Aufgabe 1 15 Punkte

(1)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsrecht WR-WMT-P11–080628

Studiengang Wirtschaftsrecht

Modul Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Kennzeichen WR-WMT-P11–080628

Datum 28.06.2008

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzu- gehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind.

Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht be- standen und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Anzahl Aufgaben: – 6 –

Höchstpunktzahl: – 100 –

HFH-Taschenrechner Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsrecht HFH Hamburger Fern-Hochschule

WR-WMT-P11–080628 Seite 1/2

Aufgabe 1 15 Punkte

Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichung 1

3

3x− x+ =

(

^mit

{

^x^∈^R ^x^≥⁻³

} )

^.

Überprüfen Sie die Lösungen mit Hilfe einer Probe.

Aufgabe 2 15 Punkte

Von einer arithmetischen Zahlenfolge

( )

an sind die folgende Beziehungen zwischen einzelnen Gliedern der Zahlenfolge bekannt:

8 1

5+a = a

6 0

2 +a =

a .

Bestimmen Sie das Anfangsglied a₁ der Zahlenfolge.

Aufgabe 3 22 Punkte

Herr Mustermann zahlt beginnend mit dem Jahre 2001 jährlich nachschüssig folgende Beiträge in seine Le- bensversicherung:

• 2001 – 2005: 5.000,00 €

• 2006 – 2010: 10.000,00 €

• 2011 – 2015: 20.000,00 €

• ab 2016: keine Beiträge.

Die Lebensversicherung wird im Erlebensfall am Ende des Jahres 2020 ausbezahlt. Die Verzinsung des ein- bezahlten Kapitals über die Laufzeit der Lebensversicherung beträgt 7 % p.a. (Zinseszins).

3.1 Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag der Lebensversicherung? 16

3.2 Welche konstanten jährliche nachschüssigen Beiträge zwischen 2001 und 2015 hätten zum gleichen Auszahlungsbetrag geführt?

6

Hinweis:

Sollten Sie bei Teilaufgabe 3.1 keine Lösung erhalten, so gehen Sie bitte bei der Lösung der Teilaufgabe 3.2 von einem Auszahlungsbetrag 300.000,00 € aus.

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsrecht HFH Hamburger Fern-Hochschule

WR-WMT-P11–080628 Seite 2/2

Aufgabe 4 8 Punkte

Ein Kredit über 900.000,00 € wird in gleich großen Tilgungsraten zurückgezahlt.

Der Zinssatz beträgt 10 % p.a. Die Zinsen im elften Jahr betragen 30.000,00 €.

Berechnen Sie die Laufzeit des Kredites.

Aufgabe 5 20 Punkte

Ein Brückenträger in Form einer Parabel besitzt eine Spannweite von 200 m. Die Fahrbahn liegt 10 m über den Auflegern und 20 m unterhalb des Scheitelpunktes des Brückenträgers (vgl. Bild).

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) des Brückenträgers und die Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger.

Fassen Sie hierzu die Linie zwischen den Auflagepunkten auf den Auflegern als x-Achse auf und legen Sie die y-Achse durch den Scheitelpunkt des Brückenträgers (vgl. Bild).

Hinweis:

Gehen Sie bei der Aufgabenbearbeitung von der allgemeinen Form f(x)=ax² +bx+c einer Parabel (quadratischen Gleichung) aus.

Aufgabe 6 20 Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen und die Extremwerte der Funktion

2 2) e 1 ( )

(x = − ⁻^x⁺

f , D=R.

Welche Art von Extremwerten liegt vor?

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsrecht WR-WMT-P11 – 080628

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 28.06.2008

Wirtschaftsrecht WR-WMT-P11 – 080628

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lö- sungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwi- schenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

16. Juli 2008

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt ein- zuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unver- züglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / 35094-311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsrecht HFH Hamburger Fern-Hochschule

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 1/7

Bitte beachten Sie:

Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Auf- gabe zu vergeben sind.

Lösung 1

vgl. SB 1, Abschn. 1.4.5

15 Punkte

1 3 3x− x+ =

x x+3 =1−3

− ¹

2 2 (1 3 ) )

3

(− x+ = − x 1

9 2

6 1

3 x x

x+ = − + 1

0 2 7

9x²− x− = 1

9 0 2 9

2−7x− =

x 1

Anwendung der p-q-Formel (Formelsammlung 7.4):

p q

x p  −



 



± 

−

=

2 2

,

1 2 2 1

18 11 18

7 324 121 18

7 324

72 324

49 18

7 9 2 18

7 18

7 ²

2 ,

1  + = ± + = ± = ±



 



± 

=

x 3

1=1 x ,

9

2 =−2

x 2

Probe:

Für 1x₁= folgt 3⋅1− 1+3 =3−2=1 (wahr). 1

Für 9

2 =−2

x folgt 1

3 7 9 25 3 3 2 9 ) 2 9 ( 2

3⋅ − − − + =− − =− ≠ (Widerspruch). 2

Also gibt es nur die eine Lösung x₁ =1. 1

(6)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 2/7

Lösung 2

vgl. SB 1, Abschn. 2.2

15 Punkte

Bildungsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlung 6.2):

d k a

a_k = ₁+( −1) mit k∈N⁺,d≠0. ₁

Damit ist d a a

d a a

7 4

1 8

1 5

+

= +

= 2

und

.

