SRT und Lorentz-Transformation

Elektrodynamik I

14.3.2019

SRT und Lorentz-Transformation

Beta und Gamma

𝛾 = ¹

√1−^𝑣2 𝑐2

; 𝛽 =^𝑣

𝑐 In 𝑑 Raumdimensionen bzw. 𝐷 Raumzeitdimensionen gibt es 𝑑 Boosts und ^𝑑(𝑑+1)

2 =^{𝐷(𝐷−1)}

2 Rotationen.

Rotationen gehören zur Gruppe SO(𝑑). Postulate: Konstanz von c, kein bevorzugtes IS.

Lorentz- transfor- mation:

Sei S‘ das „bewegte“ System, und S das „ruhende“ System;

d.h. die Geschwindigkeit und die Richtung von S‘ gegen- über S bestimmen die Größe und das Vorzeichen von 𝛽.

Aktive LT: Wie sieht „bewegtes“

S‘ im „ruhenden“ S aus?

𝒂^𝝁= 𝜦^𝝁𝝂𝒂′^𝝂

Passive LT: Wie sieht „ruhendes“

S im „bewegten“ S‘ aus?

𝒂′^𝝁= 𝜦̃^𝝁_𝝂𝒂^𝝂 Aktive LT

Boost in x, 𝑆′ → 𝑆:

𝛬^𝜇𝜈= [

𝛾 𝛽𝛾

𝛽𝛾 𝛾 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1 ]

Aktive LT Boost in y, 𝑆′ → 𝑆:

𝛬^𝜇𝜈= [ 𝛾 0 0 1 𝛽𝛾 0

0 0

𝛽𝛾 0

0 0

𝛾 0 0 1 ]

Aktive LT Boost in z, 𝑆′ → 𝑆:

𝛬^𝜇𝜈= [ 𝛾 0 0 1

0 0

𝛽𝛾 0 0 𝛽𝛾 0 0 1 0 0 𝛾 ]

Eigenschaften:

𝛬̃^𝜇_𝜈= (𝛬⁻¹)^𝜇_𝜈 det(𝛬) = +1 Passive LT

Boost in x, 𝑆 → 𝑆′:

𝛬̃^𝜇_𝜈= [

𝛾 −𝛽𝛾

−𝛽𝛾 𝛾

0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1 ]

Passive LT Boost in y, 𝑆 → 𝑆′:

𝛬̃^𝜇𝜈= [ 𝛾 0 0 1

−𝛽𝛾 0 0 0

−𝛽𝛾 0

0 0

𝛾 0 0 1 ]

Passive LT Boost in z, 𝑆 → 𝑆′:

𝛬̃^𝜇𝜈=[

𝛾 0 0 1

0 0

−𝛽𝛾 0

0 −𝛽𝛾 0 0

1 0 0 𝛾

] 𝛬 ∈ 𝓛₊^↑ 𝓛₊^↑∈ SO(3,1)^↑ Lorentzgruppe orthochron Drehung: Aktive Drehung: Objekt wird in festem Koordinatensystem gedreht. Passive Drehung: Das Koordinatensystem wird gedreht.

Aktive Drehung um x:

𝐷^𝜇_𝜈= [ 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0

0 0

cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 ]

Aktive Drehung um y:

𝐷^𝜇_𝜈= [

1 0

0 cos 𝛼

0 0

0 sin 𝛼

0 0

0 − sin 𝛼

1 0

0 cos 𝛼 ]

Aktive Drehung um z:

𝐷^𝜇_𝜈= [

1 0

0 cos 𝛼 0 sin 𝛼

0 0

0 0

− sin 𝛼 0 cos 𝛼 0

0 1

]

Passive Drehung um x:

𝐷̃^𝜇_𝜈= [ 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 cos 𝛼 sin 𝛼

− sin 𝛼 cos 𝛼 ]

Passive Drehung um y:

𝐷̃^𝜇_𝜈= [

1 0

0 cos 𝛼

0 0

0 − sin 𝛼

0 0

0 sin 𝛼

1 0

0 cos 𝛼 ]

Passive Drehung um z:

𝐷̃^𝜇_𝜈= [

1 0

0 cos 𝛼 0 − sin 𝛼

0 0

0 0

sin 𝛼 0 cos 𝛼 0

0 1

]

Rapidität: 𝜉 = artanh(𝛽) =¹

2ln (^1+𝛽

1−𝛽) =¹

2ln (^{𝐸+𝑐|𝑝⃗|}

𝐸−𝑐|𝑝⃗|) 𝛽 = tanh(𝜉) 𝛾 = cosh(𝜉) 𝛽𝛾 = sinh(𝜉) 𝜉_𝑔𝑒𝑠= 𝜉₁+ 𝜉₂ 𝑣𝑔𝑒𝑠=^𝑣1+𝑣2

1+^𝑣1𝑣2 𝑐2

Einfache LT‘s à la GDPH 1

Ort:

𝑥 = 𝛾(𝑥^′+ 𝑣𝑡′) 𝑦 = 𝑦‘

𝑧 = 𝑧′

𝑥^′= 𝛾(𝑥−𝑣𝑡) 𝑦^′= 𝑦 𝑧′ = 𝑧

Geschw.

