Aufgabe 1 10 Punkte

(1)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BB-WMT-P11–080614

Studiengang Betriebswirtschaft

Modul Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Kennzeichen BB-WMT-P11–080614

Datum 14.06.2008

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzu- gehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind.

Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht be- standen und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel:

Anzahl Aufgaben: – 7 –

Höchstpunktzahl: – 100 –

HFH-Taschenrechner Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-P11–080614 Seite 1/2

Aufgabe 1 10 Punkte

Bestimmen Sie die 1. Ableitung folgender Funktionen nach der Variablen x:

1.1

( )

^ln₂

x x x

f = , ^D⁼

{

^x^∈^R ^x^>⁰

}

^. ⁶

1.2 ^f

( )

^x ⁼^e^x²⁻²^,^D⁼^R^. ⁴

Aufgabe 2 15 Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion

2 2) e 1 ( )

(x = − ⁻^x⁺

f , D=R.

Welche Art von Extremwerten liegt vor?

Aufgabe 3 9 Punkte

Gegeben seien die beiden Matrizen



 



=

1 1 2

1 0

A 1 und 



 



= 2 1

0 B 1 .

Prüfen Sie, ob die Matrizenoperation (BA)^T definiert ist und berechnen Sie gegebenenfalls das Ergebnis.

Aufgabe 4 16 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des GAUß-Algorithmus alle Lösungen des linearen Gleichungssystems Axv=br mit

















−

=

1 0 1 4

1 2 1 2

1 1 1 1

A und

















−

= 7

1 4 bv

.

Aufgabe 5 9 Punkte

Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals

x x x 5 d 5

4

1

∫

^_^ ⁺ ^_^ ^.

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-P11–080614 Seite 2/2

Aufgabe 6 16 Punkte

Die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f(x) und der x-Achse besitzt im Intervall ^I ⁼

[ ]

^a^,^b

einen Schwerpunkt S. Die y-Koordinate dieses Schwerpunktes lässt sich mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

∫

= _b

a b

a

x x f

x x f y

d ) (

d )) ( 2 (

1 ₂

S , a<b.

Berechnen Sie die y-Koordinate des Schwerpunktes S der Fläche, die durch den Graphen der Funktion 4 2

)

(x x

f = − und die x-Achse begrenzt wird. Als Intervallgrenzen a und b sollen die Nullstellen der Funktion )f(x angenommen werden.

Aufgabe 7 25 Punkte

Gegeben ist die Funktion z= f(x,y)=−x³+6xy−y³ mit ^D⁼

{

⁽^x^,^y⁾ ^x^∈^R^,^y^∈^R

}

^.

Untersuchen Sie diese Funktion auf Extrema. Welche Art von Extremwerten liegt vor?

(4)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BB-WMT-P11 – 080614

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 14.06.2008

Betriebswirtschaft BB-WMT-P11 – 080614

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lö- sungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwi- schenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

02. Juli 2008

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt ein- zuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unver- züglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / 35094-311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 1/7

Bitte beachten Sie:

Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Auf- gabe zu vergeben sind.

Lösung 1

vgl. SB 5, Abschn. 2

10 Punkte

1.1

( )

^ln₂

x x x

f =

Quotientenregel:

x x g x x

g 1

) (

; ln )

( = ′ = 1

x x h x

x

h( ) = ² ; ′( ) = 2 1

4 2 2 ln 1

)

( x

x x x x

x

f ⋅ − ⋅

′ = 2

4

ln 2

x x x x− ⋅

= 1 2₃ln

x

− x

= 2

1.2 ^f

( )

^x ⁼^e^x⁻²²

Kettenregel:

2 ) 1 ( 2 ;

) 2

( = x− f′ x = x

f 1

f

f g f

f

g( )=e ; ′( )=e 1

2 2

2 e 1 2 e 1 ) ( ) (

−

⋅

=

⋅

′ =

′ ⋅

′=

x

x f

f f g

y 2

(6)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 2/7

Lösung 2

vgl. SB 5, Abschn. 3.3

15 Punkte

2 2) e 1 ( )

(x = − ⁻^x⁺ f

Extremwerte:

Bestimmung der Ableitungen:

4 2 2 2

2) 1 2 e e

e 1 ( )

(x = − ⁻^x⁺ = − ⋅ ⁻^x⁺ + ⁻ ^x⁺

f (Anwendung binomische Formel) 2

4 2 2

4 2

2 ( 1) e ( 2) 2 e 2 e

e 2 )