1 5

6 1 2

d a a

+

= +

= 2

Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt 1 11 2 ) 7 (

4 ₁ ₁

1 8

5+a =a + d+ a + d = a + d =

a (I) 2

0 6 2 ) 5

( ₁ ₁

1 6

2 +a =a +d + a + d = a + d=

a . (II) 2

Aus (II) folgt

2 3 6 0

6

2 ₁ ₁ a¹

d a

d d

a + = ⇒ =− ⇒ =− . 2

Einsetzen in (I) liefert

5 3 3 1 5

3 1 11 3 6

3 1 2 11

1 1 1 1

1 1

−

=

−

=

−

=

−

a a a a a a

4

Das Anfangsglied der Zahlenfolge ist

5

1=−3

a .

(7)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 3/7

Lösung 3

vgl. SB 2, Abschn. 1.3/2.2 und SB 3, Abschn. 1.1

22 Punkte

3.1 2001 – 2005:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von 5.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q

R_n ⁿ (Formelsammlung 9.1). 1

Mit r=5.000,00 €, n=5 und q=1,07 folgt 70 , 753 . 07 28

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

5 ⁵

5= ⋅ − =

R €. 2

Verzinsung des erhaltenen Rentenendwertes bis einschließlich 2020 (15 Jahre):

n K qn

K = 0⋅ (Formelsammlung 8.2). 1

Mit 70K₀ =28.753, €, n=15 und q=1,07 folgt 36

, 332 . 79 07 , 1 70 , 753 .

28 ¹⁵

15= ⋅ =

K €. 2

2005 – 2010:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von 10.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q R

n

n .

Mit 00r=10.000, €, n=5 und q=1,07 folgt 39 , 507 . 07 57

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

10 ⁵

5= ⋅ − =

R € 2

n K qn

K = ₀⋅ .

Mit 39K₀ =57.507, €, n=10 und q=1,07 folgt 74

, 125 . 113 07

, 1 39 , 507 .

57 ¹⁰

10= ⋅ =

K €. 2

2011 – 2015:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlung von 20.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q

R_n ⁿ .

Mit 00r=20.000, €, n=5 und q=1,07 folgt 78 , 014 . 07 115

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

20 ⁵

5= ⋅ − =

R € 2

(8)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 4/7

n K qn

K = 0⋅ .

Mit 78K₀ =115.014, €, n=5 und q=1,07 folgt 18

, 314 . 161 07 , 1 78 , 014 .

115 ⁵

10= ⋅ =

K €. 2

Für den Auszahlungsbetrag folgt

28 , 772 . 353 18 , 314 . 161 74 , 125 . 113 36 , 332 .

5 79

10

15+ + = + + =

=K K K

K €. 2

3.2 Barwert der Verzinsung (bezogen auf das Jahr 2015):

qn

K₀ = K (Formelsammlung 8.2) 1

Mit 28K=353.772, €, n=5 und q=1,07 folgt 75

, 234 . 07 252

, 1

28 , 772 . 353

0 = 5 =

K €. 2

Der Barwert entspricht dem Rentenendwert einer nachschüssigen Renten mit Einzahlungen in den Jahren 2001 – 2015.

Für die Rentenrate folgt nach Formelsammlung 9.1:

1 ) 1 (

−

= ⁿ_n − q

q

r R . 1

Mit 75R₁₅=K₀ =252.234, €, n=15 und q=1,07 folgt 59

, 037 . 1 10

07 , 1

07 , 0 75 , 234 . 252

15 =

−

= ⋅

r €. 2

Hinweis:

Bei Verwendung von K=300.000,00€ ergibt sich eine Rate von r=8.511,90 €. Die Punkte sind entsprechend zu verteilen.

(9)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 5/7

Lösung 4

8 Punkte

Da gleich große Tilgungsraten vereinbart sind, handelt es sich um eine Ratentilgung. 1 Für die Zinsen in der j-ten Periode einer Ratentilgung gilt (Formelsammlung 10.1):

[

^S ^j ^T

]

ⁱ

Z_j = ₀ −( −1) ⋅ . 1

Umstellen nach der Tilgungsrate T ergibt:

i j

Z i

T S ^j

⋅

−

= ⋅

) 1 (

0 . 1

Mit 00S₀ =900.000, € , j=11 , Z₁₁=30.000,00€ und 0,1 100=

= p

i (p=10%) folgt 00

, 000 . 1 60

, 0 ) 1 11 (

00 , 000 . 30 1 , 0 00 , 000 .