𝑣_𝑥= ^{𝑣𝑥′+𝑣}

1+𝑣_𝑥^{′ 𝑣} 𝑐2

; 𝑣_𝑦= ^𝑣𝑦′

𝛾(1+𝑣_𝑥^{′ 𝑣}

𝑐2); 𝑣_𝑧= ^𝑣𝑧′

𝛾(1+𝑣_𝑥^{′ 𝑣} 𝑐2)

𝑣_𝑥′= ^{𝑣𝑥−𝑣}

1−𝑣_𝑥^𝑣 𝑐2

; 𝑣_𝑦′= ^𝑣𝑦

𝛾(1−𝑣_𝑥^𝑣

𝑐2); 𝑣_𝑧′= ^𝑣𝑧

𝛾(1−𝑣_𝑥^𝑣 𝑐2)

Zeitpunkt: 𝑡 = 𝛾 (𝑡^′+^𝑣

𝑐²𝑥^′) 𝑡^′= 𝛾 (𝑡−^𝑣

𝑐²𝑥)

Dauer: 𝜏 = 𝛾𝜏0

Masse: 𝑚 = 𝛾𝑚₀ Länge: 𝑙 = ^𝑙0

𝛾 Frequenz 𝑓_𝐵= 𝑓₀√^1+𝛽_1−𝛽; 𝑓_𝑅= 𝑓₀√^1−𝛽_1+𝛽; 𝑓_{𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙}=^𝑓0

𝛾

Invariante: 𝑑𝑠²= 𝜂𝑖𝑗𝑑𝑥^𝑖𝑑𝑥^𝑗= 𝑐²𝑑𝑡²− 𝑑𝑥²− 𝑑𝑦²− 𝑑𝑧²; 𝑑𝑠²> 0: zeitartig, Kausalität; 𝑑𝑠²< 0: raumartig; 𝑑𝑠²= 0: lichtartig.

Energie: 𝐸 =𝐸0+𝐸𝑘𝑖𝑛= 𝑚0𝑐²+𝑚𝑐²− 𝑚0𝑐²= 𝑚𝑐²= 𝛾𝑚0𝑐²= √𝑝²𝑐²+ 𝑚₀²𝑐⁴ ; 𝐸𝑘𝑖𝑛= 𝐸 −𝐸0=√𝑝²𝑐²+ 𝑚₀²𝑐⁴−𝑚0𝑐² 𝐸²− 𝑝²𝑐²= 𝑚₀²𝑐⁴= 𝐸₀²… 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡

4er Formalismus mit Minkowski-Metrik

4er-

Vektor kontra variant

𝑎^𝜇=(

𝑎₀ 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

)=(𝑎0

𝑎⃗) 4er- Gra- dient

𝜕_𝜇=(

1 𝑐𝜕𝑡

∇⃗⃗⃗) Qua bla:

⎕=𝜕𝜇𝜕^𝜇=

1 𝑐²𝜕𝑡2− ∆⃗⃗⃗

Minkowsi- metrik (kar- th. Koord.):

𝜂_𝜇𝜈=𝜂^𝜇𝜈=[

1 0 0 −1

0 0 0 0 0 0

0 0

−1 0 0 −1

] ; det(𝜂_𝜇𝜈)= −1

4er-Vektoren u.

Tensoren und ihre Skalarprodukte sind Lorentz-invariant.

Index unten ⇔ „kovariant“, Index oben ⇔„kontravariant“. Indexwechsel ko/kontra in Metrik(+,-,-,-) ⇒ Vorzeichenwechsel bei 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃

Rechen- regeln

𝜂^𝜇𝜈𝜂_𝜈𝜎= 𝜂^𝜇_𝜎= 𝛿_𝜎^𝜇 𝑎_𝜇= 𝜂_𝜇𝜈𝑎^𝜈 𝑎^𝜇= 𝜂^𝜇𝜈𝑎_𝜈 𝐴^𝜇𝜈= 𝐴^𝜇𝛽𝜂^𝛽𝜈= 𝜂^𝜇𝛼𝐴𝛼𝛽𝜂^𝛽𝜈 𝐴_𝜇𝜈= 𝐴_𝜇^𝛽𝜂_𝛽𝜈= 𝜂_𝜇𝛼𝐴^𝛼𝛽𝜂_𝛽𝜈

𝐴 _↓^𝜇𝜈𝐵 _𝜈^𝜇↑= 𝐴^𝜇𝛽𝜂^𝛽𝜈𝐵^𝜇𝜈= 𝐴^𝜇𝛽𝐵^𝜇𝛽= 𝐴^𝜇𝜈𝐵^𝜇𝜈 (𝜂𝜇𝜈)⁻¹= 𝜂^𝜇𝜈= 𝜂𝜇𝜈= (𝜂^𝜇𝜈)⁻¹ 𝜂^𝜇𝜈= 𝜂^𝜈𝜇 𝜕^𝜇𝑥𝜈= 𝛿_𝜈^𝜇 𝜕^𝜇𝑥^𝜈= 𝜂^𝜇𝜈 𝜕𝜇𝑥𝜈= 𝜂𝜇𝜈

(𝐴^𝜇𝜈)^𝑇= 𝐴^𝜈𝜇 (Λ^𝜇𝜈)^𝑇= 𝐴_𝜈^𝜇 (𝐴^𝜇𝜈)⁻¹= 𝐴_𝜇𝜈 𝐴_𝜇𝛽𝐵^𝛽_𝜈= 𝐴_𝜇^𝛽𝐵_𝛽𝜈=̂ (𝐴̳𝐵̳)_𝜇𝜈 𝐴_𝛽𝜈𝐵_𝜇^𝛽= 𝐴^𝛽_𝜈𝐵_𝜇𝛽= 𝐵_𝜇𝛽𝐴^𝛽_𝜈= 𝐵_𝜇^𝛽𝐴_𝛽𝜈=̂ (𝐵̳𝐴̳)_𝜇𝜈 𝐴^𝛽_𝜇𝐵_𝛽𝜈= 𝐴_𝛽𝜇𝐵^𝛽_𝜈= (𝐴^𝑇)_𝜇^𝛽𝐵_𝛽𝜈= (𝐴^𝑇)_𝜇𝛽𝐵^𝛽_𝜈=̂ (𝐴̳^𝑇𝐵̳)_𝜇𝜈 𝐴𝜇𝛽𝐵𝜈𝛽

= 𝐴𝜇𝛽

𝐵𝜈𝛽= 𝐴𝜇𝛽(𝐵^𝑇)^𝛽_𝜈= 𝐴𝜇𝛽(𝐵^𝑇)_𝛽𝜇=̂ (𝐴̳𝐵̳^𝑇)_𝜇𝜈 Skalarprodukt in ℝ^3,1: 𝒂 ∙ 𝒃 = 〈𝒂, 𝒃〉 = 𝑎₀𝑏₀− 𝑎₁𝑏₁− 𝑎₂𝑏₂− 𝑎₃𝑏₃= 𝒂^𝑇𝜂 𝒃 = 𝑎^𝜇𝜂_𝜇𝜈𝑏^𝜈= 𝑎_𝜇𝑏^𝜇

