensichtlich wahr. Angenommen, sie gilt f¨ur n. Sei (x1, . . . , xn+1) ∈ {0,1}n+1 und
y=
n
X
k=1
2xk+1/3k, x=
n+1
X
k=1
2xk/3k.
Dann gilt x = y/3 oder x = (2 +y)/3. Nach Induktionsannahme ist y 6∈ U1, . . . , Un. Nach Definition folgt x6∈U2, . . . , Un+1. Aus
∞
X
k=3
2xk/3k ≤1/3
folgt außerdem x 6∈U1. Somit ist x6∈U1, . . . , Un+1 und die Induktionsbehauptung ist bewiesen.
Mit der Abgeschlossenheit der Cantormenge folgt dann, dass die Abbildung tats¨achlich in die Cantormenge geht. ¨Ubrigens ist diese Abbildung bijektiv.
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