900 =

⋅

−

= ⋅

T €. 2

Für die Tilgungsrate gilt (Formelsammlung 10.1) n

T= S⁰ . 1

Umstellen nach n und Einsetzen ergibt 00 15

, 000 . 60

00 , 000 .

0 =900 =

= T

n S Jahre. 2

(10)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 6/7

Lösung 5

20 Punkte

Gleichung des Brückenträgers:

Allgemeine Gleichung einer Parabel (quadratische Gleichung) nach Formelsammlung 7.4:

c bx ax x

f( )= ²+ + . 1

Gemäß der Festlegung zu den Koordinatenachsen folgt:

30 ) 0 ( =

f (1) ⇒ c=30 (1) 2

0 ) 100

( =

f (1) ⇒ a⋅100²+b⋅100+30=0 (1) (I) 2

0 ) 100

(− =

f (1) ⇒ a⋅100² −b⋅100+30=0 (1) (II) 2

Subtraktion der beiden Gleichungen (I) und (II) liefert:

0 100

2⋅b⋅ = (2) ⇒ b=0 (1) 3

Einsetzen von b=0 in (I) oder (II) liefert 0

30 100²+ =

⋅

a 2

000 . 1

3 000

. 10

30 =−

= −

a 1

Damit lautet die Gleichung der Parabel 000 30

. 1 ) 3

(x =− x²+

f 1

Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger:

Es sind die x-Werte zu ermitteln, für die f(x)=10 (Höhe der Fahrbahn) gilt.

000 30 . 1

10=− 3 x²+ 1

000 . 30 3

000 .

10 =− x² + 1

000 . 20

3x²= 1

3 000 .

2 =20

x 1

65 , 3 81

000 .

1= 20 ≈

x 1

65 , 3 81

000 .

2 =− 20 ≈−

x 1

(11)

WR-WMT-P11 – 080628 Seite 7/7

Lösung 6

vgl. SB 4, Abschn. 3.5 und SB 5, Abschn. 3.3

20 Punkte

Nullstellen:

0 ) e 1

( − ⁻^x⁺² ²= 1

0 e

1− ⁻^x⁺²= 1

1

e⁻^x⁺²= 1

0 2= +

−x (folgt aus e⁰ =1) 1

Also ist x=2 Nullstelle der Funktion. 1

Extremwerte:

Bestimmung der Ableitungen:

4 2 2 2

2) 1 2 e e

e 1 ( )

(x = − ⁻^x⁺ = − ⋅ ⁻^x⁺ + ⁻ ^x⁺

f (Anwendung binomische Formel) 2

4 2 2

4 2

2 ( 1) e ( 2) 2 e 2 e

e 2 )

( =− ⋅ ⁻ ⁺ ⋅ − + ⁻ ⁺ ⋅ − = ⋅ ⁻ ⁺ − ⋅ ⁻ ⁺

′ x ^x ^x ^x ^x

f (Kettenregel) 2

4 2 2 4

2

2 ( 1) 2e ( 2) 2e 4e e

2 )

( = ⁻ ⁺ ⋅ − − ⁻ ⁺ ⋅ − =− ⁻ ⁺ + ⁻ ⁺

′′ x ^x ^x ^x ^x

f (Kettenregel) 2

Alternativ kann auch direkt die Kettenregel auf die Funktion f(x) angewendet werden, was zum gleichen Ergebnis führt. Hier sind dann insgesamt 6 Punkte zu vergeben.

Notwendige Bedingung für Extremum ist f′(x)=0 (Formelsammlung 19.1). 1

4 2 2 2 e e

2 )

( = ⋅ ⁻ ⁺ − ⋅ ⁻ ⁺

′ x ^x ^x

f

0 e

2 e

2⋅ ⁻^x⁺² − ⋅ ⁻²^x⁺⁴ = 1

4 2 2 e

e⁻^x⁺ = ⁻ ^x⁺ 1

4 2 2=− + +

−x x 1

=2

x (mögliches Extremum) 1

Hinreichende Bedingung für Extremum f′(x)=0 und f ′′(x)≠0 (Formelsammlung 19.1). 1

4 2 2 4e e

2 )

( =− ⁻ ⁺ + ⁻ ⁺

′′ x ^x ^x

f

0 2 e 4 e 2 ) 2

( =− ⁰ + ⁰= >

′′

f 2

Da 0f ′′(2)> liegt bei x=2 ein lokales Minimum vor. 1