Jeder Tensor 2. Stufe kann in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegt werden: 𝐴𝜇𝜈=¹

2(𝐴𝜇𝜈− 𝐴𝜈𝜇) +¹

2(𝐴𝜇𝜈+ 𝐴𝜈𝜇) 4er-Ortsvektor

(kontravariant) 𝑥^𝜇= (𝑐𝑡

𝑥⃗) Eigenzeit 𝜏 in S‘ 𝑑𝑠²= 𝑑𝑠′²⇒𝑐²𝑑𝑡²− 𝑑𝑥²− 𝑑𝑦²− 𝑑𝑧²= 𝑐²𝑑𝜏²⇒𝑑𝜏²=^𝑑𝑠2

𝑐² = (1 −^𝑣⃗⃗2

𝑐²) 𝑑𝑡²⇒ 𝑑𝜏 =¹

𝛾𝑑𝑡 4er-Geschw.

(kontravariant) 𝑢^𝜇=^𝑑𝑥𝜇

𝑑𝜏 =^𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜏= 𝛾^𝑑𝑥𝜇

𝑑𝑡 = 𝛾 (𝑐 𝑣⃗) = (𝛾𝑐

𝛾𝑣⃗) 𝑢^𝜇𝑢_𝜇= 𝛾²(𝑐²− 𝑣⃗²) = 𝑐²> 0 ⇒zeitartig ^𝑑𝛾

𝑑𝑡= 𝛾^{3 𝑎⃗⃗∙𝑣⃗⃗}

𝑐²

4er- Beschleu- nigung (kontravariant)

𝑎^𝜇=^𝑑𝑢𝜇

𝑑𝜏 =^𝑑

𝑑𝜏(𝛾𝑐 𝛾𝑣⃗) = 𝛾^𝑑

𝑑𝑡(𝛾𝑐

𝛾𝑣⃗) = 𝛾 ( 𝑐^𝑑𝛾

𝑑𝑡 𝑑𝛾

𝑑𝑡𝑣⃗ + 𝛾𝑎⃗) = 𝛾 ( 𝑐 𝛾^{3 𝑎⃗⃗∙𝑣⃗⃗}

𝑐²

𝛾^{3 𝑎⃗⃗∙𝑣⃗⃗}

𝑐²𝑣⃗ + 𝛾𝑎⃗) = ( 𝛾^{4 𝑎⃗⃗∙𝑣⃗⃗}

𝑐

𝛾^{4 𝑎⃗⃗∙𝑣⃗⃗}

𝑐²𝑣⃗ + 𝛾²𝑎⃗)

Beschleuni- gung nur in x-Richtung:

𝑎^𝜇= (𝛾^{4 𝑎𝑥𝑣𝑥}

𝑐

𝛾⁴𝑎𝑥

) (0

𝑎_𝑥^′) = 𝛬̃^𝜇𝜈𝑎^𝜈⇒𝑎𝑥′ = 𝛾³𝑎𝑥 * 𝑎^𝜇𝑢_𝜇= 0 ⇒ 𝑎^𝜇⊥ 𝑢^𝜇 𝑎^𝜇𝑎_𝜇= −𝑎̃⃗²< 0 ⇒raumartig. (𝑎̃…3er-Beschl. des IS, in dem 𝑣⃗=0) 4er-Impuls

(kontravariant) 𝑝^𝜇= 𝑚0𝑢^𝜇= 𝑚0(𝛾𝑐 𝛾𝑣⃗) = (

𝐸 𝑐

𝑝⃗) = (𝑚₀𝑐 +^{𝐸𝑘𝑖𝑛}

𝑐

𝑝⃗ ) 𝑝^𝜇𝑝_𝜇= 𝑝₀²− 𝑝⃗²≡^𝐸2

𝑐²− 𝑝⃗²= 𝑚02𝑐²… 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡

Masseteilchen: 𝐸 = √𝑚₀²𝑐⁴+ 𝑝²𝑐² masselose Teil.: 𝐸 = |𝑝⃗|𝑐 = ℎ𝑓; 𝑝⃗ = ℏ𝑘⃗⃗ =^ℎ

𝜆

4er-Kraft

(kontravariant) 𝐹^𝜇=^𝑑𝑝𝜇

𝑑𝜏 =^𝑑𝑝𝜇

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜏= 𝛾^𝑑𝑝𝜇

𝑑𝑡 = (𝐹⁰

𝛾𝐹⃗) =𝑚₀𝑎^𝜇 𝐹⃗ = 𝑚0𝛾𝑎⃗ + 𝑚0𝛾^{3 𝑣⃗⃗∙𝑎⃗⃗}

𝑐 𝑣⃗ (für 𝑚0= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ) ⇒ 𝐹⃗ ⫲ 𝑎⃗ (𝑎𝑢ß𝑒𝑟 𝑣⃗‖𝑎⃗ ⋁ 𝑣⃗ ⊥ 𝑎⃗)

Hyperbolische Bewegung bei konstanter Beschleunigung 𝒂

𝟎

in S‘

Geschwindigkeit

aus Sicht von S *) 𝑎𝑥′=^! 𝑎0⇒𝑎0= 𝛾³𝑎𝑥(𝑡) = 𝛾^{3 𝑑𝑣}

𝑑𝑡⇒∫ 𝑎0𝑑𝑡 = ∫ 𝛾³𝑑𝑣⇒𝑎0𝑡 = 𝛾𝑣⇒𝑣 = 𝑎0𝑡√1 −^𝑣2

𝑐²⇒ 𝑣(𝑡)= ^𝑎0𝑡

√1+^𝑎0_𝑐2^2𝑡2

AB: 𝑥(0) =^! 0

Beschleunigung

aus Sicht von S 𝑎₀= 𝛾³𝑎_𝑥(𝑡)⇒𝑎_𝑥(𝑡) = (1 −^𝑣(𝑡)_𝑐2²)

