Aufgabe 9: Green’sche Funktion 10 Punkte

Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 4

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 18.11.2016, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 21.11.2016 ¨

Aufgabe 9: Green’sche Funktion 10 Punkte

Betrachten Sie ein zweidimensionales rechteckiges Gebiet A mit 0 ≤ x ≤ L und 0 ≤ y ≤ L, welches von einem idealen Leiter umgeben ist. Die Green’sche Funktion G(r, r

) ist symmetrisch, mit r = (x, y) (also z = 0), und erf¨ ullt

∆

G(r, r

) = −4πδ(r − r

)

mit Dirichlet-Randbedingungen, G = 0, am Rand von A. Das elektrostatische Potential ist dann bei vorgegebener Ladungsdichte ρ(r) in A und vorgegebenem Potential Φ(r) am Rand von A gegeben durch

ϕ(r) = Z

A

d

r

G(r, r

)ρ(r

) − 1 4π

Z

∂A

df

· [Φ(r

)∇

G(r

, r)]

Wir setzen die L¨ angenskala L = 1.

a) Zeigen Sie, dass G durch die Entwicklung G(r, r

) = 2

∞

X

n=1

g

(y, y

) sin(nπx) sin(nπx

) gegeben ist, wobei g

(y, y

) = g

(y

, y) der Gleichung

∂

∂y

− π

n

g

(y, y

) = −4πδ(y − y

) (1)

mit g

(0, y

) = g

(1, y

) = 0 gen¨ ugt. Hinweis: Beachten Sie die Vollst¨ andigkeitsrelation (0 < x, x

< 1) 2

∞

X

n=1

sin(πnx) sin(πnx

) = δ(x − x

)

(2 Punkte) b) Stellen Sie g

(y, y

) f¨ ur y > y

bzw. y < y

als geeignete Linearkombinationen von sinh(nπy) und sinh[nπ(1 − y)]

dar, so dass (1) f¨ ur y 6= y

unter den gegebenen Randbedingungen erf¨ ullt ist. Bestimmen Sie g

(y, y

) nun aus (i) der Stetigkeit und (ii) dem Sprung der Ableitung von g

bei y = y

, damit auch die δ-Funktion in (1) korrekt ber¨ ucksichtigt ist. Zeigen Sie damit die folgende Summendarstellung der Green’schen Funktion:

G(r, r

) =

∞

X

n=1

8

n sinh(nπ) sinh(nπy

) sinh[nπ(1 − y

)] sin(nπx) sin(nπx

)

1

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 4 ¨

wobei y

= min(y, y

) und y

= max(y, y

). Diskutieren Sie das Konvergenzverhalten dieser Reihe, indem Sie

g

(y, y

) f¨ ur n → ∞ berechnen. (4 Punkte)

c) Es sei nun eine Punktladung Q am Ort r

= (1/2, 1/2) gegeben, und der umgebende Leiter sei geerdet. Geben Sie einen Ausdruck f¨ ur das elektrostatische Potential ϕ(r) im Bereich von A mit 0 < x < 1/2 und 0 < y < 1/2 an. Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien f¨ ur x, y 1. (4 Punkte)

Aufgabe 10: Geladene Hohlkugel mit entfernter Kugelkappe 10 Punkte Auf der Oberfl¨ ache einer Hohlkugel mit Radius R, aus der am Nordpol eine durch den ¨ Offnungswinkel θ = α defi- nierte Kugelkappe geschnitten wurde, befinde sich eine homogen verteilte Ladung der Dichte Q/(4πR

). Es bietet sich an, Kugelkoordinaten zu verwenden, wobei das Potential aus Symmetriegr¨ unden nicht von der 2π-periodischen Winkelvariablen φ abh¨ angt.

a) Verwenden Sie den φ-unabh¨ angigen Ansatz

ϕ(r < R, θ) =

∞

X

l=0

A

(r/R)

P

(cos θ)

ϕ(r > R, θ) =

∞

X

l=0

B

(R/r)

P

(cos θ)

mit Koeffizienten A

und B

. Die Legendre-Polynome P

(x) wurden in der Vorlesung definiert. Zeigen Sie, dass das Potential f¨ ur r < R gegeben ist durch

ϕ(r, θ) = Q 2R

∞

X

l=0

P

(cos α) − P

(cos α)

2l + 1 P

(cos θ) r

R

mit P

(x) ≡ −1. Hinweis: Folgende Relationen der Legendre-Polynome k¨ onnten hilfreich sein:

Z

−1

dxP

(x)P

(x) = 2

2l + 1 δ

, P

(x) = 1 2l + 1

dP

dx − dP

dx

(4 Punkte) b) Wie lautet das Potential f¨ ur r > R? Vereinfachen Sie das Resultat f¨ ur r → ∞ und interpretieren Sie das Ergebnis

physikalisch! (3 Punkte)

c) Bestimmen Sie das elektrische Feld (Richtung und Betrag) im Mittelpunkt der Kugel! (3 Punkte)

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