Aufgabe H5.2: Potentialspitze (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Bj¨¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H5

Aufgabe H5.1: Allgemeine Unsch¨ arfetheorem (10 Punkte)

In der Vorlesung haben wir gesehen, dass quantenmechanische Operatoren ˆA und ˆB, die keine ex- plizite Zeitableitung beinhalten sollen, i.A. nicht vertauschbar sind, sondern dass das allgemeine Un- sch¨arfetheorem

|∆A||∆B| ≥ 1

2|hψ|[ ˆA,B]|ˆ ψi|

gilt, wobei [ ˆA,B] der Kommutator der beiden Operatoren ist. Wir wollen dieses Theorem hier be-ˆ weisen. Dazu gehen wir wie folgt vor:

(a) Zeigen Sie zun¨achst, dass die Streuung (∆A)²=h(A− hAi)²ieiner Observablen A durch (∆A)² = hψ|ˆa²|ψi gegeben ist, wobei der Operator ˆadurch ˆa= ˆA− hψ|A|ˆ ψi definiert ist.

(b) Leiten Sie nun aus der(Cauchy-)Schwarz’schen Ungleichung

|c| |d| ≥ |c·d|

die Beziehung

|∆A||∆B| ≥ |hψ|ˆaˆb|ψi|

ab, wobei ˆbanalog zu ˆadefiniert ist.

(c) Zeigen Sie dar¨uber hinaus, dass die Beziehung hψ|ˆaˆb|ψi= 1

2hψ|{ˆa,ˆb}|ψi+ 1

2hψ|[ˆa,ˆb]|ψi

gilt. Hier bezeichnet {ˆa,ˆb}:= ˆaˆb+ ˆbˆaden Antikommutator zweier Operatoren.

(d) F¨ur die zwei hermiteschen Operatoren ˆC und ˆD l¨asst sich zeigen (optional!), dass in dem Ausdruck

CˆDˆ = 1 2

CˆDˆ + ˆDCˆ +1

2

CˆDˆ −DˆCˆ

die erste Klammer reell und die zweite rein imagin¨ar ist. Wie k¨onnen Sie damit und mit Hilfe des Ergebnisses aus (c) folgern, dass |hψ|ˆaˆb|ψi| ≥ ¹₂|hψ|[ˆa,ˆb]|ψi|gilt?

(e) Kombinieren Sie nun diese Ergebnisse, um die oben angegebene Form des allgemeinen Unsch¨arfetheorems zu folgern.

(f) Zeigen Sie, welche spezielle Unsch¨arferelation sich f¨ur |∆x_i| |∆p_j| ergibt.

Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921), nach dem die hier verwendete Ungle- ichung, die er 1885 formulierte, benannt ist, war Mathematiker und hat sich ausf¨uhrlich mit so genannten Minimalfl¨achen befasst.

Aufgabe H5.2: Potentialspitze (10 Punkte)

Eine der wenigen elementar berechenbaren L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung ergibt sich f¨ur eine (negative) ’Potentialspitze’ V(x) =−V₀δ(x) mit V₀=const >0.

(a) Berechnen Sie die L¨osungen der station¨aren Schr¨odinger-Gleichung ˆHψ(x) =Eψ(x) f¨ur gebundene Zust¨ande mitE <0. Schreiben Sie dazu diese Gleichung in der Form

∂²ψ

∂x² −k²ψ= 0 , k=const

1

und setzen Sie f¨ur die normierbare Wellenfunktion

ψ(x <0) = α exp{+kx}+β exp{−kx}

ψ(x >0) = γ exp{+kx}+δ exp{−kx}

an. Nutzen Sie dann die Stetigkeitsbedingung ψ(0+) := lim

x→0+ ψ(x) = lim

x→0− ψ(x) =:ψ(0−)

aus, um die Normierungskonstante zu bestimmen. Skizzieren Sie eine L¨osungψ(x).

(b) Aus der Schr¨odinger-Gleichung ergibt sich, dass

−~² 2m

ψ⁰(0+)−ψ⁰(0−) −V0ψ(0) = 0

gilt, wobei ψ⁰(x) = dψ/dx. Verwenden Sie diese Beziehung, um die Energien der gebundenen Zust¨ande zu berechnen. Wieviele gebundene Zust¨ande gibt es?

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