3

2𝑎₀= (1 −¹

𝑐² 𝑎₀²𝑡² 1+^𝑎02𝑡2

𝑐2

)

3/2

⇒ 𝑎_𝑥(𝑡) = ^𝑎0

(1+^𝑎02𝑡2 𝑐2)

3/2

Ortsvektor

aus Sicht von S 𝑥(𝑡) = ∫𝑣(𝑡)𝑑𝑡 =^𝑐2

𝑎₀√1 +^𝑎02𝑡2

𝑐² + 𝑘⇒ 𝑥(𝑡) =^𝑐2

𝑎₀(√1 +^𝑎02𝑡2

𝑐² − 1) AB: 𝑥(0) =^! 0

Maxwell

Feldstärketensor

(kontravariant) 𝐹^𝜇𝜈= −𝐹^𝜈𝜇= [

0 −𝐸_𝑥 +𝐸𝑥 0 +𝐸_𝑦 𝐵_𝑧 +𝐸_𝑧 −𝐵_𝑦

−𝐸_𝑦 −𝐸_𝑧

−𝐵_𝑧 𝐵_𝑦 0 −𝐵_𝑥 𝐵𝑥 0 ]

Feldstärketensor

(kovariant) 𝐹_𝜇𝜈= 𝜂_𝜇𝜎𝐹^𝜎𝜏𝜂_𝜏𝜈= −𝐹_𝜈𝜇= [

0 +𝐸_𝑥

−𝐸𝑥 0

−𝐸_𝑦 𝐵_𝑧

−𝐸_𝑧 −𝐵_𝑦

+𝐸_𝑦 +𝐸_𝑧

−𝐵_𝑧 𝐵_𝑦 0 −𝐵_𝑥 𝐵𝑥 0 ] Hodge (dualer)

Feldstärketensor (kontravariant) 𝐸⃗⃗ → 𝐵⃗⃗; 𝐵⃗⃗ → −𝐸⃗⃗

𝐹̃^𝜇𝜈=¹

2𝜀^{𝜇𝜈𝜎𝜏}𝐹_𝜎𝜏= [

0 −𝐵𝑥

+𝐵_𝑥 0 +𝐵𝑦 −𝐸𝑧

+𝐵_𝑧 𝐸_𝑦

−𝐵𝑦 −𝐵𝑧

𝐸𝑧 −𝐸𝑦

0 𝐸_𝑥

−𝐸_𝑥 0 ]

Hodge (dualer) Feldstärketensor (kovariant) 𝐸⃗⃗ → 𝐵⃗⃗; 𝐵⃗⃗ → −𝐸⃗⃗

𝐹̃_𝜇𝜈=¹

2𝜀_{𝜇𝜈𝜎𝜏}𝐹^𝜎𝜏= [

0 +𝐵𝑥

−𝐵_𝑥 0

−𝐵𝑦 −𝐸𝑧

−𝐵_𝑧 𝐸_𝑦

+𝐵𝑦 +𝐵𝑧

𝐸𝑧 −𝐸𝑦

0 𝐸_𝑥

−𝐸_𝑥 0 ]

Lorentz-invar.: 𝐹^𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈= −𝐹̃^𝜇𝜈𝐹̃𝜇𝜈= −2(𝐸⃗⃗²− 𝐵⃗⃗²) 𝐹^𝜇𝜈𝐹̃𝜇𝜈= −4𝐸⃗⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ Elektr. Ant.: 𝐸^𝜇= −¹

𝑐𝑢_𝜈𝐹^𝜇𝜈 Magn. Ant.: 𝐵^𝜈= −¹

𝑐𝑢_𝜇𝐹̃^𝜇𝜈 Lorentz-Trafo 𝐹′^𝜇𝜈= 𝛬̃^𝜇𝜎𝐹^𝜎𝜏𝛬̃^𝜈𝜏= (𝛬̃𝐹𝛬̃^𝑇)^𝜇𝜈 𝐸𝑥′= 𝐸𝑥; 𝐸𝑦′ = 𝛾(𝐸𝑦− 𝛽𝐵𝑧); 𝐸𝑧′= 𝛾(𝐸𝑧+ 𝛽𝐵𝑦);

𝐵𝑥′= 𝐵𝑥; 𝐵𝑦′= 𝛾(𝐵𝑦+ 𝛽𝐸𝑧); 𝐵𝑧′= 𝛾(𝐵𝑧− 𝛽𝐸𝑦);

4er-Maxwell Gleichungen

Annahmen:

 Lorentz-invariante Tensorgleichungen mit dem Feldstärketensor 𝐹^𝜇𝜈= −𝐹^𝜈𝜇

 Superpositionsprinzip: Lineare BWGL mit unterschiedlichen Lösungen je nach AB/RB ⇒ part. DGL 1. Ordnung

 Ansatz: 𝜕⏟ 𝜇𝐹𝛼𝛽 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚

= 𝑄⏟𝜇𝛼𝛽 𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑡𝑒𝑟𝑚

+ 𝐹⏟ ^𝜌𝜎𝑄𝜌𝜎𝜇𝛼𝛽

"𝑅𝑒𝑖𝑏𝑢𝑛𝑔𝑠𝑡𝑒𝑟𝑚"

 Reibungsterm 𝐹^𝜌𝜎𝑄𝜌𝜎𝜇𝛼𝛽= 0

 Quellen 𝑗_𝑚𝑎𝑔^𝜇 und 𝑗_𝑒𝑙^𝜇 sind Viererströme.

