Aufgabe H1.1: Kombinatorik (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Bj¨¨ orn Eichmann

Hausaufgaben¨ ubung H1

Organisatorisches:

Die Hausaufgaben werden jeden Dienstag in der Vorlesung und auf der Homepage

www.pat.rub.de/lectures/ss19 qm stat herausgegeben. Die Abgabe erfolgt bis 12:00 und ist auch zu Zweit m¨oglich. Die L¨osungen m¨ussen mit dem Namen, Matrikelnummer und der zugeh¨origen Ubungsgruppe identifiziert werden. Jeder Aufgabenteil soll separat und jeweils in gebundener Form¨ abgegeben werden.

Aufgabe H1.1: Kombinatorik (10 Punkte)

In der Vorlesung wurde folgender Zusammenhang dargestellt:

W ∝Z =

N +P −1 P

(1) (a) Zeigen Sie diese Relation allgemein f¨ur P Ziehungen aus N Elementen mit zur¨ucklegen und ohne

dass die Reihenfolge eine Rolle spielt.

(b) Sie haben einen Beh¨alter mit 5 unterschiedlichen Kugeln. Wie viele Kombinationen sind m¨oglich, wenn Sie 5 mal ziehen und die jeweilige Kugel jedes Mal zur¨ucklegen? Die Reihenfolge spielt hierbei keine Rolle

(c) Machen Sie den gleichen Versuch, legen Sie dieses Mal aber die Kugeln nicht zur¨uck. Wie viele M¨oglichkeiten gibt es jetzt?

Aufgabe H1.2: Strahlungsgesetz (10 Punkte)

In der Vorlesung haben wir die um die vorletzte Jahrhundertwende bekannten Strahlungsgesetze besprochen – insbesondere das Planck’sche Strahlungsgesetz, mit dem die Quantentheorie ihren Anfang nahm. W¨ahrend wir erst im zweiten Teil der Vorlesung genauer auf thermodynamische Aspekte eingehen werden, seien hier zun¨achst am Beispiel der klassischen Strahlungsgesetze einige allgemeine Eigenschaften behandelt.

(a) Zeigen Sie, dass sowohl das Wien’sche Gesetz als auch das Rayleigh-Jeans Gesetz mit dem allgemeineren Wien’schen Verschiebungsgesetz vertr¨aglich sind.

(b) Zeigen Sie, dass aus dem Planck’schen Strahlungsgesetz im Limit kleiner und großer Frequenzen das Rayleigh-Jeans und das Wien’sche Gesetz folgen.

(c) Leiten Sie aus dem Wien’schen Verschiebungsgesetz das Stefan-Boltzmann Gesetz her. Nutzen Sie die Beziehung

Z ∞

0

xⁿexp(−a·x) =a⁻ⁿ⁻¹Γ(n+ 1), (2) wobei Γ(x) die Gamma-funktion darstellt und (x−1)! entspricht.

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