Aufgabe 10.1 (10 Punkte)

(1)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra – Blatt 10

Abgabe der L¨ osungen bis zum 11.06.2019, 10:30 Uhr in den daf¨ ur vorgesehenen K¨ asten Bitte geben Sie L¨ osungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 10.1 (10 Punkte)

Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Die Ordnung von g ist definiert als ord ( g ) = min ({∞} ∪ { k ∈ N ∣ g

^k

= 1 }) .

(a) Zeigen Sie: Die Abbildung Z → G, k ↦ g

^k

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild eine abelsche Untergruppe ⟨g⟩ = {g

^k

∣ k ∈ Z } von G mit ∣⟨g⟩∣ = ord(g) darstellt.

Bemerkung: Die Gruppe ⟨g⟩ heißt die von g erzeugte Untergruppe. Ist G = ⟨g⟩ und m = ord ( g ) = ∣ G ∣ , so sagt man, G sei zyklisch – engl. cyclic – der Ordnung m, und schreibt daf¨ ur abk¨ urzend G ≅ C

_m

. Insbesondere ist Z = ⟨1⟩ ≅ C

_∞

.

¹

(b) Folgern Sie: Ist G endlich, so hat jedes x ∈ G endliche Ordnung und die Elementord- nung ord(x) teilt die Gruppenordnung ∣G∣.

(c) Sei n = 0, falls ord ( g ) = ∞ , und n = ord ( g ) sonst. Zeigen Sie: Der in (a) betrachtete Homomorphismus vermittelt einen Isomorphismus von der Gruppe Z /n Z auf ⟨g⟩.

(d) Sei nun G = ⟨ g ⟩ ≅ C

_m

zyklisch der Ordnung m < ∞ . Zeigen Sie: F¨ ur jedes k ∈ Z ist ord(g

^k

) = m/ggT(m, k); insbesondere gilt ⟨g

^k

⟩ = G genau dann, wenn ggT(m, k) = 1 ist.

(e) Beweisen Sie: Zu jedem positiven Teiler d ∣ m gibt es genau eine Untergruppe G

_d

≤ G der Ordnung d, und dies sind alle Untergruppen von G. Weiter gelten f¨ ur d, t ∣ m dann:

G

_d

= ⟨g

^m^/^d

⟩, und G

_t

≤ G

_d

genau dann, wenn t ∣ d. Zeichnen Sie ein Hasse-Diagramm, das alle Untergruppen von G und die jeweiligen Inklusionen f¨ ur m = 60 zeigt.

Aufgabe 10.2 (6 Punkte)

Sei m ∈ N und ζ = e

^2πi^/^m

∈ C . Das m-te Kreisteilungspolynom ist definiert als Φ

_m

= ∏

0<k≤m ggT(k,m)=1

(X − ζ

^k

) ∈ C [X].

Die Eulersche Phi-Funktion ϕ ∶ N → N ist gegeben durch ϕ(n) = ∣( Z /n Z )

^∗

∣. Zeigen Sie:

(a) Die multiplikative Gruppe C

^∗

besitzt genau eine Untergruppe der Ordnung m, n¨ amlich die zyklische Gruppe {z ∈ C ∣ z

^m

= 1} = ⟨ζ⟩ ≤ C

^∗

. Die Nullstellen von Φ

_m

sind genau die primitiven m-ten Einheitswurzeln, d. h. die Elemente der Ordnung m in C

^∗

. Das Polynom Φ

m

ist normiert vom Grad ϕ ( m ) und besitzt keine mehrfachen Nullstellen.

(b) X

^m

− 1 = ∏

_d_∣_m

Φ

_d

(X) , wobei sich das Produkt – wie auch in allen ¨ ahnlichen Summen und Produkten in den nachfolgenden Aufgaben – ¨ uber alle positiven Teiler erstreckt;

insbesondere ist m = ∑

_d_∣_m

ϕ(d).

(c) Φ

m

∈ Z [ X ] . (Hinweis: Verwenden Sie (b) und das Gaußsche Lemma.)

Bitte wenden!

1Obacht: Auf der linken Seite wird situationsbedingt f¨urZdie additive Schreibweise verwendet!

S. 1/2

(2)

Algebra – Blatt 10 S. 2/2

Aufgabe 10.3

Die M¨ obius-Funktion µ ∶ N → {0, 1, −1} ist gegeben durch µ(n) =

⎧ ⎪

⎪

⎨

⎪ ⎪

⎩

(−1)

^r

falls n = p

₁

⋯p

_r

quadratfrei mit r ≥ 0 p.w. versch. Primfaktoren p

_i

ist,

0 sonst.