⇒ verallgemeinerte Maxwell-Gleichungen:

 𝜕𝜇𝐹^𝜇𝜈=^4𝜋

𝑐 𝑗_𝑒𝑙^𝜈

 𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝐹_𝛼𝛽=^4𝜋

𝑐𝑗_𝑚𝑎𝑔^𝜇 ; aber: keine magnetischen Monopole, daher: 𝑗_𝑚𝑎𝑔^𝜇 =^! 0^𝜇 und 𝑗_𝑒𝑙^𝜈= 𝑗^𝜈

⇒ tatsächliche Maxwell-Gleichungen in 4er-Schreibweise (kovariant):

𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈=^4𝜋

𝑐𝑗^𝜈 … inhomogene Maxwellgleichung 𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕𝜈𝐹𝛼𝛽= 0^𝜇 … homogene Maxwellgleichung 4er-Stromdichte 𝑗^𝜇= (𝑐𝜌

𝑗⃗ ) 𝜌…Ladungsdichte 𝑗⃗… el. Stromdichte

4er-E-

Vektor 𝐸^𝜇= −¹

𝑐𝐹^𝜇𝜈𝑢_𝜈 4er-B-

Vektor 𝐵^𝜇= −¹

2𝑐𝑢_𝜈𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝐹_𝛼𝛽

Kontinuitäts- gleichung

𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈=^4𝜋

𝑐𝑗^𝜈⇒ 𝜕_𝜈𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈= 𝜕_𝜈^4𝜋

𝑐 𝑗^𝜈 |𝑁𝑅: 𝜕_𝜈𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈= −𝜕_𝜈𝜕_𝜇𝐹^𝜈𝜇 =⏞

𝑆𝑎𝑡𝑧 𝑣𝑜𝑛 𝑆𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧

− 𝜕_𝜇𝜕_𝜈𝐹^𝜈𝜇 =⏞

𝜇→𝜈 𝜈→𝜇

− 𝜕_𝜈𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈⇒𝜕_𝜈𝜕_𝜇𝐹^𝜇𝜈= 0

4𝜋

𝑐 𝜕𝜈𝑗^𝜈= 0⇒ 𝜕𝜈𝑗^𝜈= 0 ⇒ (

1 𝑐𝜕𝑡

∇⃗⃗⃗) ∙ (𝑐𝜌 𝑗⃗ ) =

1 𝑐

𝜕

𝜕𝑡(𝑐𝜌) + 𝜕𝑖𝑗𝑖= ^𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑗⃗ = 0 … „Ladung ist eine Erhaltungsgröße“

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ = 4𝜋𝜌|^𝜕

𝜕𝑡⟹^𝜕

𝜕𝑡(∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗) = 4𝜋^𝜕𝜌_𝜕𝑡⟹∇⃗⃗⃗ ∙^{𝜕𝐸⃗⃗}

𝜕𝑡= 4𝜋^𝜕𝜌

𝜕𝑡… (1)

∇⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ =¹

𝑐

𝜕𝐸⃗⃗

𝜕𝑡+^4𝜋

𝑐 𝑗⃗|∇⃗⃗⃗ ∙⟹ ∇⃗⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗) = ∇⃗⃗⃗ ∙ (¹_𝑐^{𝜕𝐸⃗⃗}_𝜕𝑡+^4𝜋

𝑐𝑗⃗)⟹ 0 =¹

𝑐∇⃗⃗⃗ ∙^{𝜕𝐸⃗⃗}

𝜕𝑡+^4𝜋

𝑐∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑗⃗⁽¹⁾⇒ 0 =^4𝜋

𝑐

𝜕𝜌

𝜕𝑡+^4𝜋

𝑐∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑗⃗⟹ ^𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑗⃗ = 0 3er↔4er-Größen 𝐸⃗⃗~𝐸_𝑖; 𝐵⃗⃗~𝐵_𝑖; 𝑗⃗~𝑗^𝑖(!); 𝐸𝑖= 𝐹^𝑖0= 𝐹_0𝑖= 𝜕₀𝐴_𝑖− 𝜕_𝑖𝐴₀; 𝐵_𝑖= −¹

2𝜀_𝑖𝑗𝑘𝐹_𝑗𝑘; (∇⃗⃗⃗ ∙ E⃗⃗⃗)_𝑖= 𝜕_𝑖𝐸_𝑖; (∇⃗⃗⃗ × E⃗⃗⃗)_𝑖= 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜕_𝑗𝐸_𝑘 3er-Maxwell

Gleichungen cgs-Gauß-System

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ = 4𝜋𝜌 Gauß: Die Raumladungen sind Quellen oder Senken des E-Feldes inh. MWGL, 𝜕𝜇𝐹^𝜇0=^4𝜋

𝑐𝑗⁰

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 0 Magn. Feldlinien geschlossen, es gibt keine magn. Monopole hom. MWGL, 0-Komponente

∇⃗⃗⃗ × 𝐸⃗⃗ +¹

𝑐

𝜕𝐵⃗⃗

𝜕𝑡= 0 Induktionsg., Faraday, E-Feld hat bei ^{𝜕𝐵⃗⃗}

𝜕𝑡 Wirbel (statisch: Stokes) hom. MWGL, i-Komponente

∇⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ −¹

𝑐

𝜕𝐸⃗⃗

𝜕𝑡=^4𝜋

𝑐 𝑗⃗ Amperesches Gesetz: B-Feld hat bei veränderl. E-Feld Wirbel inh. MWGL, 𝜕𝜇𝐹^𝜇𝑖=^4𝜋

𝑐 𝑗^𝑖 Lorenzkraft-

dichte 𝑓_(𝐿)^𝜇 =¹

𝑐𝐹^𝜇𝜈𝑗_𝜈 in Kom-

ponenten 𝑓_(𝐿)⁰ =¹

𝑐𝐸⃗⃗𝑗⃗; 𝑓_(𝐿)^𝑖 = 𝜌𝐸_𝑖+¹

𝑐𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑗^𝑗𝐵_𝑘; 𝑓⃗_(𝐿)= 𝜌𝐸⃗⃗ +¹

𝑐𝑗⃗ × 𝐵⃗⃗

Energiedichte

EM-Feld 𝑤_𝑒𝑚= ¹

8𝜋(𝐸⃗⃗²+ 𝐵⃗⃗²) Energiestromdichte EM-Feld (Poynting-V.) 𝑆⃗ = ^𝑐

4𝜋(𝐸⃗⃗ × 𝐵⃗⃗) Poynting mittel 〈𝑆⃗〉 = ^𝑐

8𝜋(𝐸⃗⃗ × 𝐵⃗⃗^∗) Kontinuitätsgl. 𝜕𝑡𝑤𝑚𝑒𝑐ℎ+𝜕𝑡𝑤𝑒𝑚+ ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑆⃗ = 0⇒𝑗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗+¹

