A1.2 Kovariante SRT

Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Fabian Bos (fb@tp4.rub.de), Mike Kroll (mike.kroll@rub.de)

Anwesenheits¨ ubung A1

A1.1 Lorentztransformation

Einstein war ein Fan des intiutiven Denkens in der Physik. In deser Aufgabe soll daher der Ein- stein’sche Weg zur Herleitung der Lorentztransformation gegangen werden. Es soll gezeigt werden, dass diese relativ zwanglos aus den Postulaten der SRT folgt.

Zwei InertialsystemeSundS⁰bewegen sich mit einer Relativgeschwindigkeit~v=vˆex. Die Galileitrans- formationen der Orte zwischen den Inertialsystemen lauten dann

x⁰ =x−vt und x=x⁰+vt⁰ . (1)

Gem¨aß der Forderung, dass c= const. in allen Inertialsystemen, ergibt sich:

c= x t = x⁰

t⁰ . (2)

(a) Zeige, dass diese Forderung mit den Galileitransformationen unvereinbar ist.

Einstein folgerte, dass es eine andere Transformation zwischen Inertialsystemen geben m¨usse, die f¨ur kleine Geschwindigkeiten in die Galileitransformation ¨ubergehen sollte und (2) erf¨ullt. Als einfachsten Ansatz schlug er vor, dass das Transformationsverhalten der Galileitransformation um eine Funktion A modifiziert ist:

x⁰ =A(x−vt) und x=A x⁰+vt⁰

. (3)

(b) Finde unter Verwendung von (2) und (3) einen Ausdruck f¨urA.

(c) Leite mit der Erkenntnis aus (b) die Lorentztransformationen in (4) her und zeige, dass diese f¨ur kleine v in die Galileitransoformation ¨ubergehen:

x⁰=γ(x−vt) und t⁰ =γ t−vx

c²

. (4)

A1.2 Kovariante SRT

In der SRT entspricht ein Ereignis dem Viererortx^µ= (ct, x, y, z)^T; mitx⁰=ct,x¹=x, e.t.c. In der Newton’schen Mechanik gilt ˙~x=~v. Korrespondierend dazu kann in der SRT die Vierergeschwindigkeit

¨

uber die Ableitung nach der Eigenzeitτ definiert werden:

U^µ= dx^µ

dτ mit τ = t

γ . (5)

(a) Finde einen Ausdruck f¨ur die Komponenten der Vierergeschwindigkeit U^µ. Analog zum klassischen Impuls ~p=m~v ist der ViererimpulsP^µ=m0U^µ definiert.

(b) BerechneP^µPµ unter Beachtung der Summenkonvention und zeige, dass der sich ergebende Aus- druck invariant unter Lorentztransformationen ist.

(c) Leite unter Verwendung von (b) und

E =γm₀c² (6)

eine Beziehung zwischen E und dem (Dreier-)Impulsp~her.

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