Aufgabe H10.2: Energiegleichung [15 Punkte]

Theoretische Plasmaphysik

Ubungen: Lukas Merten, M.Sc und Timo Schorlepp, B.Sc¨

Hausaufgabe 10

Abgabe: 18.01.2018, 16:00 Uhr

Aufgabe H10.1: Fluidparameter im Krook-Modell [15 Punkte]

In dieser Aufgabe sollen Ausdr¨ucke f¨ur die elektrische Leitf¨ahigkeit, die thermische Leitf¨ahigkeit und die Viskosit¨at eines Plasmas hergeleitet werden. Daf¨ur sei der Stoßterm durch den einfachen Bhat- nagar–Gross–Krook-Operator gegeben. Betrachten Sie also die Boltzmann-Gleichung f¨ur die Zeiten- twicklung der Verteilungsfunktion f mit:

df dt = ∂f

∂t +~v·∂f

∂~r + F~ m ·∂f

∂~v = ∂f

∂t

coll

=−ν_C(f −f0) =−ν_Cf1 =−f1

τC

,

wobei die Zweiterm-N¨aherung f = f₀ +f₁ mit |f₁| |f₀| benutzt wird und ν_C die als konstant angenommene Stoßfrequenz angibt. Dabei bezeichnet f₀ eine Maxwell-Verteilung mit r¨aumlich kon- stanter Dichte n, TemperaturT sowie Ensemblegeschwindigkeit ~u= 0.

(a) Begr¨unden Sie anschaulich, warum der gew¨ahlte Stoßoperator tats¨achlich in grober N¨aherung Teilchenst¨oße beschreiben kann.

(b) Betrachten Sie die station¨are (∂f /∂t= 0) Boltzmann-Gleichung ohne Magnetfeld und behandeln Sie das elektrische Feld E~ als Gr¨oße erster Ordnung, d. h. wie f1. Außerdem soll f1 = f1(~v) gelten. Zeigen Sie, dass unter diesen Annahmen die elektrische Leitf¨ahigkeit σ (hier als skalar angenommen und definiert durch~j =σ ~E) in erster Ordnung gegeben ist durch:

σ= ne² mνC

.

(c) Nehmen Sie nun an, dassnundT ortsabh¨angig sind (bspw. inz-Richtung), wobei ihre Gradienten ebenfalls Gr¨oßen erster Ordnung seien. Die thermische Leitf¨ahigkeit κ ist definiert durch ~q =

−κ∇T mit ~q als W¨armefluss in Richtung des Gradienten. Zeigen Sie, dass f¨ur konstanten Druck P =nkT und ohne E- und B-Felder die thermische Leitf¨ahigkeit gegeben ist durch:

κ= 5P k 2mνC

.

(d) Nun seiennund T wieder ortsunabh¨angig, aber die Gleichgewichtsverteilungsfunktion f₀ str¨ome mit~u=u(z)~ex. In diesem Fall besteht der Zusammenhang

ρνdu

dz =−Π_xz

zwischen der kinematischen Viskosit¨atν und dem Nebendiagonalelement Πxz des Drucktensors.

Zeigen Sie damit, dass die Viskosit¨at ausgedr¨uckt werden kann als:

ν = P ρτ_C .

(e) Wie skalieren die Ergebnisse aus (b), (c) und (d) mit Dichte und Temperatur, wenn Sie f¨ur die Stoßfrequenz das aus der Vorlesung bekannte Ergebnis f¨ur Kleinwinkelst¨oße ansetzen?

Hinweis: F¨uhren Sie mindestens eine der in (c) und (d) auftretenden Integrationen per Hand aus, den Rest d¨urfen Sie per CAS l¨osen.

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Aufgabe H10.2: Energiegleichung [15 Punkte]

Sie haben in der Vorlesung die allgemeine Momentengleichung:

∂

∂t(n· hΨi) +∇(n· h~vΨi)− q mn·

Eh∇~ _vΨi+ ~v

c ×B~

· ∇_vΨ

=Q(~r, t) mit:

Z

V

f(~r, ~v, tΨ(~v) d³v=:n(~r, t)hΨ(~v)i=n(~r, t)h(v_i, vj, . . . vk)i kennengelernt.

(a) Leiten sie hieraus die Energiegleichung her:

∂

∂t ρu²

2 +3P 2

=− ∂

∂xk

ρu² 2 + 3

2P

u_k+P u_k+u_iΠ_ik+q_k

+nF_iu_i+ ∂

∂t

n mv²

2

coll

Nutzen sie hierf¨ur folgende Identit¨aten:

• Ψ =m/2v² =m/2v_iv_i

• v_i =u_i+w_i mithv_ii=u_i

• Der Drucktensor P_ik ist definiert als: nm(hv_iv_ki −u_iu_k) = P_ik =P δ_ik+ Π_ik mit Π_ii= 0

• Der W¨armeflussvektor ist definiert als: ~q =nhw(m/2~ w²)i

• Schreiben sie der Einfachheit halber q

E_i+ (~v×B)~ _i/c

=F_i

• Nutzen Sie weiterhin aus, dass es sich um ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden handeln soll: γ = 5/3.

(b) Erkl¨aren Sie, welche Prozesse durch die einzelnen Terme der Energiegleichung beschrieben werden.

(c) Nehmen Sie an, dass Sie nur elastische St¨oße ohne Ionisationen und Rekombination betrachten.

Wie ¨andern sich die Momentengleichung in 0., 1. und 2. Ordnung? Begr¨unden Sie ihre Antwort.

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