8𝜋𝜕𝑡(𝐸⃗⃗²+ 𝐵⃗⃗²)+^𝑐

4𝜋𝜕𝑡(𝐸⃗⃗ × 𝐵⃗⃗) = 0 Energieerhaltung ^𝑑𝑊^{𝑚𝑒𝑐ℎ}+^𝑑𝑊^𝑒𝑚= − ∫ ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑆⃗ 𝑑𝑉 =⏞

𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

− ∮ 𝑆⃗ ∙ 𝑑𝑓⃗

Streuung

Elastisch (diesel- ben Teilchen) ∑ 𝑝_𝐴^𝜇

𝐴

= ∑ 𝑝′_𝐴^𝜇

𝐴

2 elastisch

im SPS: 𝑝_𝑆𝑃𝑆^𝜇 = (𝑀𝑐 0⃗⃗ ) ; 𝑝^𝑆𝑃𝑆

𝜇 𝑝_𝜇^𝑆𝑃𝑆= 𝑀²𝑐²; 𝐸_𝐴= 𝐸_𝐴^′; 𝐸_𝐵= 𝐸_𝐵^′ 2 elastisch

im Lab.syst: 𝑝_𝑔𝑒𝑠^𝜇 𝑝𝜇𝐴= 𝑝_𝑔𝑒𝑠^𝜇 𝑝′𝜇𝐴 Inelastisch (un-

tersch. Teilchen) ∑ 𝑝_𝐴^𝜇

𝐴

= ∑ 𝑝′_𝐴′^𝜇

𝐴′

Zerfall 𝑚1

→ 𝑚₂, 𝑚₃: 𝑝₁^𝜇= 𝑝₂^𝜇+ 𝑝₃^𝜇Syst.1⇒ (𝑚₁𝑐

0⃗⃗ ) = (𝑚₂𝑐 +^{𝐸2𝑘𝑖𝑛}

𝑐

𝑝⃗2

) + (𝑚₃𝑐 +^{𝐸3𝑘𝑖𝑛}

𝑐

𝑝⃗3

)⇒𝑚1= 𝑚2+ 𝑚3+^{𝐸2𝑘𝑖𝑛+𝐸3𝑘𝑖𝑛}

𝑐²

𝐸₂^𝑘𝑖𝑛 bei Zerfall 𝑚1→ 𝑚2, 𝑚3:

𝑝₁^𝜇= 𝑝₂^𝜇+ 𝑝₃^𝜇⇒(𝑝₃^𝜇)²= (𝑝₁^𝜇− 𝑝₂^𝜇)²= (𝑝₁^𝜇)²+ (𝑝₂^𝜇)²− 2𝑝₁^𝜇𝑝𝜇2⇒𝑚32𝑐²= 𝑚12𝑐²+ 𝑚22𝑐²− 2 (𝑚₁𝑐 0⃗⃗ ) ∙ (

𝑚2𝑐 +^{𝐸2𝑘𝑖𝑛}

𝑐

−𝑝⃗₂ ) ⇒𝑚32𝑐²= 𝑚12𝑐²+ 𝑚22𝑐²− 2(𝑚1𝑚2𝑐²+ 𝑚1𝐸2𝑘𝑖𝑛)⇒𝐸2𝑘𝑖𝑛= 𝑐^{2 (𝑚1−𝑚2)2−𝑚32}

2𝑚₁

4er-Potential

4er-Potential 𝐴^𝜇 𝐹𝜇𝜈= 𝜕𝜇𝐴𝜈− 𝜕𝜈𝐴𝜇⇒löst die hom. Maxwell-Gl. 𝐴^𝜇= (𝜙 𝐴^𝑖) = (𝜙

𝐴⃗) ; 𝐴_𝜇= (𝜙, 𝐴_𝑖) = (𝜙, −𝐴⃗) 𝐸_𝑖= 𝐹_0𝑖= 𝜕₀𝐴_𝑖− 𝜕_𝑖𝐴₀= −¹

𝑐𝜕_𝑡𝐴_𝑖− 𝜕_𝑖𝜙⟺𝐸⃗⃗ = −¹

𝑐𝜕_𝑡𝐴⃗ − ∇⃗⃗⃗𝜙 𝐵_𝑖= −¹

2𝜀_𝑖𝑗𝑘𝐹_𝑗𝑘= −𝜀_𝑖𝑗𝑘𝜕_𝑗𝐴_𝑘= (∇⃗⃗⃗ × 𝐴⃗)_𝑖⟺ 𝐵⃗⃗ = ∇⃗⃗⃗ × 𝐴⃗

Antisyme- trieren:

𝐴_𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈=¹

2(𝐴_𝜇𝜈− 𝐴_𝜈𝜇)𝐹^𝜇𝜈+¹

2(𝐴_𝜇𝜈+ 𝐴_𝜈𝜇)𝐹^𝜇𝜈= 𝐴_𝜇𝜈^{𝑎𝑠𝑦𝑚}𝐹^𝜇𝜈+ 𝐴_𝜇𝜈^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜇𝜈 𝑁𝑅:𝐴_𝜇𝜈^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜇𝜈= −𝐴_𝜇𝜈^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜈𝜇= −𝐴_𝜈𝜇^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜈𝜇 =⏞

𝜇→𝜈 𝜈→𝜇

−𝐴_𝜇𝜈^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜇𝜈⇒𝐴_𝜇𝜈^𝑠𝑦𝑚𝐹^𝜇𝜈= 0⇒ 𝐴𝜇𝜈𝐹^𝜇𝜈=¹

2(𝐴𝜇𝜈− 𝐴𝜈𝜇)𝐹^𝜇𝜈= 𝐴_𝜇𝜈^{𝑎𝑠𝑦𝑚}𝐹^𝜇𝜈 Lösen der hom.