(a) Sei m ∈ N mit Primfaktorzerlegung m = ∏

^r_i₌₁

p

_i^eⁱ

(also r ≥ 0, und e

_i

≥ 1 f¨ ur 1 ≤ i ≤ r), und m ̃ = ∏

^r_i₌₁

p

_i

der quadratfreie Anteil von m. Zeigen Sie: ∑

_d_∣_m

µ(d) = ∑

_d_{∣ ̃}_m

µ(d) ist gleich 1, falls m = ̃ m = 1 ist, und 0 in allen anderen F¨ allen.

(b) Leiten Sie die klassische M¨ obius-Inversionsformel her: Sei G eine multiplikativ ge- schriebene abelsche Gruppe, und seien f, F ∶ N → G Abbildungen mit F (n) = ∏

_d_∣_n

f(d) f¨ ur n ∈ N . Dann gilt

f (n) = ∏

d∣n

F (n/d)

^µ⁽^d⁾

f¨ ur alle n ∈ N .

(Hinweis: Zeigen Sie ∏

_d_∣_n

F (n/d)

^µ⁽^d⁾

= ∏

_t_∣_n

f(t)

^∑^d∣(n/t)^µ⁽^d⁾

und wenden Sie (a) an.) (c) Formulieren Sie die entsprechende M¨ obius-Inversionsformel f¨ ur Abbildungen von N in eine additiv geschriebene abelsche Gruppe G.

(d) Sei m ∈ N . Beweisen Sie mittels M¨ obius-Inversion die Formeln:

ϕ(m) = ∑

d∣m

µ(d)(m/d) und Φ

_m

= ∏

d∣m

(X

ⁿ^/^d

− 1)

^µ⁽^d⁾

f¨ ur die Eulersche Phi-Funktion in Z bzw. das Kreisteilungspolynom in Q (X)

^∗

. (e) Berechnen Sie (i) ϕ(12) und Φ

₁₂

sowie (ii) ϕ(300) und Φ

₃₀₀

.

(Hinweis: Verwenden Sie (d). F¨ ur (ii) ist es hilfreich, Ausdr¨ ucke der Form (X

^k

− 1)

⁻¹

als formale Potenzreihen zu entwickeln; da Sie den Grad von Φ

₃₀₀

kennen, d¨ urfen Sie in dem Potenzreihenring Q [[X]] dann modulo einer geeigneten Potenz von X rechnen.)

Aufgabe 10.4

Sei K ein K¨ orper, und f ∈ K [X]. Ist L ein Erweiterungsk¨ orper von K und α ∈ L mit f ( α ) = 0, so gilt ( X − α ) ∣ f in L [ X ] ; die Nullstelle α heißt einfach, falls ( X − α )

²

∤ f. Ein irreduzibles Polynom g ∈ K[X] heißt separabel, falls g in beliebigen Erweiterungsk¨ orpern von K ausschließlich einfache Nullstellen hat; ansonsten heißt g inseparabel.

²

Die formale Ableitung des Polynoms f = ∑

ⁿ_i₌₀

f

_i

X

ⁱ

ist das Polynom f

^′

= ∑

ⁿ_i₌₁

if

_i

X

ⁱ⁻¹

∈ K [ X ] .

(a) Seien a ∈ K und g, h ∈ K[X]. ¨ Uberpr¨ ufen Sie, daß zwei vertraute Regeln gelten:

(ag + h)

^′

= ag

^′

+ h

^′

und (gh)

^′

= g

^′

h + gh

^′

.

(b) Sei L ein Erweiterungsk¨ orper von K und α ∈ L mit f (α) = 0. Dann gilt: α ist eine einfache Nullstelle von f genau dann, wenn f

^′

(α) / = 0.

(c) Ein irreduzible Polynom g ist separabel genau dann, wenn ggT(g, g

^′

) = 1 ist. Folglich ist g separabel genau dann, wenn g

^′

= / 0 ist.

(d) Ist char(K) = 0, so ist jedes irreduzible Polynom g ∈ K[X] separabel. Bestimmen Sie, f¨ ur p ∈ P , ein inseparables irreduzibles Polynom (etwa vom Grad p) in dem Polynomring F

p

(t)[X] , wobei den K¨ orper F

p

(t) der rationalen Funktionen ¨ uber F

p

bezeichnet.

(e) Sei ggT(f, f

^′

) = 1. Dann zerf¨ allt f in K[X] in ein Produkt von paarweise verschiede- nen separablen irreduziblen Polynomen.

2F¨ur beliebige Polynome ist die Begriffsbildung nicht einheitlich. Neben der naheliegenden direkten Verallgemeinerung, wird manchmal nur eine schwache Form von Separabilit¨at gefordert: Ein Polynom h∈K[X]heißt dann schonseparabel uber¨ K, falls jeder irreduzible Faktor vonhinK[X]separabel ist.