( =− ⋅ ⁻ ⁺ ⋅ − + ⁻ ⁺ ⋅ − = ⋅ ⁻ ⁺ − ⋅ ⁻ ⁺

′ x ^x ^x ^x ^x

f (Kettenregel) 2

4 2 2 4

2

2 ( 1) 2e ( 2) 2e 4e e

2 )

( = ⁻ ⁺ ⋅ − − ⁻ ⁺ ⋅ − =− ⁻ ⁺ + ⁻ ⁺

′′ x ^x ^x ^x ^x

f (Kettenregel) 2

Alternativ kann auch direkt die Kettenregel auf die Funktion f(x) angewendet werden, was zum gleichen Ergebnis führt. Hier sind dann insgesamt 6 Punkte zu vergeben.

Notwendige Bedingung für Extremum ist f′(x)=0 (Formelsammlung 19.1). 1

4 2 2 2 e e

2 )

( = ⋅ ⁻ ⁺ − ⋅ ⁻ ⁺

′ x ^x ^x

f

0 e

2 e

2⋅ ⁻^x⁺² − ⋅ ⁻²^x⁺⁴ = 1

4 2 2 e

e⁻^x⁺ = ⁻ ^x⁺ 1

4 2 2=− + +

−x x 1

=2

x (mögliches Extremum) 1

Hinreichende Bedingung für Extremum f′(x)=0 und f ′′(x)≠0 (Formelsammlung 19.1). 1

4 2 2 4e e

2 )

( =− ⁻ ⁺ + ⁻ ⁺

′′ x ^x ^x

f

0 2 e 4 e 2 ) 2

( =− ⁰ + ⁰= >

′′

f 2

Da 0f ′′(2)> liegt bei x=2 ein lokales Minimum vor. 1

(7)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 3/7

Lösung 3

vgl. SB 6, Abschn. 1.1/1.6

9 Punkte

siehe ÜA 1.2 g):

)T

(BA ist definiert, wenn BA definiert ist. 1

BA ist definiert, da die Anzahl ( 2= ) der Spalten von B mit der Anzahl ( 2= ) der Zeilen von A übereinstimmt.

1 Anwendung des FALKschen Schemas:

23 22 21

13 12 11

2 1

0 1

1 1 2

1 0 1

c c c

c c

c 1

3 2 1 1 2 1 1

2 2 0 1 2 0 1

5 4 1 2 2 1 1

1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 2 0 1 1

23 22 21 13 12 11

= +

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

c c c c c c

3



 



=

3 2 5

1 0

BA 1 . 1

Vertauschung der Zeilen und Spalten liefert

( )















= 3 1

2 0

5 1

BAT . 2

(8)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 4/7

Lösung 4

vgl. SB 6, Abschn. 2.2/2.3

16 Punkte

Das LGS ist unterbestimmt. Es gibt 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten, mindestens 1 Variable ist frei wählbar.

Bilden der erweiterten Matrix ( ,br) A :

















−

7 1 4 1 0 1 4

1 2 1 2

1 1 1 1

1

Umformungen der erweiterten Matrix ( ,br) A :

⇒

−

 −















−

4I III

2I II 7 1 4 1 0 1 4

1 2 1 2

1 1 1 1

















−

9 9 4 5 4 3 0

3 4 3 0

1 1 1 1

4

⇒

 −















−

II III 9 9 4 5 4 3 0

3 4 3 0

1 1 1 1

















−

0 9 4 2 0 0 0

3 4 3 0

1 1 1 1

2

Umgewandelte LGS besitzt „Trapezform“, Lösungsfall: r<n (Formelsammlung 13.2).

Aus der dritten Zeile folgt unmittelbar: x₄ =0. 1

Aus der zweiten Zeile folgt mit x₄=0:

3 2

3

2 3

3 4 9

4

3x − x =− ⇒ x =− + x . 2

Aus der ersten Zeile folgt mit x₄=0:

3 4

2

1 −x +x =

x . 1

Setzt man hier für x₂ das aus der zweiten Zeile gewonnene Ergebnis ein, so erhält man:

3 4

3 4 ₃ ₃

1 + =



 



− +

− x x

x . 1

Auflösen nach x₁ liefert:

3

1 3

1 1x

x = + . 2

Als allgemeine Lösung erhält man somit, falls man x₃ =s (1) setzt: 1















 +

− +

=

0 3 3 4

3 1 1

s s s

xr , s∈R. 1

(9)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 5/7

Lösung 5

vgl. SB 7, Abschn. 1.2, 2.2 und 3.2

9 Punkte

x x x 5 d 5

4

1

∫

^_^ ⁺ ^_^















 +

= +

=

+ x x

x x

x x 1

5 5 5 5

5 ²

1 2

1

∫

_^











 +

=



 