MWGL mit 𝐴𝜇:

𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝐹_𝛼𝛽= 0⇒𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈(𝜕_𝛼𝐴_𝛽− 𝜕_𝛽𝐴_𝛼) = 0⇒𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽− 𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝜕_𝛽𝐴_𝛼= 0⇒

|𝛼→𝛽 𝛽→𝛼

𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽− 𝜀^{𝜇𝜈𝛽𝛼}𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽= 0⇒𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽(𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}− 𝜀^{𝜇𝜈𝛽𝛼}) = 0⇒𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽(𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}+ 𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}) = 0⇒ 2𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽= 0⇒𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕_𝜈𝜕_𝛼𝐴_𝛽= 0… stimmt immer, weil:

𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕𝜈𝜕𝛼𝐴𝛽= −𝜀^{𝜇𝛼𝜈𝛽}𝜕𝜈𝜕𝛼𝐴𝛽= −𝜀^{𝜇𝛼𝜈𝛽}𝜕𝛼𝜕𝜈𝐴𝛽=_|𝛼^→𝜈

𝜈→𝛼= −𝜀^{𝜇𝜈𝛼𝛽}𝜕𝜈𝜕𝛼𝐴𝛽 Lösen der hom.

MWGL mit 𝐴⃗:

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 0⇒∇⃗⃗⃗ ∙ (∇⃗⃗⃗ × 𝐴⃗) = 0… stimmt immer, weil div(rot(A)) immer=0 ist.

∇⃗⃗⃗ × 𝐸⃗⃗ +¹

𝑐𝜕𝑡𝐵⃗⃗ = 0⇒∇⃗⃗⃗ × 𝐸⃗⃗ +¹

𝑐𝜕𝑡(∇⃗⃗⃗ × 𝐴⃗) = 0⇒∇⃗⃗⃗ × (𝐸⃗⃗ +¹

𝑐𝜕𝑡𝐴⃗) = 0⇒∇⃗⃗⃗ × (−∇⃗⃗⃗𝜙) = 0⇒stimmt, weil rot(grad(𝜙))=0⇒

−∇⃗⃗⃗𝜙 = 𝐸⃗⃗ +¹

𝑐𝜕𝑡𝐴⃗⇒𝐸⃗⃗ = −∇⃗⃗⃗𝜙 −¹

𝑐𝜕𝑡𝐴⃗

Eichinvarianz: 𝑠𝑒𝑖 𝐹_𝜇𝜈= 𝜕_𝜇𝐴_𝜈− 𝜕_𝜈𝐴_𝜇 𝑢𝑛𝑑 𝐹_𝜇𝜈^′ = 𝜕_𝜇𝐴_𝜈^′ − 𝜕_𝜈𝐴_𝜇^′ 𝑚𝑖𝑡 𝐴_𝜇^′ = 𝐴_𝜇+ 𝜕_𝜇𝛬 (𝛬 𝑟𝑒𝑒𝑙, ℎ𝑖𝑛𝑟. 𝑔𝑙𝑎𝑡𝑡: 𝑎𝑏𝑒𝑙𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐸𝑖𝑐ℎ𝑠𝑦𝑚) ⇒ 𝐹_𝜇𝜈= 𝐹_𝜇𝜈^′ Lorenz-Eichung 𝜕_𝜇𝐴^𝜇=^! 0⇒ 𝑖𝑛ℎ𝑜𝑚. 𝑀𝑊𝐺𝐿: 𝜕_𝜇𝜕^𝜇𝐴^𝜈=^4𝜋

𝑐𝑗^𝜈⟺⎕𝐴⃗ =^4𝜋

𝑐𝑗⃗; ⎕𝜙 = 4𝜋𝜌; (EM-Wellen)

Coulomb- Eichung

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐴⃗ =^! 0 (Dreier-Divergenz verschwindet) ⇒ ∆⃗⃗⃗𝜙 = −4𝜋𝜌; ⎕𝐴⃗ = ^4𝜋

𝑐𝑗⃗𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣 Vektor-Poisson: ∆𝐴 = −^4𝜋

𝑐𝑗⃗ (karth. einfacher) Für nat. RB: 𝐴⃗(𝑟⃗) =¹

𝑐∫_{|𝑟⃗−𝑟⃗}^𝑗⃗_′|𝑑𝑉^′; ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐴⃗ =^! 0 ⟺ ∇⃗⃗⃗ ∙ 𝑗⃗ = 0 Biot

Savart 𝐵⃗⃗(𝑟⃗) =¹

𝑐∫^{𝑗⃗(𝑟⃗}_{(𝑟⃗−𝑟⃗}^{′)×(𝑟⃗−𝑟⃗}_′)3^′)𝑑𝑉^′ Linienförmige Leiterschleife 𝐴⃗(𝑟⃗) =^𝐼

𝑐∮_{|𝑟⃗−𝑟⃗}^{𝑑𝑟⃗′}_′| linienförmig: 𝐵⃗⃗(𝑟⃗) =^𝐼

𝑐∮ ∫^𝑑𝑟⃗_{(𝑟⃗−𝑟⃗}^{′×(𝑟⃗−𝑟⃗}_′)3^′)

Elektrostatik

Elektrostatik: ^{𝜕𝐸⃗⃗}

𝜕𝑡=^! 0; ^{𝜕𝐵⃗⃗}

𝜕𝑡=^! 0; ^𝜕𝜌

𝜕𝑡=^! 0; ^𝜕𝑗⃗

𝜕𝑡=^! 0 Im Weiteren außerdem: 𝐵⃗⃗ =^! 0; 𝑗⃗ =^! 0 Maxwellgleich-

chungen in 3er Form (da keine zeitabhängigkeit) cgs-System

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ = 4𝜋𝜌 Elektro- statik

Gauß: ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗_𝐴 = 4𝜋𝑄 = 4𝜋 ∫ 𝜌 𝑑𝑉 (Gesamtfluss durch Fläche proportional eingeschl. Ladung)

∇⃗⃗⃗ × 𝐸⃗⃗ = 0 Stokes: ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗_𝐶 = 0 (Statisches E-Feld ist wirbelfrei und konservatives Kraftfeld)

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 0 Magneto- statik

Magn. Feldlinien geschlossen, es gibt keine magn. Monopole

∇⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ =^4𝜋

𝑐 𝑗⃗ rot(𝐵⃗⃗) = lokale Stromdichte

Potential: Vektorpotential 𝐴⃗ = 0⇒skalares Potential 𝜙 ausreichend: 𝐸⃗⃗ = −∇⃗⃗⃗ 𝜙(𝑟⃗) Spannung 𝑈 = 𝜙(𝑟⃗) − 𝜙(𝑟⃗0) = − ∫ 𝐸⃗⃗(𝑟⃗′) 𝑑𝑟⃗′_𝑟⃗^𝑟⃗

0

Poisson- gleichung:

∇⃗⃗⃗ ∙ 𝐸⃗⃗(𝑟⃗) = ∇⃗⃗⃗ ∙ (−∇⃗⃗⃗ 𝜙(𝑟⃗)) = −∆ 𝜙(𝑟⃗) = 4𝜋 𝜌(𝑟⃗) Lösung des Laplace-Operators −∆⃗⃗⃗/(4𝜋) mittels Green’scher Funktion:

∆ G(𝑟⃗, 𝑟⃗′) ≝ −4π δ(𝑟⃗ − 𝑟⃗′) 𝑚𝑖𝑡 G(𝑟⃗, 𝑟⃗′) = ¹

|𝑟⃗−𝑟⃗′|+ G_ℎ𝑜𝑚(𝑟⃗, 𝑟⃗′) ; ∆⃗⃗⃗ Gℎ𝑜𝑚(𝑟⃗, 𝑟⃗′) ≝ 0 (𝑅𝐵) ⇒ 𝜙(𝑟⃗) = ∫ 𝜌(𝑟⃗′) G(𝑟⃗, 𝑟⃗′) 𝑑𝑉′

∆ 𝜙(𝑟⃗) = 0 sphärisch: 𝜙(𝑟⃗) = ∑ ∑ [𝐴_𝑙𝑚𝑟^𝑙+ 𝐵_𝑙𝑚 ¹

𝑟^𝑙+1]

𝑙𝑚=−𝑙 𝑌_𝑙𝑚(𝜗, 𝜑)

∞𝑙=0 ; bei Sym. um z: 𝜙(𝑟⃗) = ∑ [𝐴_𝑙𝑟^𝑙+ 𝐵_𝑙 ¹

𝑟^𝑙+1]

∞𝑙=0 𝑃_𝑙(cos 𝜗) Dirichlet

RWP: 𝜙(𝑟⃗)|𝑟⃗∈𝜕𝑉=^!fix Dirichlet Green-Fkt

𝜙(𝑟⃗) = ∫ G_𝑉 𝐷(𝑟⃗, 𝑟⃗^′) ρ(𝑟⃗^′) 𝑑𝑉^′−¹

4𝜋∮ 𝜙(𝑠⃗^′)

𝜕𝑉=𝑠⃗^′ [∇⃗⃗⃗^′G𝐷](𝑟⃗, 𝑠⃗^′) ∙ 𝑑𝐴⃗^′ mit 𝜕𝑉 = s⃗^′(𝑢, 𝑣) ; 𝑛⃗⃗ =^𝜕𝑠⃗

𝜕𝑢×^𝜕𝑠⃗

𝜕𝑣 nach außen; 𝑑𝐴⃗^′= n⃗⃗(𝑢, 𝑣) 𝑑𝑢 𝑑𝑣

Neumann

RWP: 𝜕𝑛𝜙(𝑟⃗) =^{𝜙(𝑟⃗)}

𝜕𝑛⃗⃗ |𝑟⃗∈𝜕𝑉=^!fix

Punktladungen und Spiegelladungen an geerdeten Flächen

Ladungsdichte. v.

Punktladungen 𝜌(𝑟⃗) = ∑ 𝑞_𝑖 𝑖δ(𝑟⃗ − 𝑟⃗𝑖) Potential von

Punktladungen: 𝜙(𝑟⃗) = ∫ 𝜌(𝑟⃗′) G(𝑟⃗, 𝑟⃗′) 𝑑𝑉′ = ∫ ∑ 𝑞_𝑖 𝑖δ(𝑟⃗′ − 𝑟⃗_𝑖) ¹

|𝑟⃗−𝑟⃗′|𝑑³𝑟′ = ∑ ^𝑞𝑖

|𝑟⃗−𝑟⃗𝑖|

𝑖

Randbedingung für Fläche F:

𝐹 = {r⃗(𝑢, 𝑣) : (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐵}

𝜙(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) =^! 0⇒𝑞_𝑖, 𝑟⃗_𝑖; Feld-

stärke: 𝐸⃗⃗(𝑟⃗) = −∇⃗⃗⃗ 𝜙(𝑟⃗) = ∑ 𝑞𝑖 𝑟⃗−𝑟_𝑖

|𝑟⃗−𝑟_𝑖|3 𝑖 Oberfl.-

ldgsdichte

𝜎(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) = ¹

4𝜋𝐸⃗⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) ∙ 𝑛⃗⃗(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) 𝑟⃗(𝑢, 𝑣)… geerdete Oberfläche; 𝑛⃗⃗…“hinein“

Influenzierte

Oberfl.ladung: 𝑄 = ∫_{(𝑢,𝑣)∈𝐵}𝜎(𝑟⃗(𝑢, 𝑣)) 𝑑𝐴; 𝑑𝐴 = 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = 𝑅²sin 𝜗 𝑑𝜑 𝑑𝜗 = ∑ 𝑞_{𝑠𝑝𝑖𝑒𝑔𝑒𝑙} Kraft auf

Ladung q0: 𝐹⃗(𝑟⃗0) = 𝑞0𝐸⃗⃗𝐵𝑖𝑙𝑑= ∑ 𝑞𝑖 𝑟⃗0−𝑟⃗_𝑖

|𝑟⃗₀−𝑟_𝑖|³ 𝑛

𝑖=1

Flächenspiegelung: 𝑑^′= −𝑑; 𝑞^′= −𝑞 Kugelspiegelung: 𝑑^′=^𝑅2

𝑑; 𝑞^′= −𝑞^𝑅

𝑑 Spiegelung Linienladung an Zylinder: 𝑑^′=^𝑅2

𝑑; 𝜏^′= −𝜏