 +

4 1

2 4 1

1

1 d 5

5 d

5 x

x x x x

x 1

4

1 2

3

3 ln 5 2















 +

⋅

= x x 2

4 1 3 ln 3

5 2 



 



 +

⋅

= x x 1



 



 + −

⋅

=



 



 



 



 +

−



 



 +

⋅

= 3

4 2 3 ln 5 16 1 3 ln 4 2 ln 3 64

5 2 3

26 , 30 4 ln 3 5 4 70 3 ln

5 14 = + ≈



 



 +

⋅

= 1

Lösung 6

vgl. SB 7, Abschn. 3.2/3.3 und 4.3

16 Punkte

4 2

)

(x x

f = −

Bestimmung der Nullstellen (Integrationsgrenzen):

Aus 04−x² = folgt unmittelbar x₁=−2 und x₂ =2. 2

Schwerpunkt:

∫

= _b

a b

a

x x f

x x f y

d ) (

d )) ( 2 (

1 ₂

S , a<b.

(10)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 6/7

Berechnung des Integrals im Nenner:

−

∫

−









 −

=

−

2 2

2

2 2 3

4 3 d ) 4

( x

x x

x 2

3 32 3 16 16 3) 8 8 ( 3) 8 8

( − − − + = − =

= 3

Berechnung des Integrals im Zähler:

∫ ∫

− −

+

−

=

−

2 2

4 2 2

2) d (16 8 )d

4

( x x x x x 1

2

2 3 5

5 3

16 8

−









 − +

= x

x

x 3



 



− + −

−



 



 − +

= 5

32 3 32 64 5

32 3

32 64 2

15 512 15 192 15 640 15 960 5 64 3

64−128+ = − + =

= 2

5 8 3 32 15 256

3 32

15 512 2 1

S ⋅ = =

=

y 1

Lösung 7

vgl. SB 9, Abschn. 4.1

25 Punkte

siehe ÜA 4.2:

3 3 6 )

,

(x y x xy y

f

z = =− + − , ^D⁼

{ ( )

^x^, ^y ^x^∈^R^, ^y^∈^R

}

Bestimmung der partiellen Ableitungen 1. Ordnung:

y x

f_x =−3 ²+6 1

3 2

6x y

f_y = − 1

Nullsetzen der partiellen Ableitungen liefert das Gleichungssystem:

(II) (I) .

0 3

6

0 6

3

2 2

=

−

= +

−

y x

y

x 2

Aus (I) folgt:

2 2

2 3 1

6y = x ⇒ y = x . 2

(11)

BB-WMT-P11 – 080614 Seite 7/7

Einsetzen in (II) ergibt:

. 4 0

6 3 4 0

6 3 2 0

3 1

6 ⁴ ³

2 2 =



 



 −

= ⇒

⇒ −

=



 



⋅

− x x x x x

x 3

Somit ist x₁ =0 und 1

2 8 8

4 6 0 3

4

6−3x₂³= ⇒ x₂³= ⇒ x₂³ = ⇒ x₂=³ = . 3

Mit 0x₁ = folgt aus ² 2 1x

y= somit y₁=0. 1

Mit 2x₂ = folgt aus ² 2 1 x

y= somit y₂ =2. 1

Die stationären Punkte sind somit P₁(0,0) und P₂(2,2). 2 Es ist die hinreichende Bedingung f_xx(x, y)⋅f_yy(x, y)− f_xy(x,y)² >0 zu überprüfen. 1 Bildung der partiellen Ableitungen 2. Ordnung:

x

f_xx =−6 , f_yy =−6y , f_xy = f_yx=6. 3

Betrachtung von P₁(0,0):

. 0 36 6

0 0 ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0

( ⋅ _yy − _xy ² = ⋅ − ² =− <

xx f f

f 1

Also liegt in P₁(0,0) ein Sattelpunkt von f(x, y) vor. 1 Betrachtung von P₂(2,2):

. 0 108 6 ) 12 ( ) 12 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2

( ⋅ yy − xy ² = − ⋅ − − ²= >

xx f f

f 1

Da die hinreichende Bedingung erfüllt ist und fxx(2,2)=−12<0 gilt, liegt in P₂(2,2) ein

(lokales) Maximum von f(x, y) vor. 1